Appjucatiojjs. 1. En vertu de c’es

à-dire de cette disposition de la matière à persévérer, soit dans l’état de repos, soit dans l’état de mouvement ‘ où elle se trouve , les corps qui .sont contraints de se mou- 1 voir circulairement , comme, par exemple, la pierre que porte une fronde , tendent sans ces.se à reprendre le mouvement rectiligne, et à fuir par conséquent le centre de la rotation. Cette tendance a reçu en mécanique le nom de force centrifuge. Lorsque la cause qui obligeait le corps à se mouvoir circulairement vient à cesser ; si , par exemple , on lâche la corde de la fronde , le corps prend aussitôt la direction d’une droite tangente à la circonférence qu’il décrivait, ce qu’on exprime en disant qu’il fi échappe par la tangente.

' II. Les cordes qui s’enroulent sur des poulies figurent des droites tangentes à leur circonférence. Si l’on veut , par exemple , tracer les dircetions d’une corde assujettie à s’enrouler sur une poulie (fig. 62) et à passer par deux points donnés A et B , il faudra par ces deux points mener des tangentes à la circonférence intérieure de la gorge de la poulie. En menant des parallèles à ces tangentes on donnera ensuite à la corde l’épaisseur convénable. * , *

III. Le tracé des droites et des circonférences tangenl«‘s est indispensable pour opérer ce que les ouvriers ap-

G^OXlCTlUR PLAHK. 67

pellont le raccorde nie/it. Celle opération consiste à lier les lignes les unes aux autres, de manière à ne former entre elles aucun jarret. Supposons qu’il s’agisse, par exemple , d’abaltre par un arc de cercle l’angle ABC (fig. 63) d’une planche, à partir d’un certain point D. On élèvera au |>oint D une perpendiculaire à B C, qui rencontrera en O la bissectrice de l’angle A BC. Si du point O on abaissait O E perpendiculaire sur AB; nous avons vu (76) que OD et OE seraient égaux. Si donc, du point O comme centre , avec O D pour rayon, on décrit un arc, il sera tangent à B C en D , et à A B en E ; cet aix; servira donc à raccorder les droites A E et C D.

IV. Pour tracer une arcade, on a à raccorder deux droites parallèles par une demi-circonférence. Soient A B et CD (fig. 64), les droites qui limitent les piédroits de l’arcade ; on leur mène une perpendiculaire commune AC par le point A, qui est la naissance du cintre; on divise AC en deux parties égales, et du milieu O comme centre, avec O A pour rayon, on décrit une demi-circonférence, qui se raccorde avec AB et CD.

V. Les raccordements s’emploient en architecture dans une foule de cas, et notamment dans le tracé des moulures.

On trace une baguette, (fig. 65) comme nous l’avons expliqué pour l’arcade. Le tore (fig. 66) .se trace de la même manière; la droite sur laquelle il s’appuie doit le dépasser d’une quantité égale à son rayon.

Le tracé de la gorge (fig. 67) est tout h fait analogue; mais la demi-circonférence est décrite en dedans.

L’inspection des figures suffira pour faire comprendre comment se tracent le quart de rond (fig. 68), le quart de rond renversé (fig. 66), le cavet (fig, 70), le cavet renversé (fig. 71). On donne le nom de à un petit cavet qui se trace comme lui, et se renverse également.

La moulure composée de la figure 72 < contient cinq parties : 1 un filet, 2 un quart de rond, 8 une baguette, 4 une sorte de filet sans saillie que l’on nomme ceinture au orte ; 5 est un congé.

PEEMIÈRK PARTIR.

Dei circonférences sécantes et tangentes.

104. — Théorêub. Si deux circonférences O etC (fig. 73) ont un point A commun hors de la ligne O C qui joint leurs centres, elles en ont nécessairement un second. En effet : faisons tourner la figure O A C autour de O C , comme charnière , jusqu'à ce que le point A vienne se rabattre en A'. On aura évidemment A' Os A O; ainsi le point A' appartient à la circonférence O; on aura de même A ' C — A C ; ainsi le point A' appartient à la circonférence C. Donc A’ est commun aux deux circonférences.

CoROLLxiBB. Il suit de là que pour que deux circonférences n'aient qu'un seul point commun, il faut que ce point soit situé sur la ligne des centres. Dans ce cas, les circonférences sont tangentes l'une à l'autre, et le point ' commun est le point de tangence ou de contact.

Remarque. Deux circonférences ne peuvent avoir deux i • points communs d’un même côté de la ligne des centres , à moins de coïncider ; car, comme elles en ont au moins . un au-dessous, elles ont ainsi trois points communs, et ont par conséquent même centre et même rayon (99).

105. — Thëohéme. Quand deux circonférences O et C (fig. 73) se coupent, c'est-à-dire quand elles ont deux points communs A et A’ , la ligne des centres O C est per~ pendiculaire sur le milieu de la corde commune AA'; car la droite O C a deux de ses points O et C, à égales distances des extrémités de A A' (75).

106. — Quand deux circonférences Oui C (fig. 73) .vcco«pent, la distance fies centres est moindre que la somme \ des rayons; car on a évidemment OC^OA-f-AC.

On a au.ssi. OC-|-AC>OA,etsi l’on retranche de part et d’autre AC, il vient OC>-OA — AC; c’est-à- .dire que la distance des centres est plus grande que la différence des rayons.

107. — Quand deux cercles se touchent, nous avons 'vu que le point de contact est situé sur la ligne des centres.

.Ç’/V.v se touchent extérieurement, comme les cercles O î

GÉOMÉTRIF, PI.ANt. 89

etC(fig. 74), on a O C=^ OA 4- A (i, c’est-à-dire que /« distance des centres est égale h la .somme des rayons.

S’ils se touchent intérieurement, comme les cercles O et C (lig. 75) , on a O G ^ O A — AC, c’est-à-dire que la distance des centres est égale à la différence des rayons.

108. — Quand deux cercles sont extérieurs Cun à l'autre, comme les cercles O et C (fig. 76), on a

OC = OA-j-BC-l-AB, d’où OC>OA-+-BC, c’est-à-dire que la distance des centres est plus grande que la somme îles rayons.

Quand deux cercles sont intérieurs T un h Vautre , comme les cercles O et C (fig. 77^, on a

OC = OA— BC — AB, d’oüOC<OA — BC,

c’est-à-dire que la distance des centres est moindre que la. différence des rayons.

109. — On voit que la position relative de deux circonférences se trouve caractérisée par la grandeur relative de leurs rayons et de la distance de leurs centres. Pour en donner des exemples, supposons d'abord que les rayons de deux circonférences aient l’un 0“,04, l’autre 0™,19, et que la distance des centres soit de0m,ll- La somme des rayons est 0™,23, leur différence est 0'“,15; on voit que la distance des centres est moindre que la somme des rayons, mais qu’elle est en même temps moindre que leur différence : les deux circonférences sont donc intérieures l’une à l’autre.

Supposons, en second lieu, que la distance des centres soit de S' ôP, le plus grand rayon de 2» 8p, et le plus petit de 5' 9p. La somme des rayons est 2»‘ 2'; leur différence est 2''6p; on voit que la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et plus grande que leur différence; donc les deux circonférences se coupent.

Supposons enfin que l’un des rayons ait 3« , 53 , l’autre 1"» , 02, et la distance des centres 5“ , 47. La somme des rayons est 5"» , 47, c’est-à-dire précisément la distance des centres; donc les deux circonférences se touchent extérieurement.

1 10. — Problème. Par un point A (fig. 74) pris sur la

circonférence d’un cercle O faire passer une circonfé^ ronce tangente à la première, et ilortt le rayon ait une longueur donnée. Tirons O A ; et sur le prolongement de ce rayon , poiTons une longueur A C , égale à la longueur donnée; le point C sera le centre de la circonférence de* mandée.

111. — Problème. Étant donné un point C (fig. 74) hors d’une circonférence 0, décrire du point C comme centre, une circonférence tangente à la première. Joignons OC, qui coupera la circonférence donnée en ua point A ; A C sera le rayon de la circonférence demandée.

112. — Problème. Par un point iVl (fig. 78) donné hors d’ une circonférence 0, faire passer une circonférence tangente à la première , et dont le rayon ait une longueur donnée R. Tout se réduit à trouver le centre de la circonférence demandée. Ce centre devant être distant du point M d'une quantité égale à R , si du |M>int M comme centre , avec un rayon égal à R, on décrit une circonférence CNC, le centre cherché devra se trouver sur cette circonférence , car elle est le lieu géométrique de tous les points distants du point M d’une quantité égale à R. Si la circonférence demandée doit être tangente extérieurement à la circonférence donnée, la distance de leurs centres doit être égale à la somme de leura rayons. Si donc on mène un rayon OA, que sur son prolongement < on porte une longueur A fi égale à R , puis que du point

O comme centre, avec O R, c’esl-à-dire O A -f- R» pour rayon , on décrive une circonférence B C C, le centre cherché devra se trouver sur cette circonférence , car elle est le lieu géométrique de tous les points distants du point O d’une quantité égale à O A 4* R. Ce centre cherché .<te trouvera donc à l’intersection des circonférences CMC et B C C, c’est-à-dire en l’un des points C ou C . H ne i*estera plus qu’à décriro de l'un de ces points comme centre , avec un rayon égal à R, une circonférence, qui passera par le point M, et sera tangente à la circonféronce O. .

Remaniue. Si les deux circonférences devaient se toucher intérieurement, au lieu de décrire une circonférence

GtOMÊTRlh; PLANE. 71

du poigt O cunnne cenlrt* , a\ t*c un raj on égal à Ü A-i- R , il i'audrait la décrire avec un ra,yon égal à O A — R.

Dans l’une et l’autre supposition, il peut se présenter des cas d’impossibilité, que nous laissons au lecteur le soin de discuter.

On peut se pro|X)ser sur le contact des cercles beaucoup d’autres problèmes, mais la plupart n’olTrent qu’un intérêt de pure curiosité.

113. — Applications. I. Pour communiquer le mouvement d’une roue de machine à une autre, on sait qu’on met leurs circonférences en contact, et qu’on les arme d’une série de dents qui les forcent à se mouvoir en sens contraire; ce système se nomme un cngrcmiffe. Lorsque l’on veut dessiner deux roues dentées, on trace d’abord deux circonférences tangentes , que l’on nomme les c/rconfvrences primitives des deux rou«*s; et c’est sur ces circonférences que l’on dispose les dents en saillie. On cmise, au contraire, les intervalles des dents d’une même roue, afin que les dents de l’autre roue puissent s’y loger (fig. 79).

II. Les moulures présentent également des exemples nombreux de circonférences tangentes.

Dans le talon dtx>it ( fig. 80) , le talon renversé 81), Và doucine (fig. 82), et la dnucinc renversée (fig. 83), les arcs sont tangents extérieurement. Dans la scotie (fig. 84), et dans la scotie renversée (fig. 85), les arcs sont, au contraire, tangents intérieurement. L’inspection des figures suffit pour faire comprendre comment ces moulures doivent être tracées.

III. On a recours également aux circonférences tangentes pour tracer le profil des consoles, qui servent quelquefois d’appui aux corniches, aux frontons, aux croisées, etc.

IV. Les arcades destinées à .soutenir des rampes se terminent par une ligne courbe, nommée pour cette raison arc rampant, et qui se compose de deux arcs de cercle raccordés.

Soient AC et BD (fig. 86) les droites qui limitent les piéd/vits de l’arcade, prolongées jusqu’à la ligne AB pa-

Diùiuir^ by Coogl

7*2 PHEMfÈKI’. PAKfIE.

l'allèie à ia rampe, et à laquelle le cintre de l’arcade doit être tangent. On choisit d’ordinaire pour point de contact le milieu I de la droite AB, lorsqu’aucune circonstance particulière ne s’y oppose. Pour tracer l’arc rampant, élevons 1 E perpendiculaire à A B. Divisons en deux parties é^^alesles anglesIAC etlBDparles droitesAV etBO, qui coupent la perpendiculaire I E aux points V et O. D’après les propriétés des bissectrices (76), le point V sera également distant des droites A B et A C, c'est-à-dire que si l’on abaisse V M perpendiculaire sur AC, on aura V M = I V. Si donc , du point V comme centre, avec 1 V pour raj'on , on décrit un arc I M , il sera tangent à A B en I, et à AC en M. De même, si l’on abaisse O IN perpendiculaii’e sur BD, on aura O^Næ! O; et, si du point O, comme centre, avec 1 O pour rayon, on décrit un arc I ]N , il sera tangent à A B en I, et à BD eu N. Ces arcs se raccordei'ont donc avec les droites A C et BD; et, de plus, ils se raccordei’ont entre eux au point 1, puisque ce point est sur la ligne des centres V O.

llemarquons que, d'après les propriétés des bissectrices déjà citées , on a I A = A M et 1 B = B N ; et comme IA = IB, il en résulte AM = B]\. Celte circonstance, due au choix du point I, contribue à la gi’àce de l’arc rampant M I N.

V. Les arcades à cintre surbaissé .sont tei’minées par ’ une ligne courbe que l’on peut tracer au moyen de trois ai’cs de cercle , et que l’on nomme, pour cette raison , courbe h trois centres. Elle porte aussi quelquefois le nom (S" anse de panier.

Pour la tracer, soit A B (fig. 87) la largeur de l’arc ; divisons cette longueur en trois parties égales, aux points C et D. Sur le milieu O de C D, élevons une perpendiculaire indéfinie; et du point C, comme centre, avec un rayon égal à C D, décrivons un arcle de cercle qui coupe cette perpendiculaire en un point 1. Tirons 1 C et 1 D. Des points C et D comme centres, avec CA ou CB pour rayon, décrivons les arcs A E et B F, terminés au prolongement des lignes IC et I D. INous aurons CE*=»CA“CD etDF=* DB = CD. Mais les obliques

GlioailÎTRIK PLANK. 73

1 G Cl I D élant égales entre elles et à G I), il s’ensuit (jne 1 E et 1 F sont cbaciin le double de G D, et par conséquent égales entre elles. Du point I comme centre, avec un ra}'on égal à I E ou à IF, décrivons donc un ai*c E F; il SC raccordera avec l’arc A E , car le point commun E est sur la ligne des centres I G , et il sc l’accordera de même avec l’arc B F, puisque le point commun F est sur la ligne des centres ID.

VI. Si l’on ix’pète la même construction au-dessus et au-dessous de AB (lig. 88), on aura la courbe fermée à laquelle ou donne le. nom à' ovale , et qui est fréquemment emj)lo} ée dans les arts.

VII. Les architectes font usage d'une autre courbe l'erinée, nommée ove, <jui se trace au moyen de quatre arcs de cercle. Sur une droite A B ( fig 89 ) , prise comme diamètre, décrive/ une demi-circonférence A MB. Sur le milieu 0 du diamètre AB, élevez une peri>endiculaire O G égale à AO. Tirez AG et BG. Des points A et B comme centres, avec AB pour rayon, décrivez les arcs AD et BE terminés au prolongement des lignes B G et AG. Les obliques AG et B G élant égales, et les droites B D et A E élant égales aussi , puisqu’elles sont égales à A B, il en résulte que l’on a

A E — AG = BD — BG, c’est-à-dire GP) = GD.

Si donc, du point G comme centre, avec GD pour ra^on , on décrit un arc de cercle, il se raccordera avec les arcs A D et BE.

VIII. G’est enfin au moyen d’arcs de cercle raccordés que l’on trace la volute ionique, eni})loyée non-seulement en architecture , mais dans tous les arts où l’on lait u.sage de l’ornement. Voici comment on e.vécule le tracé de cette courbe.

Soit AÜ (tig. 90) la distance du ciMitre de la ^olule à .son j)oint de départ. Prenez O B égal à la neuvième partie de ü A; et du j)oint 0 comme centre, avec O B j)our l’ayon , décrivez un cercle; ce cercle se nomimî Y œil de la volute. Prolongez B O jusqu’en D, et menez le diamètre G E perpendiculaire à B D. Joignez les cordes B G ,

74 ^ PKEMliïRt PARTIE.

- CD, DE, ËB. Marquez les milieux de ces coixles <lèd chiffres 1,2,3, 4. Joignez 01 , 02» 08, 04; partagez chacune de ces droites en trois parties égales , et num4rotîz les points de division eu continuant à tourner autour du point O dans k sens indiqué par les chiffres 1 , 2 , 3 , 4. Tirez enfin le$.dpcnt6a 1» 3 ; 2 » 3 ; 3 , 4 ; 4» â; etc. , jusqu’à

Maintenant, du point X comme centre , décrivez l’arc AF, terminé à la droite 1 , 2. Du point 3 oomiiie centre , décrivez Tare F G , terminé à la droite 2 , 3. Du point 8 comme centre, décrivez l’arc GH, terminé à la droite i 3 , 4. Du point 4 comme centre, décrivez l’arc H I , ter- | miné à la droite 4, S. Du point ô comme centre, décri- i yez l’are J K , terminé à la droite .S , 6; et continuez ainsi jusqu'à' ce que vous ayez décrit, dn point 12 comme V centi’e, l’arc RS» terminé an cercle BCDE.

" ’ 11 est facile de voir que tous les arcs ainsi décrits sè

raccordent. Les arcs AF et F G, par exemple^ ont le point F commun, situé sur la ligne des "centres 1,2; '^dpne ils sont tangents. 11 en est de même de tous les mitres arcs consécutifs. Quant au dei'nier arc R S, il ne

raccoi*de point avec la circonférence BCDE, qui ter- j mine la volute; mais l’erreur est assez petite pom* n’ôtre ; . point choquante.

On donne ordinairement une épaisseur à la volute. Pour la déterminer, il suffit de décrire, à l’aide du même procédé, une seconde volute ayant même centre, mais dont le point de départ A' est situé au quart de l’intervalle A I , à partir du point A. La distance des tleux volutes va sans cesse eu diminuant , à mesure qu’elles approchent de leur centre.

Emploi des circonférences qui se coupent dans la

résolution de quelques problèmes. I

114. — L'emploi des circonférences qui se coupent va nous permettre de l’ésoudre d’uue manièt'e rigoureuse, et avec le seul secours de la règle et du compas, quel- i ques-ims des problèmes dont nous u'avons doimé qu’fane

GÉOMÊTRrii PLANE. 75

.solution approchée, ou que nous avons résolus a^ec le secour.s de i’écjuerre.

115. — Pnoni.ÈME. Diviser une chxyite elonnêe AB ( fig. 91 ) en deux parties égales. Des points A et B comme centres, avec un rayon plus grand (|ue la moitié de AB , décrivons deux circonférences; elles se coupei'ont en deux points C et D , puisque la di.stance des centres sera moindre que la somme des rayons, et d'ailleurs plus grande que leur différence qui est nulle. Joignons CD, qui coupera .A B en I. Ce point sera le milieu de A B ; car la droite CD a <leu\ de ses points à égale distance des extrémités de A B; donc elle est perpendiculaire sur le milieu de cette ligne (75).

Remarque. La même construction i)ourrait servir à élever une perpendiculaire sur le milieu d'une droite donnée , sans qu’il fût néce.s.saire de déterminer préalablement ce milieu.