CHAPITRE VIL

' Propriétés du cercle relatives aux parallèles.

121. — Théorème. Deux parallèles A.H et CD (fig. 96) interceptent sur une circonférence des arcs égaux. En effet , du centre O de cette circonférence , abaissons sur les deux parallèles une perpendiculaire' commune; le point I où celte perpendiculaire coupera la circonférence sera le milieu de l’arc AB (97) ; il sera aussi le milieu de l’arc CD (même Ihérirème). On a donc IA=1B

,etl(i =I D,d’oii résulte IC — 1 A=1D — I B ou AC = BD.

Il pourrait se faire que l’une des deux iiarallèles fût tangente à la circonférence. Soient, pax’ exemple, les

GKOMÉTRIE PLANE. 77

deux parallèles A'B' et CD, dont l’une est tangente en un point I. Tirons le rayon 01; ce rayon sera perpendiculaire à la tangente A'B' (101), et par conséquent à sa parallèle CD (80). Donc le point I est le milieu de l’arc CD (97).

Enfin , les deux parallèles pourraient être foutes deux tangentes. Soient A'B' et C D' ces deux parallèles, tangentes l’une en 1 et l’autre en H. Menons les rayons 01 et OH. La tangente A'B' sera perpendiculaire au rayon 01 (loi), et la tangente CD' au rayon OH. Il résulte de là que OH prolongé serait aussi perpendiculaire à AB (86); mais par un même point on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire sur une même droite; U faut donc que 01 soit le prolongement de 011. La ligne IH est donc un diamètre, et les arcs ICH, IDH, interceptés par les tangentes parallèles, sont égaux, puisque chacun d’eux est une demi-circonférence (32).

Ainsi le théorème est tout-à-fait général.

Remarque. On peut s’appuyer sur ce théorème pour mener par un point donné une parallèle à une droite donnée. Soit A B (fig. 97) la droite donnée, et C le point donné. D’un point tpielconque O, pris sur AB, avec un rayon égal à CO, décrivons une demi-circonférence K C D F. Prenons l’arc D F égal à l’arc C E , et lirons C D ; ce sera la parallèle demandée. Car si CD n’était pas parallèle à AB, on pourrait par le point C mener une droite CK parallèle à AB; on aurait alors, en vertu du théorème précédent , CE=KF; mais par construction on a CEs=DF; il en résulterait KF=DF, ce qui est impo.ssible.

122. — Le théorème précédent fournit le moyen de mesurer les angles dont le sommet n’occupe pas le centre de la circonférence, et que, pour celte raison, on appelle aufrlex e.rcen triques.

Parmi les angles excentriques, les plus remarquables sont ceux qui ont leur sommet sur la circonférence, et dont les côtés sont des cordes; on les nomme angles inscrits ; c'e^t de la me.sure de ces derniers angles que nous nous occuperons d’abord.

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123. — TiiÉoRtME. foui anuic vin rit a pour mesure la mollir tir l'arc compris entre ses côtés. Il ppul se préseiilcr trois cas, que nous examinerons successiveinenl :

1“. Le centre O de la circontercnce peut être situé sur l’un des côtés de l’angle inscrit ABC (lig. 08). Par le centre, menons le diamètre DK parallèle à BC. Les angles AO K et BOD sont égaux comme opposés par le sommet; les arcs AK et BD qu’ils comprennent sont <loneégau\ (42). Mais eiMciiu du tliéoième du ii" 121, les ares B D et (1 K , intercepté*s sur la circonlérence par les parallèles BG et DK, sont égaux Doin; CK égalé AE, c’est-à-dire que AK est la moitié de AC. Or, les angles A B G et A O E. sont égaux comme cmres|}ondants; donc l’angle A BC a la même me.sure que l’anghî AOK, c’està-dire l’arc A K qui est la moitié de A C.

2“. Le centre O peut être situé en dedans de l’angle in.scrit ABC (lig. 00). Tii'ons le diamètre BD. L'angle VBCsera la somme des angles ABD et DBG, et aura par conséquent pour mesure la somme des mesures de ces angles. Or, d’après la première paitm de la démonstration, l’angle ABD a pour mesure la moitié de AD, puisque le centre e.sl situé sur l'im de ses côtés. De même, l’angle DBG a pour mesure la moitié de DG. L’angle ABC a donc pour mesure la nmiliédeA D plus la moitié tl<î DC, ou, ce qui revient au même, la moitié tle l’arc A C compris entre st‘s cotés.

3". Kniin, le centre O peut être situé en dehoi's de l'angle inscrit ABC (lig. tüO). Tirons le diamètre BD; l’angle ABC sera la diliérence des angles DBCet DBA. Or, DBG a pour mesure la njoitié de DC; DBA a pour mesure la moitié de DA. L’angle ABC a donc pour mesure la moitié de D C moins la moitié de D A , ou , ce qui revient au même, la moitié de la dilTérence entre DC et DA , c’est-à-dire la moitié de l’arc AC compris entre ses côtés.

124. — On appelle serment d’un cercle la partie de ce cei’clc comprise entre un arc et .sa corde. Ainsi l’espace ABB B'CA (fig. 101)est un segment; il en est de même de l'espace A IM CA.

GÉOMKTRIE PL AXE. 7Ô

Lorsqu'un angle a son sommet sur la circonférence, et que ses cotés abonlissenl aux extrémités d’une même corde , on dit que cet angle est insci'il dans l’un des deux segments qui répondent à celte corde. Ainsi l’angle ABC est inscrit dans le segment ABB'B'CA, et l’angle A MC est inscrit dans le segment A ÎMC A.

Il résulte du théorème précédent, que lotis les angles, tels que ABC, AB'C, AB'C, etc., inscrits dans un même segment , sont égaux; car chacun d’eux a pour mesure la moitié de l’are AIMC. On dit alors que ce segment est capable de l’angle ABC, c’est-à-dire que cet angle exprime la valeur commune de tous ceux qui sont inscrits dans ce même .segment. Le segment A MCA est de même capable de l’angle AMC.

Remarquons que les angles A B C et A M C sont supplémentaires; car l’angle ABC a pour me.sure la moitié de l’arc AMC; l’angle AMC a poxir mesure la moitié de l’arc ABB B'C; leur somme a donc pour mesure la moitié de la .somtne de ces arcs , c’est-à-dire la moitié de la circonférence , ou 180“,