Tous les ABC, AB’C, AB'C, etc

(fig. 102), inscrits dans un demi-cercle ^ c’est-à-dire qui ont leur sommet sur la circonférence, et dont les côtés aboutissent aux extrémités d'un même diamètre A C, des angles droits; car ils ont pour mesure la moitié de la demi-circonférence AMC, c’est-à-dire un quadrans.

12G. — .Appmcatioxs. I. Cette considération fournit un moyen d’élever une perpendiculaire à l’extrémité B d’une drt)ite AB (fig. 103) que l’on ne peut prolonger. Pour cela, prenons un point quelconque O extérieur à celte droite; de ce point, comme centre, décrivons, avec un rayon égal à O B , un ai’c de cercle qoi coupe la droite donnée eu un point C. Joignons CO , et prolongeons cette ligne d’une quantité OD égale à OC. Tirons DB; çe sera la perpendiculaire demandée. Car, d’après la construction, les trois longueurs O B, OC et O D sont égales : les trois points B, (], D .sont donc sur une même circonféren«’e qui a le point O pour centre, et CD jXMir diamètre.

Dk, : -

80 PBEMIÈRJÎ PA.RTIE.

L’angle CBD est donc inscrit dans un demi-cercle, et est par conséquent droit. (Il est inutile de tracer la demi-circonférence CBD; nous ne l’avons fait que pour rendre les raisonnements plus .sensibles.)

(Jette construction pourrait être employée, à défant d’équerre ou de té, pour couper à angle droit le bout d’une planche. Elle pourrait aussi.se |)ratiquer sur le terrain en remplaçant le com])as jiar un cordeau tendu.

127. — II. Ou peut, à l’aide d’une construction du même geni’e, abais.ser d’un point D, donné lun*s d’une droite AB, une perpendiculaire .sur cette droite. Pour cela, menons par le point D une droite quelcoii(|ue DG qui coupe AB en un point C. Du milieu O de DC, comme centre, avec un rayon égal à O (J, décriAous un arc de cercle (jui coupera la droite donnée en un point B. Tirons DB; ce sera la perpendiculaire demandée. Car, d’après la construction, les trois longueurs OB, OC et OD sont égales, et nous jmuvoris reprotluire les raisonnements du numéro précédent.

Cette construction pourrait, comme la précédente, être pratiquée sur le teri’ain.

128. — TiiKOnÊME. L’angle A BC (fig. \QÀ) ^ /armé par une tangente AB par une corde BC, aboutissant nu point de tangence, a pour mesure la moitié de Tare lî m C sous-tendu par cette corde. En effet: parle point C, menons CD parallèle h la tangente A B : les angles A B CI et B CD seront égaux comme alternes internes. L'angle BCD, comme angle inscrit, a pour mesni*e la moitiéde l’are BD compris entre ses côtés. Or, les arcs B D et BwC, interceptés par les parallèles AB et DC, sont égaux; donc l’angle BCD, ou son égal ABC, a pour mesure la moitié de l’arc B«/C, .sous-tendu par la corde B C.

Remarque .'Lty corde BC sou.s-tehd deux arcs B wC et BDC. I.a moitié du premier étant la mesure de l'angle ABC, la moitié <lu second sera la mestiredu supplt*ment de ABC, puisque'ces deux angles réunis forment la circonférence entière, et que, par consé(|uent, leurs moitié*s réunies forment une demi-circonférence ou ISO". Or,

l’angle A'B C est prt^cisëment le supplément de A B C (56) ; ainsi cet angle A'BC a pour mesure la moitié de l’are B DC sous-tendu par la corde B(]. sorte que le théorème s’applique h un angle obtus comme à un angle aigu.

129. — Probt.éme. Décrire sur une droite donnée AC comme corde (fig. 105), un segment capable cT un angle donné M. Au point C, faisons l’angle A CT égal à l’angle donné M. Élevons CO perpendiculaire à CT; et par le point I, milieu de AC, élevons 10 perpendiculaire à AC. Du point O comme centre, avec OC pour rayon, décrivons une circonférence; le segment ABC sera le segment demandé.

En effet, la circonférence décrite passe par le point A, puisque le point O appartenant à la perpendiculaire élevée sur le milieu de AC est également di.stant des points A et C. Cette circonférence est en même temps tangente à TC au point C, puisque TC est perpendiculaire à l’extrémité du rayon OC. L’angle ACT, formé par une tangente et une coï’de aboutissant au point de tangence, a pour mesure la moitié de l’arc A/?/C soustendu par cette cordei Tout angle ABC, inscrit dans le segment supérieur ayant aussi pour mesure la moitié de i

l’arc A /» C , est égal à l’angle ACT, c’est-à-dire à l’angle ,

donné.

Remarque I. Si l’angle donné était obtus, on ferait encore au point C un angle T' CA égal à l’angle donné; la construction s’achèverait comme ci-de.ssus, et le seg- ^

ment A w C serait le segment demandé.

Remarque II. Si l’angle donné était droit , le segment cherché serait un demi-cercle; il suffirait dans ce cas de décrire du milieu de la droite donnée comme centre, avec un rayon égal à la moitié de cette droite , une demicirconférence.

Application. Ce problème trouve son application dans le tracé des cartes marines et des plans topographiques. Supposons, par exemple, que l’on veuille marquer sur une carte marine un point remarquable O (fig. 100), tel qu’un Ilot, un écueil, etc., d’où l’on peut

apercevoir le rivage. Ou observe sur ce rivage troit points A, B, C, faciles à reconnaître et déjà marqués sur la carte. On mesure les angles A O B, B OC, formés par les rayons visuels menés du point O à ces trois points. Sur la droite qui représente AB sur la carte, on décrit un segment capable de l’angle A OB ; sur celle qui représente B C , on décrit un segment capable de l’angle B O C. Les deux circonférences décrites, qui ont déjà un |x>int B commun, se coupent eu un second point O, qui est précisément celui qu’il s’agissait de tixer sur la carte.