A VA NT -PROPOS

Its ronséqiipncos utiles (fui s’en dcviuisent, cl elles se prêtent un mutuel secours. Il en résulte un autre avantage : (Vest de laisser reposer plus souvent l’attention de l’élève, de l’aider, par le souvenir même des applications , à retenir les principes dont elles dérivent, et de l’encourager sans cesse à la persév(*.rance en lu; faisant recueillir le fruit de ses efTorts.

(-et ouvrage s’adresse principalement aux écoles primaires supérieures , aux écoles industrielles et aux établissements dans lesquels les unes et les autres doivent trouver des professeurs, aux écoles normales primaires. Mais il conviendiM également aux élèves des classes inférieures de mathématiques dans les colleges , aux candidats à l'École centrale des Arts et Manufactures, aux élèves des écoles d'arts et métiers, et, en général, à toutes les personnes qui désireront un enseignement à la fois théorique et pratique

Fautes à cnniger.

>S3. ligui' i4- l'jllro 1rs ilnis ilrnii.'fcs |i3i'i'utlir«i'S à ilroilc , //(.■; « ^ c + i). ;>84. ligiu' 9- ,tu Heu de 37, lisez I7.

• ÏS9. ligne s. D’un corps , njautr: limnogène. ll>. , ligne b. Oes corp* , ajoutez homogèm-s.

1. — Chaque C0/7/Ï occupe une certaine portion de l’espace sans bornes qui nous environne. L’étendue plus ou moins grande de cette portion de l’espace est ce qu’on nomme le volume du corps.

Tout corps est séparé du reste de l’espace par une limite que l’on nomme la surface de ce corps. L’étendue d’une surface e.st ce que l’on nomme son aire.

Il y a des corps qui ne sont limités que par une seule I et môme surface. D’autres sont limités par plusieurs surfaces distinctes. Dans ce cas, ces surfaces se rencontrent deu.v à deux, et leur limite commune est ce que l’on nomme une ligae. L’étendue d’une ligne se nomme sa longueur.

Il y a deji surfaces qui ne sont limitées que par une seule et même ligne ; d’autres sont limitées par plusieure lignes distinctes. Dans ce cas, ces lignes se rencontrent deux à deux, et leur limite commune est ce que l’on nomme un point. Un point n’a pas d’étendue.

2. — Quoique l'idée de surface ne nou.s soit venue que de la limite des corps, une fois cette idée acqui.se, rien n’empcchc de considérer ces surfaces iodépeiulammeut des corps auxquels elles appartiennent, et d’imaginer môme des surfaces qui n’appartiennent à aucun corps.

De même, quoique l’idée de ligne rappelle la limite des surfaces, on peut considérer les lignes, abstraction faite des surfaces auxquelles elles appartiennent, et ima-

IJ INTBODUCTIOX. ' ;

giner même des lignés tjtii^’appzlrtienheht à aucune surface.

Enfin, bien que l’idée de point se rattache à la limite .des lignes, on peut considérer les points indépendam* ment dés lignes auxquelles ils appartiennent , et imaginer même des points qui n’appartiennent à aucune ligne,

3. — On peut, par la pensée, faire passer dans l’intérieur d’un corps une infinité de surfaces différentes; c’est-à-dire que l’on peut, d’une infinité de manières différentes , diviser un corps pai’ la pensée en deux parties qui aient pour limite commune une de ces surfaces. On réalise jusqu’à un certain point cette abstraction 'quand on divise un corps à l'aide d'un instrument tranchant; mais cet instrument a toujoui's une épaisseur appréciable , tandis que les surfaces à l’aide desquelles nous divisons les corps par la pensée doivent être considérées comme n’ayant rigoureosèment aucune épaisseur.

On peut aussi diviser mentalement une surface par une infinité de lignes différentes, et l’on réalise cette abstraction jusqu’à un certain point en traçant réellement une ligne sur cette surface ; mais cette ligne tracée a toujours une largeur appréciable , tandis que les lignes à l’aide desquelles nous divisons une surface par la pens ‘e, n’ont rigoureusement aucune largeur.

Enfin , les points que nous marquons sur une ligne ont toujours une étendue appréciable, tandis que l’on peut concevoir sur une même ligne une infinité de points différents , n’ayant rigoureusement aucune étendue.

4. — Il existe des lignes d’une infinité d’espèCes différentes; mais il en est une qni mérite une attention particulière : un fil tendu, quand on fait abstraction de son épaisseur, en offre une image assez précise. Cette espèce de ligne est ce qu’on nomme une //^ne droite , ou par abréviation une droite. On en donne la définition suivante : La ligne droite est te plus court chemin eT un point à un autre.

Quoique cette définition semble assigner des bornes à la ligne droite , rien u’empêche de prolonger indéfini-

Di^ ■ by Goo^u

INTRODUCTION. IJJ

auonl cette ligne par la pensée au déjà des deux points qui lui servent de limites; et c’est toujours d’une ligne droite indtfinu' (jue l’on parle, quand on n’exprime pas lormellement le contraii*e.

Une ligiw composée de différentes |x>rtions de ligne droite, lorme ce que l’on nomme une ligne brisée ; les portions de ligue droite dont elle se compose sont ses côtés.

Une ligne brisée composée d’une infinité de côtés infiniment jietits, ou , en d’antivs termes, une ligne dont aucune partie appreciable n’est rigoureusement droite, est ce qu’on nomme une ligne courbe, ou par abréviation une courbe.

5. — Il existe aussi des surfaces d’une infinité d’espèces différentes; mais il en est une qui est particulièrement digne de l’emarque : la surface d’une eau tranquille de peu d’étendue en offre un exemple. Cette espèce de surface est ce qu’on nomme une surface plane , ou simplement un plan. On en donne la définition sni\ante : Un plan est une surface sur laquelle une ligne clroite peut ■s’appliquer exactement dans tous les sens.

Les surfaces planes que l’on considère dans la pratique ont nécessairement une étendue limitée; mais rkn n’empêche de les prolonger indéfiniment en tons sens par la pensée ; et c’est toujom*s d’un plan indéfini que l’on parle, quand le contrairo n’est pas formellement exprimé.

Une surface corn posée de dilTérentes portions de plan, forme ce que l’on nomme une surface brisée; les différentes portions de plan (jui la composent se nomment

faces.

Une surface brisée composée d’ime infinité de faces infiniment petites, ou, en d’antres termes, une suiTacc dont aucune portion appi’éciable n’est rîgonrensenient plane, forme ce que l’on appelle une surface courbe.

~ Les lignes , les snrtat'es et les corps peuvent être étudiés, ou .sous le rapport de la forme, on sous le rapport de l’étendue. La science qui a pour objet cette étude est la Géométrie.

i^ariui les modifications nombreuses que la main de

jv INTRODUCTION.

rhomme fait subir aux productions de ]a nature, Pune des plus fréquentes est celle qui se rapporte à l’étendiie et à la forme des corps. C’est ainsi que les bois, les pierres , les métaux, dont les usages sont si variés, sont tour à tour divisés, façonnés, assemblés de mille manières , suivant les besoins de l’industrie. Celte remarque suftirait pour faire sentir rutilité de la Géométrie. Mais ce n’est pas seulement aux procédés et aux produits des arts que ses principes sont applicables : l'astronomiè, la géographie, la géodésie, l'arpentage, l’art de la guerre, et celui de la navigation, la physique, la mécanique, et plusieurs autres sciences , tirent des considérations géométriques un secours au.ssi puissant qu'indispensable.