ïiiÉoiiÉME. AIB (fig. 107) dont le

sommet est intérieur à un cercle , a pour mesure la moitié de l'arc A B compris entre, scs côtés , plus la moitié de l'arc C D compris entre leurs prolongements. Menons D E parallèle à CB; les angles AIB et A DE seront égaux comme correspondants. Or, l’angle inscrit ADE a pour mesure la moitié de l’arc A E compris entre ses côtés, c’est-à-dire la moitié de AB, plus la moitié de BE. Mais , à cause des parallèles C B et DE, les arcs B E et C D sont égaux (121); donc l’angle A DE , ou son égal A IB, a pour mesure la moitié de AB , plus la moitié de CD.

131. — Théorème. Tout angle AIB (fig. 108) dont le sommet est extérieur à un cercle, a pour mesure la moitié de la difféience des arcs AB et CD compris entre .ses côtés. Âlenons DE parallèle à CB; les angles AIB et ADE seront égaux comme correspondants. Or, l’angle inscrit ADE a pour mesure la moitié de l’arc AE compris entre scs côtés, c’est-à-dire la moitié de la différence entre les arcs AB et EB. D’ailleurs, à cause des parallèles D E et CB , les arcs C D et E B .sont égaux (121); donc l’angle ADE, ou son égal AIB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs AB et CD compris entre ses côtés.

Remarque I. Ce théorème subsisterait cncoi'c si l’un des deux côtés de l’angle était tangent à la circonférence. Car soit T 1 (fig. 109) ce côté tangent au point A. Menons AE parallèle à CB; les angles TAE et AIB sont égaux comme correspondants. Or, l’angle TAE, formé par une tangente et une corde qui aboutit au point de tan-

gence, a pour mesure la moitié de l’arc AE sous-tendu par celte corde, c’est-à-dire la moitié de la différence entre les arcs AB et EB. D’ailleurs EB=AC, à cause des parallèles (121); donc TAE, ou son égal A IB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs A B et AC compris entre ses côtés.

Remarque II. Enfin, le théorème subsisterait encore si les deux côtés étaient tangents. Car soit AI B ( fig. 110) un angle dont les côtés sont tangents , l’un en A, l’autre en B. Menons AE parallèle à IB; les angles T AE et AI B seront égaux comme correspondants. Or, ÏAE a pour mesure la moitié de l’arc AE, c’est-g-dire la moitié de la différence entre AEB et EB. D’ailleurs, EB=AB, à cause des parallèles (121); donc TAE, ou son égal AIB, a pour mesure la moitié de la différence entre les arcs AEB et A B compris entre ses côtés.

132. — Les Ihéorèmes relatifs à la mesure des angles, dont nous venons de donner la démonstration, condui- .sent à cette conséquence remarquable, que, de quelque manière qu'une circonférence soit rencontrée par les côtés d'un angle, les arcs interceptés par ces côtés don*neront immédiatement la mesure de cet angle. Car son sommet tombera inévitablement ou dans le cercle, ou sur la circonférence, ou hors du cercle.

133. — 'riiÉonË.ME. Si par deux points donnés S et C (fig. 101) on mène des couples de droites A B cf CB ; A B', et B ' , etc. ^faisant entre elles des angles égaux ABC, ABC, etc. , les points B , B ' , etc., seront sur une meme circonférence passant par les points A et C. En d’autres termes, si l’on fait passer une circonférence par les points A , B et C , elle passera au.ssi par le point B' par exemple. En effet ; si elle n’y passait pas, le point B' serait ou intérieur ou extérieur au cercle. S’il était intérieur, l’angle A B'C aurait une mesure plus grande que la moitié de l’arc AC (130), et .serait, par conséquent, plus grand que l’angle A B C. Si le (X>int B' était extérieur au cercle , l’angle A BX aurait une mesure moindre que la moitié de l’arc A C (131) , et .serait par consé<|uent moindre que l’augle ABC. Ces deux résultats sont également

roniraires h la supposition; il faut donc que le point B' soit situé sur la circonférence.

Appmcatio\. On pourrait, en se fondant sur cctle proposition, obtenir autant de points que l’on voudrait d’une circonférence dont trois points A , B , C, seraient donnés. Tirons en effet une droite quelconque AB'; et par le point C menons une seconde droite CB, qui rencontre la première sous un angle égal à l’angle ABC (93), le point B', ainsi déterminé, serait sur la circonférence qui passe par les trois points A, B , C. On obtiendrait de la même manière autant de points qu’on le ‘.voudrait de cette circonférence.

Les points situés au-dessous de A C s’obtiendraient en ayant égard à ce que l’angle AMC est le supplément de ABC.

La construction se simplifierait si l’angle A B C' était droit (fig. 102); car après avoir mené'A B' arbitrairement, on n’aurait qu’à abaisser du point C une perpendiculaire sur cette droite pour déterminer le point B'.

C’est particulièrement aux opérations sur le terrai» que ces constructions seraient applicables.