chapitre VIII

Des droites coupées par des parallèles.

I 134. — Théobème. Les portions AC c? BD (fig. 111 ) de deux parallèles , comprises entre deux autres parallèles A B Cf CD, sont égales. Pour le prouver, prenons sur AB et sur son prolongement les longueurs égales A E et BF ; des points Eet F, abaissons sur CD et sur son prolongement les perpendiculaires EG et F H. Ces perpendiculaires seront égales ^ puisque deux parallèles sont partout également distantes (87). Imaginons que l’on transporte la figure BF H D sur la figure A E G C , de manière que F n coïneide avec son égale EG. Les angles AEG et BF H étant droits, puisque E G et F II, perpendiculaires à CD, sont aussi perpendiculaires à sa parallèle A B (8fi), la ligne F B prendra la direction de E A; et

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comme on a pris A E =B F, le point B tombera en A . Les angles CA E et DBF étant égaux commecoiTes|>on(lants, la ligne BD prendra la direction de AC, et le point D tombera quelque part sur A C. Les angles B G E et DH F étant droits, la ligne HD prendra la direction de GC, et le point D tombera quelque part sur G C. Le point D devant ainsi tomber à la fois sur les lignes A C etGC, ne peut tomber qu’à leur inteiviection C. Les droites BD et A C auront donc les mêmes extrémités , et coïncideront; donc ces droites sont égales.

On démontrerait de même que AB=CD.

135. — Tiiéouéme. Si sur (leux parallèles on prend des lonpieurs égales AB e? CD (fig. 112), les droites kC. et BD, qui joignent les extrémités de ces longueurs, sont parallèles. Car si BD n’était pas parallèle à A C, soit B I celte ])arallèle; en vertu du théorème précédent, on aurait AB = CI; mais, par supposition, on a déjà A B = CD. Il en résulterait CD = CI, ce qui est impossible. Il faut donc que BD soit parallèle à AC.

Application. On met à profit ce théorème toutes les fois que l’on a un grand nombre de parallèles à tracer entre deux parallèles données. C’est ce qui arrive en particulier dans le dessin des parquets dits point de Hongrie (lig. 113). On porte pivalablement des longueurs égales sur les parallèles A B , CD, où doivent aboutir les/mc.v; et c’est tout simplement en joignant les points de division que l’on obtient la série de parallèles dont on a besoin.

1 30. — TnÉonÉME. Si une droite A C (fig. 114) est coupée par trois parallèles A D, B E , C F, r/c manmre que les parties A B e/ BC, comprises entre ces parallèles soient égales , toute autre droite DF sera coupée par ces parallèles de la même manière , et Von auraYi E=EF. Pour le prouver, prenons G E=AD ; menons G H parallèle à BC; en vertu du théorème du n“ 1 34 , ou aui’a G H = B C , et par conséquent G H = AB, puisque A B et BC sont égaux. Imaginons que l’on transporte la figure H G EF sur la figure RADE, de façon que GH coïncide avec son égal AB. Les angles 11 G E et BAI) étant égaux comme ayant

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leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, la ligne G E prendra la directionde AD; et comme on a pris G E= A D , le point E tombera en D. Les angles G E E et A DE étant égaux comme correspondants, la ligne E F suivra la direction de DE, et le |x>int F tombera quelque part sur DE. Les angles G H F et ABE étant égaux comme correspondants, la ligne H F prendra la direc- ‘ tion BE, et le point F tombera quelque part sur BE. Le point F devant tomber à la lois sur les droites D E et BE, ne peut tomber qu’à leur intersection E. Les droites E F et DE auront donc les mêmes exlmnités et coïncideront; donc ces droites sont égales.

137. — XiiÉOHËME. Deux droites rjnelconques AC et DF (fig. 115) sont coupées proporlionnellenient par les parallèles A D , B E , CF.

En effet : supposons d’abord que les droites A B et B C , aient une commune me.sure, qui soit contenue par exemple 3 fois dans A B , et 4 fois dans B C. Divisons A B en 3 parties égales, et B C en 4 parties égales; ces parties seront égales entre elles. Par tous les points de division menons des parallèlesà BE; soient mx, ny, pz, ru,sv ces parallèles. En vertu du théorème pivîcédent, puisque A/7/ = /// /I, on aura Dx=.rj'; puisque w« = «B , on aura xy==y}i\ et ainsi de .suite. Toutes les parties Dr, xy, È, Y.z, zu , uv, vF de la droite DF .sont donc égales entre elles. Or D E contient 3 de oes parties, et EF en contient 4 ; ces droites sont donc entre elles comme 3 est à 4. Mais les droites AB et BC sont aussi entre elles comme 3 est 4. A cause de ce rapport commun, on a donc la proportion A B : B C ; :D E ; E F.

Les raisonnements précédents sont indépendants du nombre des parties égales contenues dans AB et dans BC; le théorème subsiste donc quelque petite que soit la commune me.sure entre ces lignes; il subsistera donc encore si l'on suppose que cette commune mesure soit infiniment petite, c’est-à-dire que les droites AB et BC soient incommensurables. Ainsi le tlnk)rèmeest général, CoROLLAUu-: I. Il pourrait arriver que les droites A C et DF se croisassent sur l’une des trois parallèles.

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Si, par exemple, elles se croisaient sur AD , comme l’indique la figure IIG; en menant parallèle à AC, on aurait, d’après le théorème ci-dessus, A B : B C : • : ey,

iMais de — A K comme parallèles comprises entre parallèles; c/=EF par la même raison. Donc