AB:BC::AE:EF

Si elles se éroisaient sur la parallèle intermédiaire , comme l’indique la figure Il7; en menant encore t/rÿ parallèle à AC, on aurait AB : BC :: f/e: ef. Mais f/e = BD et e/= BF. Donc AB;BC::BD:BF.

Corollaire II. De la proportion (1) on tire

AB-l-BC:AB:: AE + EF:AE,ouAC: AB;:AF;AE.

Cette proportionnalitédont on fait un fréquent usage peut s’énoncer de la manière suivante : Quand les deux côtés d'un angle sont coupés par deux parallèles , les distances du sommet de l'angle aux intersections de ses côtés avec les parallèles , sont proportionnelles entre elles.

138. — Problème. Trouver une quatrième proportionnelle, h trois lignes r/o/z/ieW m , n , p (fig. 118). Tirons deux droites indéfinies faisant entre elles un angle quelconque. A partir du sommet, portons sur l’une d’elles une longueur AB égale à m , puis une longueur B C égale k n. A partir du même sommet, portons sur la seconde droite une longueur A D égale à p. .Toignons BD, et menons CE parallèle à BD. Nous aurons, en s'ertu du corollaire I du théorème précédent, A B ; B C : : A D : D E , ou m: n::p:DY^. La ligne D E sera donc la quatrième proportionnelle cherchée.

Si les lignes données étaient trop gi’andes pour que les deux premières piLssent être portas commodément à la suite l’une de l’autre sur un même côté de l’angle , on pourrait les porter l’une sur l’autre à partir du sommet. Appelons, par exemple, M, N, P les trois lignes données. Prenons AB=M , AC = N, AD=P. Joignons BD; menons CE parallèle à BD, nous aurons, en vertu du corollaire 11 du théorème pivc-édent, AB : AC: : AD: AE , ou M : N : : P : AE ; ainsi .\ E sera la quatrième proportionnelle cherchée.

88 PftEMliîRE PARTIE.

‘^^'Kepiarquè. H peut arriver que la seconde* et 'là Wbisîème‘des lignes données soient égales entre elles. Cette circonstance né change rien aux constructions précédentèsVlnais comme il n’y a alors de fait que deux lignes données, la ligne que l^on cherche est dite troisième proportionnelle à ces deux lignes. -

139. T77 Problème. Diviser une droite donnée AB (fig. 119)/?/? parties proportionnelles h des lignes données m, n, p. Par le point A tirons une droite indéfinie. Prenons AC=“,JW,CD=«, DE=/7. Joignons EB, et parles points C et ï),, menons C F, et D H parallèles à E B. Nous aurons, d’après le théorème du n“ 137 :

AF:FH:: AC:CD: et FH : HB: : CD :DE ;

La droite A B est donc divi^ en parties proporlionelles aux lignes iw , n et/).

Remarque. On opérerait de la même manière pour diviser une ligne donnée en parties proportionnelles à des nombres donnés. 11 suffirait pour cela de choisir une unité de longueur, çt de prendre des lignes A C, CD, DE égales chacune à autant de fois cette unité de longueur qu’il y aurait d’unités dans chaicun des nombres donnés ; car ces lignes seraient alors proportionnelles à ces nombres, et le problème rentrerait dans le cas précédent.

RemarqwW. On pourrait aussi, par une construction analogue , diviser une ligne donnée en un nombre quelconque de parties égales; mais npus indiquerons tout à l’heure un proç^é préférable.

140. — Théorème. Si deux droites BD et CE (fig. 120) coupent proportionnellement les côtés cTun angle C A E , ces deux droites sont parallèles. Car si CE n’était pas parallèle à BD, soit Cl cette parallèle; on aurait, en vertu du corollaire I du n®' 137 :