AB:BC::AD:DI

Mais on a, par supposition, ABtBC*. : AD; DE. Ce.s deux proportions ayant trois termes communs, le quatrième terme doit être le même. On aurait donc D I=D E, ce qui est impossible. Donc la parallèle menée à BD par le point C ne peut être que CE.

Remarque. On arriverait au même résultat en partant de la supposition A B : A C : : A D : A E ; car on en lire AC — A B; AB:: A E — AD: AD ou BC : AB : : DE ; AD, et l’on rentre ainsi dans le cas précédent.

141. — PuoBLïiME. Diviser une (Imite donnée AB (fig. 121) en un nombre donné de parties égales. Pour fixer les idées, supposons qu’il s’agisse de diviser A B en ii parties égales. Par le point A tirons une droite indéfinie, sur laquelle nous poi-terons G longueurs égales choisies arbiti-airement (une de plus que la droite AB ne doit avoir de parties). Soit C l’extrémité de la sixième longueur, .loignons B(],et prolongeons cette ligne d’une quantité BD égale à BC. Les points E et F étant les points de division qui précèdent immédiatement le point C, joignons DP) qui coupera AB en un point I. Je dis que B I sera la .5® partie de A B.

En effet, on a, d’aj)rès la construction, EF = FC et BD = BC. Si l’on joint B F, les côtés de l’angle DCE seront donc coupés proportionnellement parles droites DE et B F, et en vertu du théorème précédent ces deux droites sont i)arallèles. Mais alors, les côtés de l’angle F AB .sont aussi coupés proportionnellement par les parallèles E I et F B ; et l’on a

AE : EF:; AI: IB, d’où

AE + EF:EF:: AI + IB:IB, ou AF:EF::ÀB :IB;

or AF vaut 5 fois EF; donc AB vaut 5 fois IB. Il ne restera plus qu’à porter I B suri A autant de fois que cela sera possible; la ligne AB se trouvera divi.sée eu •i parties égales.

Remarque. On pourra substituer ce procédé rigoureux à la méthode approximative indiquée au n“ 17. Bemar- <pions toutefois, que malgré la rigueur de ce procédé, on ne doit point se flatter , en l’employant , d’être à l’abri de toute erreur. Toutes les fois que l’on a des lignes à tirer, des longueurs à porter au compas sur des lignes; en un mot, dans tous les procédés graphiques, quelle que soit l’exactitude des principes théoriques sur lesquels ils se fondent, il y a non-seulement des erreurs

90 PHEMIÈHK PARTIE.

pus&iblea, mais même des erreurs inëviUUes résultant de l’imperfcctiou des instruruenls employés, et de l’imperfeclioa de nos sens eux-mêmes. Ces erreurs sont d’autant moindres que les iustruineuts sont meilleurs, et que les o|)érations sont faites avec plus de soin. Dans le problème qui nous occupe les chances d’erreur seront d’autant plus grandes que le nombre des parties à obtenir .sera plus considérable. ]\'ou$ renverrons à ce sujet à ce que nous avons dit à la fin du n° 17. •.

142. — AerucATioN. Les théorèmes des n®*.137 et 140 fournissent le moyen de mener, par un point donné sur le terrain , une parallèle à une droite inaccessible , pourvu qu’on en sache mener une à une droite dont une extrémité seulement est accessible.

Soit C (fig. 122) le point donné, et AB la droite inadcessible, déterminée par deux points visibles A et B. Faisons planter un jalon au point C, et un autre en un point quelconque D. Par le point C, menons une parallèle à la droite AD dont l’extrémité Dest accessible; (pour mener cette parallèle on pourra faire usage du graphomètreet appliquer la méthode indi^üéeaun°9I). Soit CK cette parallèle. Plaçons un jalon en E, et un autre en F, à l’intersection des droites AC et DE prolongées. Par le point E menons une parallèle à la droite DB dont l’extrémité D est accessible, et plaçons un jalon à l’intersection H de cette parallèle avec la droite F B. Les jalons C et H détermineront la parallèle cherchée.

En effet, 5 cause des pai*allèles AD et CE, on a FC : AC : : FE : ED{137), et à cause des parallèles DB et E H on a de même F E ; E D : ; F H : H B. Ces deux proportions ayant un rapport commun, les deux autres rapports sont en proportion, et il vient

FC: AC:;FH:HB.

De celle proportion résulte (140) que CH est parallèle à AB.

143. — Théorème. Les parties BD cf CE (fig. 123) de deux parallèles , comprises entre les rdtês rfun angle

GKOWliTKIE I'I.ANï;.

C A.E, sont entre clics comme les lüstances du sommet lie cet angle aux intersections de chacun de ses côtés avec les parallèles. Pour le prouver, menons ÜF parallèle à A C ; nous aurons ( 137 ) A D : D E : : G F : F E , d’où l’on lire AD ■+- DE : AD :: CF FE : CF, ou A E : A D : : (] E : C F. Alais les longueurs CF et B D sont égales comme parallèles comprises entre parallèles ( 134) ; on peut donc écrire