AE;AD:;CE :BD

(’oROLCAiiiE. Tx* tliéorème subsisterait encore si le sommet de l’angle se trouvait situé entre les parallèles , et que l’une d’el les coupftt les prolongements de ses cotés, comme l’indique la figure 124; cai' ea menant encore DF parallèle à BC, on aura AE : AD EC: CF. Mais CF =B D, puisque ce sont des parallèles comprises entre parallèles; on peut donc écrire AE : A D : : E C : BD.

144. — Applications. ï. On a construit sur ce principe un instrument qui fournil le moyen d’obtenir immédiatement la moitié, le tiers, le quart, etc. , ju.squ’au douzième d’une longueur donnée. Cet instrument se nomme compas de réduction. Il se compose de deux branches égales AM et CN (fig. 125), terminées en pointes. Les branches se croisent entre deux boutons qui les pressent; elles sont percées longitudinalement d’une rainure où s’engage le pivot qui réunit les deux boutons. Cette disposition permet de faire mouvoir les bi’anches dans le sens de leur longueur de manière à ce qu’elles se croi.sent en tel point "qu’on le veut de cette longueur. En même temps elles sont susceptibles de s’écarter ou de se rapprocher à volonté comme celles d’un compas ordinaire. Nous ne parlons pas de plusieu rs autres dispositions de détail dont la vue de l’instrument .suffit pour faire comprendre le but.

Supposons maintenant qu’on veuille, à l’aide du compas de réduction , prendre le tiers d’une droite A B. On ferme d’abord rinstriunent de manière que les deu x branches .soient exactement superposées. On fait ensuite glisser le pivot dans la double rainure jusqu’à ce que la

distance O A soit le tiers de la distance OM; des divisions tracées sur l’iine des branches, ainsi que sur une languette dont le pivot est muni, facilitent celte opération. On ouvre alors les branches, et l’on prend avec les |x>intes M et N une distance égale à AB; la distance qui sépare alors les pointes A et C est la longueur cherchée. Car d'après la disposition donnée à rinstrument, on a O M = O N et O C = O A ; d'où résulte la proportion identique OA : OM : : OC : ON. Il s’ensuit (140) que M N et AC sont parallèles ; on a donc (137)

AC : M N : : O A : O M , ou bien A C : A B ; : 1 : 3.

Il serait facile, en multipliant les divisions marquées sur les branches, d’obtenir, à l’aide de cet instrument, beaucoup d’autirs fractions simples d’une longueur donnée; par exemple les f , les etc.

Le compas de reduction s’emploie avec avantage lorsqu’on a à réduire dans le même rapport un grand nombre de lignes, parceque la disposition données l’instrument pour la première de ces réductions demeure la même pour toutes les autres.

14.5. — II. On a construit sur le même principe un instrument d’un usage beaucoup plus général , nommé compas de proportion. Il se compose de deux règles d’égale longueur, réunies par une charnière, dont le centre e.st le point de concours des bords intérieurs OA et OB des deux règles (fig. 126). Ces deux bords sont divisés en un même nombre de parties égales.

Supposons qu’il s’agisse de trouver une ligne dont la longueur soit à une longueur donnée comme 3 est à 10. .On ouvrira le compas jusqu’à ce que la distance des deux points marqués 10 soit égale à la longueur donnée, ,ce dont on s’assurera à l’aide du compas ordinaire; la distance des deux points marqués 3 sera alors égale à la longueur cherchée, car les côtés de l’angle AOB étant divisés en parties proportionnelles par les droites (3. ..3) et (10, ..10), ces droites sont parallèles (140) et par conséquent proportionnelles elles-mêmes aux distances 0. 3 et O., 10, c’est-à-dire aux nombres 3 et 10.

GKOxMKTRlE Pl.AKE. 93

Le même procédé servirait h diviser une longueur donnée en parties égales.

Supposons qu’il s’agisse de diviser une longueur donnée en deux parties qui soient entre elles comme les nombres 3 et 7 ; la plus petite des deux parties devra être à la ligne entière comme 3 est à 3 4-7 , ou comme 3 est à 10 ; en sorte que ce problème rentre dans le précédent.

S’il s’agissait de diviser une longueur donnée en trois parties proportionnelles aux nombres 3, 4 et la plus petite serait à la ligne entière comme 3 est h 3 4- 4 4- 5 , ou comme 3 est à 12 -, la moyenne serait à la ligne entière comme 4 est à 12; la plus grande serait à la ligne entière comme 5 est à 12. En sorte que le problème rentre encore dans le cas précédent.

On voit que le compas de proportion sert à résoudre généralement ce problème : l)iyiscr imc longueur donnée en parties proportionnelles h des nombres donnés ; pourvu (jue la somme de ces nombres n’excède pas le nombre de divisions tracées sur le bord de chacune des deux règles.

146. — TU. Lorsqu’on a à diviser une ligne très-petite en un grand nombre de parties égales, les j)rocédcs indiqués jusqu’ici ne peuvent jdus être employés, parce que l’épaisseur même des points de division suffit alors pour rendre ces divisions confuses. On a recours dans ce cas au moyen suivant.

Supposons qu’il s’agisse, par exemple, d’apprécier les dixièmes de la longueur AB (fig. 127),. Sur une droite quelconque AO , on porte 10 parties égales; on tire B O, et par tous les points de division 1 , 2, 3, etc. , de AO, on mène des parallèles à AB. Il résulte du théorème démontré au n° 143, que la ligne (1...1) est le dixième de AB, que la ligne (2.. 2) en est les deux dixièmes, la ligne (3. ..3), les trois dixièmes, et ainsi de suite.

Ce moyen est celui qu’on enij)loie dans la construction des échelles. On nomme ainsi toute droite divisée en parties égales à une unité de mesure quelconque, soit généralement adoptée, soit purement conventionnelle, bans le lever des plans, dans le tracé des cartes, dans

9i PKEftilÈRJ;: PAETiB.

les épures d’ardiiteclure, dans le dessin des machines , cl , on emploie eoiislammeid de sen)blables éelielles auxcpielles on rapjmrte loules les lignes du plan on du dessin; et le mojen préce'denl |MM’mel d'apprécier de trèspetites parties de runilé adoptée.

SoitAB(fig. 128) cette unité; et soient BC, CD, et une suite de longueurs égales à AB. Élevons AA perpendiculaire à AB; portons-y 10 longueurs égales. Parle l)oint A , exlithnité de la 10* longueur, et par tous les points de division de AA', menons des parallèles à AD; puis, par les points B, C , D, etc. , des parallèles à A A'. Divi.sous AB en 10 parties égales; joignons le point A' au point de division 1 ; et par tous les autres points de division, menons des parallèles à A', 1. Il est facile de voir (|ue AB étant égal à .V B, attendu que deux parallèles A.V et B B .sont partout également di.stautes, et les 9 premières divisions de A' B étant respectivement égales aux 9 dernières de AB, comme parallèles comprises entre parallèles, .A B se trouvera partagé en 10 parties égales. Les parties de parallèles comprises entre IB et B B', représentent les dixièmes del B , et par conséquent les centièmes de A B' ou de AB.

Pour mesurei* à cette échelle une longueur prise au compas, on la porte sur Tune des parallèles à AD, de manière cpie les deux pointes du compas coïncident .sensiblement avec deux points de division, !S' et lU, par exemple. On voit que cette longueur se compose, r de iN . G, ou 2 unités; 2“ de MP, ou 3 dixièmes; 3" de P. 6, ou G centièmes; en sorte que l’expression de cette longueur est 2 , 3G.

On verrait de même que rexpre.ssion de la longueur ST est 3 , .58; et ainsi des autres.

Lorsqu’une longueur est exprimée en unités et parties «l’unité de l’échelle, on peut semblablement prendre sur œtte échelle une ouverture de compas égale à cette longueur.

147. — Théouêmé. Deux parallèles AB, CDCfig. 129) sont divisées en parties proportionnelles par une série de sécantes quelconques OC, 01, OH, OD, issues d'un

GÉOMÊrilIE PLANT. 95

point ü. En effet, soient A, E, E, B, les points oii ces sécantes rencontrent la droite AB, on aura (143)

C I . A E : : 1 0 : Eü , et 1 0 ; Eü : : 1 H : £ F; par consé- (jiient, à cause du rapport commun , G I : AE :: I H ; E F, ou ( ,T : I H : ; A E : EF. On démontrerait de même qu’on a 1H:EF::I1D:FB, ou IH :HD : :EF: FB.

GonoLtAiRK. I.e théorème subsisterait encore si le point O était situé en de-dans des parallèles, comme riiP dique la figure 130; seulement les parties de A B se ti’ouveraient <lisposées dans un ordiv de grandeur inverse de celui des parties de G D.

Applicatiox. (le théoi’ème fournit un moyen commode de di^ist*r une ligne donnée eu parties proportionnelles à des lignes données. Soit AB (fig. 129 ou 130) la droite donnée; menons-lui la parallèle GD. Prenons les longueurs (, I , IH, H D, égalés aux ligues donnée-s; joignons GA et AD, qui se coupent en un point ü. Tirons I O et HO, qui couperont AB aux points E et F; le |)roblemc sera résolu; car, d’après le ihéorème précédent, la droite AB sera divisée en parties proportionnelles aux lignes CI, lU, HD, c’est-à-dire aux lignes données.

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