CHAPITRE IX

Des transversales.

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il. »! )

— On donne , en général , le nom de transversale , à toute droite qui coupe plusieurs autres droites. Quand les droites coujvées par la transversale sont parallèles, nous avons vu qu’on la désigne plus particulièrement sous le nom de sécante : il ne s’agira, dans ce chapitre, que des transversales proprement dites, c’est-à-dire de celles qui rencontrent plusieurs autres droites non parallèles. Nous nous servirons du mot pour dé-

.signer une portion de la ligne droite.

l'IQ* — Théorème. Si trois droites qui se coupent y AB , AD, BD (fig. 131 ) sont rencontrées par une transversale d a , aux points d , b , a , de maniéré à former les six

scgmentx d A,bB,bA, bD,aB,R.D,/&r pnxluits des segnicnts sépares seront égaux, et l’on aura:

■ A A X^ÜX<’^A.

Pour le prouver, menons B I parallèle à AD; on aura, en vertu du théorème du n" 1^3 ,

BI: A^*:: B^/w/A, d'où BI = :^-Î^.

En vertu de ce même théorème, on'aura aussi

BI: Z»D::«B:Da,d’oùBl = ii^— .

Égalons ces deux valeurs de BI, et réduisons-les au même dénominateur, il viendra

A6XB<^X0b inXaBX'/A

</AXOa </AXl>a *

Or, deux nombres fractionnaires égaux , dont les dénominateurs sont égaux , doivent avoir même numérateur; il faut donc qu’on ait ■

A^>XBf/XDa = iDXrtBXf/A,

c’est-à-dire que si l’bn fait les produits des segments qui n’ont aucune extrémité commune, ces produits seront égaux.

Remarque. Si l’on a soin de mettre , comme nous l’avons fait, à l’intersection de la transversale avec chacune des droites données , une lettre semblable à celle qui occupe le sommet de l’angle formé par les deux autres , l’expression de^ce théorème offre, quant aux lettres, ,une symétrie remarquable, qui peut aider à le retenir.

160. — Application. On pourrait, en s’appuyant sur ce théorème, calculer approximativement la distance fT un point h. ( fig. 132 ) , donné sur le terrain , à un point inaccessible B. Pour cela , faisons planter un jalon en À , un second jalon en G, sur le prolongement de B A, un troisième en un point quelconque D, pris dans la campagne, et accessible des points A et G. Faisons planter un quatrième jalon en un point quelconque E de la ligne DA, et un cinquième en F, à rintei'seclion des droites BEetGD.

' Eu considéraut B F commis une transversale , par rap-

r.jjOMi-;TiuE PLArsT-. 97

])ort aux droites B C, AD et (]D, ou aura, d’après le théorème précédent:

BC X DF X AE = BA X CF X DE, d’oii B G = B A X '* * ■

Les lignes (,?, DF, Df^, AE, étant supposées accessibles, on pourra les mesurer, et la cpiantité qui imiltijdie BA dans l’égalité précédente, pourra être réduite en un nombre que nous rejn’ésenterons par u. ün aura donc BG=BA X /7.

Mais on a aussi B (1= R A 4- A G. Donc

BAX«=BA + AG, io . Il

d’où , en retranchant de part et d’autre B A ,

B A X // — B A= A G ou B A X (« — i ) = A G ,

ou enfin BA= ^

La ligne AG peut être mesurée; n — 1 est une quantité numérique connue; tout est donc connu dans l’expression de B A.

Supposons, par exemple, qu’on ail troiné G F = 3ü'>>,2o ; D F = 39“‘,1 7 ; D E = 42“',5-l ; A E = 21>“,95 , et A G= 40-,20 , il en résultera « = ^ = i 49 •

391 17 X a'.yj ’ ’

et n~\= 0,49 ; puis B A = = 82'“,04.

Hcmarquc . Il est bon toutefois de faire remarquer que, pour que ce procédé conduise à une approximation suffisante , il faut que les mesures soient faites avec une très-grande précision ; car de petites erreurs sur ces mesures pourraient, par suite des multiplications à effectuer, en produire une assez grande sur la distance calculée.

151. — Théorème. .S7 trois d/vitcs AB, AD, BD (fig. 133) .ïc' coupent, et que , par un point intérieur O et par Les sommets A , B , D , on mène des lignes A a , B b , Dd, qui déterminent sur les premières droites les six segments Ab,bD,Da, aB, Bd, dA; les produits dçs segments séparés seront égaux, et P on aura

A^ XBr/X Drt=«BX ^D X ^/A.

98 l’REMIKIlE PARTIE.

• En effet . si l’on considère la ligne D<f comme une Iranvcrsale par rapj)orl aux trois droites A B, B A 6, on aura, en vertu du théorème du n® 149,

d\ y ADxOB — Br/XO^X AD.

De même, si l’on considère la ligne ko comme une transversale par rapport aux trois di’oitcs B D , A i D , on aura

kh y D«xOB=rtB X 0 Jx AD.

Divisons ces deux égalités membre à membre, et sup- . primons les facteurs communs au numéi’aleur et au dénominateur de chaque membre résultant, il restera

dKy b\) b7/*

Réduisons au même dénominateur, les numérateurs devront être égaux , et l’on aura

' Ai>XDrtXBrf=aBX^/AX*D ■ ce qui revient à L’énoncé du théorèmci

Corollaire I. 11 suit de là que si l’on avait <'/A=B<^ etDrt=«B, on dcxTait avoir aussi kb=hD.

Corollaire II. Si l’on avait simplement kh = hTi , il •en résulterait DaX B><r/=«BX</A, d’où l’on tire la proportion D «B : : <^/A : B c’est-à-dire que si l’on joignait do, cette droite serait parallèle à AD en vertu du théorème du n” 140.

Application. Cette considération peut servir à mener . par un point donné « une parallèle à une droite A D dont le milieu b est connu. Pour cela, joignons «D; par un point quelconque B , pris sur son prolongement , menons B A et BÎ. .Joignons ko qui coupe B t au point O ; puis D O , qui coupe B A au point d; les points a et d détermineront la parallèle cherchée.

La construction que nous venons d’indiquer pourrait être mise en pratique .sur le terrain , s’il s'agis.sait , par exemple, de mener une parallèle à une route inaccessible, sur laquelle on connaîtrait deux distances consécutives égales, comme celles que déterminent les bornes placées de demi-kilomètre en demi-kilomètre. Si A , A , D étaient li’ois de ces bornes consécutives, et « le poiut |

I GitOMETRIE PLANE. 00

I donnrf , on n'aurait que quatre jalons à planter, savoir, I successivement aux points «, li, O et il.

1Ô2. — T.e tliéorème précédent subsisterait encore si le point O, au lieu d’èlre intérieur par rapport aux <lroites AB, AJ), Bl), leur était extérieur coininc l’indi- ! que la figure 1.34. Les six segments, à considérer, seraient alors A^/, B^/, \ h, Db, B«, D«, c’est-à-dire toujours les distances des sommets A , B , I) , aux points ou les trois droites données A B , A D , BD, sont coupét?s par I les trois <lroites ÜA , OB, ü D issues du point O. Kn ef- ' tel : en considérant 1)^/ comme une transversale par rapport aux trois droites A B , B^», A on a (MU) ;

I Af/xl^^X OB=B^/x AD X 0^»;

' et en considérant AO comme une transversale par rap^ port aux trois droites B D , B , D on a :

A X D « X O B = AD X B a X O .

Divisons ces égalités membre h membre, en supprimant les faéteurs communs au numérateur et au dénominateur de chaque membre résultant , il restera'

I Ai X Oa __ Bd

Réduisons au même dénominateur; les numérateurs de- I vront être égaux, et l’on aura

I A6XDaXBr/=BaXAr/XD6;

' c’est-à-dire qu’il y a encore égalité entre les produits ' des segments séparés.

153. — Soient AB et AC (fig. 135) deux droites quelconques qui se coupent. Par un point extérieur M, menons deux nouvelles droites IMC, IME, qui coupent les premières aux points B , C et D, E. Joignons ces poihts deux à deux réciproquement , c’est-à-dire lirons B E et D C, qui se couperont en un point O. Enfin joignons A O, et prolongeons cette droite jusqu’à la rencontre de MC en I.

{100 PREMIKBK PA.UTIK.)

, Si Ton coBSklèi'e M K «onune une transversale pal* rapport aux trois droites A B, A C , B on aura (149) :

AEXCMXBT) = ADXMBX CE.

Les droites AI, BE, C D étant menées d’un point intérieur O , aux sommets A , B , C , on aura (151) :