AE X CIX BD = AD X BIXBE

Divisons ces deux égalités membre à membre , et supprimons lés facteurs communs au numérateur et au dénominateur de chaque membi*e résultant, il restera

ÏT=W’ ^ BI =MB X CI.

La droite C^M se trouv e donc divisée en trois segments tels que le produit de la ligne entière CM, parle segment moyen BI, est égal au produit des segments extrêmes MB et Cl; ce qu’on a l’babitiule d’exprimer en disant que celte droite est divisée harmoniquement aux points B et I. *

154. — Les distances qui dépendent des points D et E ne figurent pas comme on voit dans le résultat précédent, en sorte que^ce résultat serait le même quelle que fût la droite ]ME, pourvu qu’elle passât par le point M. 11 en résulte que si l’on fait varier la droite AIE, le point O variera , mais demeurera constamment sur la droite A 1.

155. — Au lieu de considérer M E comme une transversale , par rapport aux droites A B , A C , B C , nous aurions pu considérer AIC comme une transversale, par rapport aux droites AD, AE , DE; noms aurions eu : .

\CXDBXME=ECX ABXDM. ' •

Mais les droites OA , OD, 0 E étant menées du point 0 aux sommets des angles formés par les trois droites A D , AE, De, on a aussi (152) :

ACXDBxHE = ECX ABXDH.

Divisons uiemlire ?i membre ers deux égalilés el suppri-

tuons les facteurs communs au numérateuret au dénominateur de chaque membre résultant, il reste

înî = n îl » où M E X D 11= D M X II E ;

c’est-à-dire que le produit de la ligne entière IVI E, par le segment moyen T)H, est égal au produit des segments extrêmes D^lel HE; en d’autres termes, la droite ME est divisée harmoniquement aux points D et H. Il en serait évidemment de même fie toute autre droite menée par le point M, puisque E est quelcon(|ue.

I.es droites menées par le point :M forment ce que l’on nomme un /<7wr<Y/« harmonique , dont le point M est le pôle; et la ligne A I se nomme la polaire.

1.50. — Puisque ME est divi.sé harmoniquement aux I>oints D et H , menons par le pôle 1\I une nouvelle droite !NI N (fig. 130); nous pourrons' applifjuer aux droites ISI K et IMN tout ce que nous avons dit des droites MC et ÎM E (153); en sorte (jue si nous joignons réciproquement les points L, N, D, E par les droites LE et JN'I), la «Iroite A S qui joindra leur point de rencontre au point A , flevra passer par le point H, et conséquemment aussi par le point I. I.e point de concours S des deux droites L E et N 1) se trouve donc sur la polaire.

157. — Uéciproquement : si , après avoir déterminé la polaire Al, on prend un point quelconque S sur cette droite, que l’on tire par ce point les droites D.N et L E , et que l’on joigne N L , le prolongement de cette dernière droite ira passer par le pôle M.

Car s’il n’y passait pas, et qu’en joignant les points M et N, la droite de jonction coupât A H en un point difféi’ent de L , ce point et le point E détermineraient une droite qui coujH'rait 1)N sur la polaire (15(5). Or 1) N a déjà le points commun avec la polaire, et ne .saurait en avoir d'autres; donc la droite qui joint M et N ne peut couper AB qu’au point L. Donc la droite NL, prolongée, doit passer par le point M.

1.58. — Enfin, si par le point M on mène les droites IM RC., M D E , 1M 1\ L, que l’on joigne BE et 1) C qui .se cou|)ent au point O, puis DJS' et LE qui se coupent au

402 pnEAnÈiir. pa,rtiè.^

]H)int S, ladmileOS qui joint Ifci pointsdei*êncrtntr-eO et S, passera par le j>oint A. Car si l’on joignait OA, cette droite serait la polaire, et les lignes L E et D N doivent se couper sur cette droite (156) ; or elles se coupent au point S et ne peuvent avoir d’autre point commun; doue le point S est situé sur OA. Donc aussi le point V est situé sur OS.

yipplication de la théorie des transversales,

159. — Les propriétés des transversales fournissent plusieurs applications utiles.

Dans les épures d’architecture , dans le tracé des cartes, etc. , on a souvent besoin de mener par un point don né une droite qui concoure avec deux autres droites, et il peut arriver que le point de concours soit situé hors du cadre de l’épure , c’est-à-dire hoi’s de la feuille sur laquelle on opère. La considération des transversales permet de lever cette difficulté.

Soit O (fig. 136) un point donné par lequel il s’agit de mener une droite qui concoure avec deux droites données CN et BL. Par le point O, menons deux droites quelconques CD et EB; joignons leurs extrémilés par les droites CB et ED, qui, prolongées, iront généralement se couper en un point .M (on -pourra toujoiu’s choisir ces droites de manière que le point M suit situé dans lè cadre dé l’épure). Tirons par le point M une droite qui coupe BL en un point L ; joignons EL et ND qui se coupent en un point S. Enfin tirons O S, qui sera la droite demandée ; car, d’après ce qui a été dit précédemment, 1«> droites MC, ME, M N forment un faisceau harmonique, dont M est le pôle , et OS la polaire. Donc O S , B L et C N doivent concourir en u n même point.

160. - - Lorsque le point donné est extérieur aux droites données, il faut o|)érer d’une autre manière.

Soit N (fig. 136) le point donné, et B C, DE les droites données. Par le point N menonsune droite quelconque CA, puis une seconde droite qtielœnqite B DA. Joignons BE et DC qui se coupent en O; tirons O A. Joignons DN qui coupera OA en un point S ; tiron.s ES,

GKOMÉTRIK PLAXK. 103

fjiii \iendra couper B A en un point L; enfin timns IS L , qui sera la droifè demandée. Car, d’après la construction, le point de rencontre des droites données BCet DE est le pôle qui correspond à la polaire O A ; les trois droites B C , DE , L K forment donc un faisceau harmonifiue et concourent en un même point.

161. — Ces constructions peuvent être pratiquées avec avantage sur le terrain. Supposons, par exemjile, que CA et C B (fig. 137) soient les directions de deux allées qui concourent au centre C du rond-point d’un parc; et qu’il s’agisse d’en ouvrir une nouvelle dont la direction .soit a.ssujettie à passer par un point donné O. Pour tracer la direction de cette allée au travers d’un massif d’arbres qui empêchent d’apercevoir le point C du point O et vice versa, il faudra recourir à la construction du n® 169 : on aura , à cet effet, 9 jalons à planter. Afin d’éviter les redites, nous avons numéi*oté sur la figure les points où ils doivent être placés, dans l’ordre que néce.ssite la construction. Les jalons 1 et 9 détermineront la direction cherchée.

162. — On peut se proposer de trouver un point sur le prolongement d’une droite inaccesible : on a recours pour cela à la construction du n® 160. Soit AB (fig. 138) la droite inaccessible, déterminée .seulement par deux points visibles A et B. Fai.sons planter dans la campagne un jalon quelconque 1 ; puis sur les directions A . 1 et B. 1 , marquonspar des jalons les points2 et 3, choisis arbitrairement, mais de manière cependant à ce que la droite déterminée par ces deux points rencontre le prolongement de A B dans les limites assignées à l’oj>ération. Puis fai.sons planter succe.ssiveinent : le jalon 4, à l’intersection des droites B. 2 et A. 3; le jalon 5, en un point quelconque de A. 1 ; le jalon 6, à l’intersection des droites 5. 3 et 1.4; le jalon 7, à l’intersection des droites 1. 3 et 2. 7; enlin le jalon 8, à l’inler-seclion des droites 2. 3 et 6. 7. Le point déterminé par le jalon 8 sera le point cherché; car, d’après la construction , la droite 4. 1 est la polaire, et le point 8 est le pôle, du faisceau harmonique A. 8, 2. 8,5. 8.

404 PREMIÈRE P4RTIR.

Cette cnnstniction trouve son application dans l’attaque des places fortes, lorsqu’on veut établir une batterie qui prenne en (laiie l’une des batteries de la j)lace. Il est indispensable aloi’s d’avoir un point situé sur le prolongenient du front de la batterie ennemie. On utilise dans ce cas les sillons tracés sur le terrain par les boulets de la place ; si A B était le front de batterie dont il est question , on pourrait choisir les lignes A. 1 et A. 3 parmi U's sillons qu’ont tracés les boulets partis du point A, et les droites B. 1 et B. 2, parmi ceux qu’ont tracés les boulets partis du point B.

lf)3. — Kn réj)étaiit cette môme construction, on peut obtenir deux points sur le prolongement d’une droite , et obtenir ainsi le moyen de la prolonger r«H*llement. liCs jalons 1 et 2 qui ont servi à la première opération peuvent encore servir à la seconde.

On a recours à ce procédé lorscju’il s’agit, par exemple, de prolonger une route au delà d’un obstacle momentané, tel qu’une habitation à démolir, un bois à percer, etc. , et que l’on a intérêt à ne point différer les travaux.

CUAPITRE X.

' Propriétés du cercle relatives aux lignes proportionnelles,

164. — TnÉORÊME. Si deux cordes AB CD (fig. 139) se coupent dans un cercle, leurs parties réciproquement proportionnelles , et ion o AO ; OC : : OD : O B. Pour le prouver, prenons 0^=0D et Oo = OA; puis tirons AD, ad, OB. Si l’on reloumait l’angle AO« sur lui-même, il est évident que le point a tomberait en A et le point r/en D; les droites AD et ad coïncideraient donc, ainsi que les angles O AD et O ad. Donc ces angles «sont égaux. JNIais l’angle O AD et l’angle OC B sont égaux comme ayant tous deux pour mesure la moitié de l’arc BD; doncOCB = Ortrf, et les droites B Cet ad sont parallèles (90). On a donc aO : OC ::Or/; OB, ou, ce qui revient au même, A O : OC ; : OD : OB.

Corollaire. Si l’on mène un diamètre CD (fig. 140)

OliOMïTRlK PLANE. 105

pf*!’|>endiculau*e à mie corde AB, ce diamètre partage cette corde en deux parties égales A O et O B. Kn vertu du théorème précédent on a OD: OA :: OB :OC, ou OD : OA ::OA : OC; c’est-à-dire que la perpendiculaire ahai.sftée d'un point d'une circonférence sur son tliametre est moyenne projwrtionnelle entre les deux se juments de ce diamètre.

165. — PnoBi.ËviE. Trouver une moyenne, proportionnelle entre deux longueurs données. Sur une droite indéfinie portons à la suite rime de l’autre les longueurs AB et BCffig. 141) respectivement égales aux longueurs données. Sur A C comme diamètre décrivons une demicirconférence. Au point B élevons BD perpendiculaire à AC; cette perpendiculaire sera la moyenne proportionnelle demandée, en vertu du corollaire précéilent.

166. — Théorème. Si par un point O (fig. 1 42) pris hors d’un cercle f on mène deux sécantes O X et OU les sécantes entières seront rwiproquement proportionnelles à leurs parties extérieures; et T on aura O A. : O B : : O D : O C. Pour le prouver, prenons Ort*= OA et 0^ = 0 B; {mis tirons AB , «5, (iD. Si l’on retournait l’angle A O « sur lui-même, il est évident que le {loinl/'/ tomberait en A, et le point b en B; les droites A B et ah coïncideraient donc, ainsi que les angles OA B et Oah; donc ces angles sont égaux. Or l’angle inscrit I) B ayant |)our mesure la moitié de l’arc CAB, l’angleODC qui est son supplément, a |)our mesure la moitié de l’aiv restant (^DB; mais l’angle OA B a aussi pour mesure la moitié de l’are CDB; donc 0AB=0DC et |)ar suite 0<7/;=()DC. Les droites ah eiC D sont donc {)arallèles (90 ) , et l’on a Oa : on :: Ob : OC, ou, ce qui revient au même, OA : OB :: 0D:0C.

167. — L Théorème. Si par un point 0 (fig. 1 43) pris hors d’un cercle , on mène une tangente O \ et une sécante 0 B , la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Pour le prouver, prenons 0«=0 A et 05 = 0 B ; {mis lirons AB, «5, AC. Si l’on retournait l’angle B0 5 sur lui-même, il est évident que le point h tomberait en B, et le {loinl a en A ;

i06 PREMIERE PARTIE.

les droites AB tinb coïncideraient donc, ainsi qne les angles OB A et Obn; donc ces angles sont égaux. Mais l’angle O AC, formé par une tangente et une corde, a pour mesure la moitié de l’arc A C sous-tendu par cette corde (128); de plus l’angle inscrit OBA a aussi pour mesure la moitié de l’arc A C ; donc O A Cc=0 B A , et par suite O AC = O ^<2. Les droites et A C sont donc parallèles, et l’on a 0/>: OA : :0a : OC, ou, ce qui revient au même , OB:OA::OA:OC.

168. — Lorsqu’une dmite AB (fig. 144) est partagée en un point C', de telle manière que le plus grand segment AG soit moyen projiorlionnel entre le plus |)etit BC, et la ligne entière A B, la droite est dite partage en moyenne et extrême raison, parce que dans la jiroportion A B : A C : : A C : B C , les deux segments C B , A C sont l’un extrême , et l’autre moyen.

Nous aurons bientôt besoin de savoir effectuer ce genre de partage. Voici comment on y parvient.

A l’une des extrémités de la droite à partager, élevons la perpendiculaire B O égalé à la moitié de A B. Du point O comme centre, avec O B pour rayon , décrivons une circonférence, et tirons AO, qui coupe cette circonférence aux points I et D. Enfin prenons AC=A1. La droite A B sera partagée au point C en moyenne et extrême raison.

Car la droite AB étant perpendiculaire à l’exlréniité du rayon O B, est tangente à la circonférence; d'ailleui's OD est une sécante; on a donc, en vertu du théorème précédent , A D : A B : : A B : A I. On en tire AD - AB: AB :: AB — Al; AL Or ID étant le double deOB , est précisément égal à A B ; ainsi AD — A B est la même chose que AD — I D , ou queAI,ou que AC. De plus, AB — AI revient à AB^AC, ou à BC. lia pi’oportion ci-dessus peut donc s’écrire A C : A B : : B C : A C , ou , en renversant l’ordredes termes dans chaque rapport, AB:AC::AC: BC.

169. — Paoni.ÉME. Mener une tangente commune h {leux circonférences données A cf a (fig. 1 4.i). Tirons deux rayons parallèles AB et oh. Joignons B />, qui , suffisamment prolongé, rencontrera en un i>oint O le prolonge-

GÉomÉTIllE PLANE, 407

ment de ,1a ligne des centres Sa; car autrement A B et ah seraient égaux (134). Par le point O menons une tangente OT à la circonférence A; cette droite sera aussi tangente à la circonférence a. '

En effet, à cause des parallèles AB et «6, on a OA : 0« :: AB : ab{\4'i). Si Ton mène au point de tangence T le rayon A T , ce rayon sera perpendiculaire à la tangente OT; menons aussi at perpendiculaire- à cette tangente , et par conséquent parallèle à AX, nous aurons O A : Oa ; : AT xat. Cette proportion ayant avec la précédente un rapport commun,, on en déduit AB:û^:: AT : a t. Or dans cette dernière proportion les antécédents son égaux comme rayons d’un même cercle ; il faut donc que l’on ait aussi « 6 = ar. Le point t est donc sur la circonférence a, et la droite O T est perpendiculaire à> l’extrémité du rayon at, c’est-à-dire qu’elle, est tangente à la circonférence a. ,

Remarque 1. Par le point O on peut mener deux tangentes à la circonférence, A , qui- toutes deux sont communes aux deux circonférences A et a.

Remarque II. Au lieu, de mener les rayons AB et ah dans le même sens, on peut les diriger en sens contraire comme l’indique la ligure 146. La droite B A coupe alors la ligne des centres Sa entre les points A et a; et l’on obtient ainsi deux nouvelles tangentes communes.

On peut donc mener à deux circonférences données quatre tangentes communes, deux extérieures et deux intérieures. c j .'.i

Remarque III. On démontrerait facilement que , si les deux circonférences données sont égales , les deux tan- ^gentes communes extérieures sont parallèles à la ligne

• des centres , et que les deux autres se coupent au mi-

• lieu de cette ligne.

Les points de contact des tangentes communes extérieures sont alors les exti’émités des diamètres perpendiculaires à la ligne des centres.

170, — Appmcations. On a besoin de mener des tangentes communes à deux circonférences, lorsqu’on veut - dessiner une corde qui s'eiu uuic sur plusieurs poulies

108 PMKMIKRK PARTIE.

(fig. 147). Si la corde doit être extérieure d*iiue poulie à l'auti'c, comme cela a lieu de A en B, on mène une tan> gente commune extérieure aux circonférences des gorges des deux poulies, et l'on donne à la corde l'épaisseur convenable, en menant une parallèle à cette tungente. Si la corde doit être intérieure d'une poulie à l’autre , J comme cela a lieu de B en C, on ne peut plus‘ <'igir de >méme. Du centre de la poulie C , avec un rayon égal au rayon de la gorge de cette poulie, augmenté de l’épaisseur de la corde, on décrit une circonférence; ônmène une tangente commune intérieure à cette cireonférence et à celle de la gorge de la poulie B ; on donne .ensuite à la 'corde 'l’épaisseur convenable , en menant une parallèle à cette tangente. J i

On opère d’une manière analogue pour dessiner iti courroie sans qui communique le mouVement'd’UHfc roue à une autre; soit dans le même sens, comme l'indique la figure 148 , dans ce cas la courroie est extérieure; soit en sens contraire, comme l’indique la figure 149, dans ce cas la courroie est intérieure. Dans l’un et l’autre cas on raccorde les parties rectilignes du bord extérieur de la courroie par des arcs de cercle décrits du c^trede chaque roue. * j j

li i . I • / ! ’M