L’ellipse jouit de propriétés Irès-remprquables

qu’il n'entre point dans le cadre de cet ouvrage de taire connaître ; nous nous contenterons de montrer comnaent on peut mener une tangente à cette courbe, et la raccorder, par conséqueut, avec des lignes droites.

I. Soit d'abord M (tig. lôl ) un point de la courbe p^ lequel il s'agit de lui mener une tangente. Après avoir mené les ravqus secteurs MF' et MF, pmlongeons MF' d’une quantité MC égale à MF, et joignons F C. Du point M abaissons MI perpendiculaire sur FC; celle perpendiculaii*e sera la taugente demandée;.

En effet, les obliques égales M F cl MC ont leurs pieds également distants du pied de la ))crpendiculaire Ml; donc FI^BC. Soit K un point quelconque de MI, différant de M. On aura KF'-i-KC;>F'C. Mais K C et KF sont égaux, puisque le point K appartient à la perpen- <licnlaire élevée sur le milieu de t C; on peut donc écrire KF>-F'C. Or, F' C = F' ‘M-H ÎM C==F M -+- M F = Ali. DoncKF 4-KF> AB. Ainsi, le point K est situé hors de l'ellipse. Il suit de là que tous le.s points de la droite MI, à l'exception du point i^I, sont situés hore de l’ellipse : donc cette droite n’a et ne. peut avoir avec la courbe d’autre point commun que le point àl. Donc elle est tangente en ce point.

11. Soit maintenant un point R extérieur à la courbe , et par lequel ou veut lui mener un tangente. Du point K , comme centre, avec un rayon égal à la distance KF, décrivons un arc de cercle. Du point !■ , comme centre, avec un rayon égal à AB, décrivons un second arc de cçrcle. Ces arcs se couperont; car, si l’on tire F' K et KF, le point Iv étant situé hors de l’ellipse, on aura F L Vk F > A B , d’où F K > A B — K F, c'est-à-dire que la distance des centres est plus grande que la différence des rayons; d’ailleurs on a FK<KF -l- FF, et à plus

GKOMÊTiUi: rLA?(E. 111

forte raison F' K K F + A li, c’est-à-dire (ine la distance des centres est moindre que la somme des rayons.

Soit donc C un des points de rencontre des deux arcs ; joignons F C, qui rencontrera l’ellipse en un point 31; ce point sera le point de tangence, et K 31 la tangente demandée. En effet, si l’on tire les droites 31 F, KC , FC , on aura F'C=AB; d’ailleurs on a aussi 3ÎF'+3IF=AB, donc 3IF=3IC. De plus, on a KF=KC, comme rayons d’un môme cercle. La droite KM a donc deux de ses points, K et 31, à égale distance des extrémités de la droite FC, dont elle est perpendiculaire sur le milieu de cette droite (75); et en reprenant les raisonnements de tout à l’heure , on prouvera que K 31 est tangente au point 31.

Applicatiox. L’ellipse joue, en astronomie, un rôle des plus importants. Les trajectoires des planètes , c’està-dire les courbes qu’elles décrivent autour du soleil , sont des ellipses, dont le soleil occupe l’un des foyers.

Nous aurons occasion, en traitant de l’intersection des .surfaces, défaire connaître quelques autres applications de l’ellipse.

174. — Nous avons dit (4) que toute ligne courbe peut être considérée comme une ligne brisée, composée d’un nombre infini de côtés infiniment petits. C’est toujours ainsi que l’on considère les lignes courbes dans la pratique.

Pour tracer une courbe, lorsqu’elle ne jouit d’aucune propriété particulière qui pui.s.se .servir à la décrire commodément d’un mouvement continu , comme le cercle et l'ellip.se, on en détermine aussi rigoureusement que pos.sible un certain nombre de points, et l’on trace à la main une ligne continue qui pa.sse par ces points. S’ils .sont suffisamment rapprochés les uns des autres, la ligne bri.sée qu’ils déterminent ne diffère pas sensiblement de la courbe qu’il s’agissait d’obtenir; à plus forte raison la ligne continue que l’on a tracée n’en diffère-t-elle pas sensiblement.

Suppo.sons, par exemple, qu’on propose de tracer une ligue" courbe, dont chaque point soit à égale distance

112 PRKMIKRE PARTIE.

d’un point fixe F (fig. 152), et d’une droite fixe AB. Du poit F, abaissons sur AB la perpendiculaire FD; le milieu S de la longueur F D sera évidemment un des points de la courbe demandée.

Par un point quelconque ni de la droite FD, menons MIS parallèle à A B, Du point F, comme centre, avec un rayon égal à Dw, décrivons un arc de cercle, qui coupera cette parallèle aux points M et N ; ces deux points appartiendront à la courbe. Déterminons d’une manière analogue d’autres points M', K', M", ]V, etc. ; s'ils sont suffisamment rapprochés, la ligne brisée qu’ils déterminent, et à plus forte raison la ligne continue que l’on fera passer, à la main, par ces points, ne différei*ont pas sensiblement de la ligne courbe demandée.

’ La courbe que nous avons choisie pour exemple pourrait aussi se décrire d’un mouvement continu , par un moyen analogue à celui qui sert à décrire l’ellipse; nous n’entrerons point dans ce détail. Cette courbe a reçu le nom de parabole. Le point fixe F est ce qu’on nomme le foyer de la parabole; le point S son sommet; la ligne D F son axe, et AB sa directrice. Cette courbe est illimitée dans un sens, et ne revient pas sur elle-même, comme le cercle ou l’ellipse. C’est celle que décriraient les projectiles , s’ils n’éprouvaient de la part de l’air aucune résistance. Les comètes décrivent , autour du soleil, des ellipses très-allongées, qui, dans leur partie la plus rapprochée de cet astre, se confondent sensiblement avec des paraboles.

175. — Lorsque l’on veut rectifier wwci ligne courbe, ou un arc de courbe , c’est-à-dire trouver une ligne droite qui ait même longueur, le moyen lé plus commode dans la pratique, consiste à diviser cette courbe en parties assez petites pour que chacune d’elles puis.se, sans erreur sensible, être con.sidérée comme une ligue droite. En portant ces diverees longueurs à la suite les unes des autres, .sur une même droite indéfinie, on obtient la longueur cherchée avec une approximation suffisante.

Théoriquement parlant, cette apjiroximation serait d’autant plus grande que la courbe aurait été divisée en

plus de parties; mais on conçoit que les erreurs gi’aphiques seront, au contraire, d’autant moindres, que les divisions seront elles-mêmes moins nombreuses; en sorte qu’il est nécessaire de ne pas multiplier inutilement les divisions.

On abrège beaucoup l’ojXM’alion en portant sur la courbe, à l’aide du compas, une suite de petites cordes égales, que l’on porte ensuite de même sur une droite indéfinie. Pour déteiuniner l’ouveiTure de compas convenable, il faut, dans la partie la plus courbée de la ligne courbe donnée, marquer un petit arc, qui se confonde sensiblement avec sa corde. Cette corde, portée dans la partie la moins courbée, se confondra, à plus forte raison , avec l’arc correspondant. Après l’opération que nous venons d’indiquer, il restera , en général , un petit arc de la courbe; on n’aura plus qu’à porter la corde de cet arc à la suite des autres, sur la droite indéfinie.

176. — Lorsque l’on considèi’e uneligne courbe comme une ligne brisée dont les côtés sont infiniment petits, chacun de ces côtés infiniment petits est ce qu’on nomme un élément de la courbe.

Si l’on conçoit qu’un élément de courbe ah (fig. 1.53) .soit prolongé dans les deux sens, la droite ST, qui en résultera , se confondra avec la courbe dans toute l’étendue de cet élément. Cette droite ST est ce que l’on nomme une tangente à la courbe : ainsi , une tangente à une courbe est , en général , une droite qui a avec celte courbe un élément commun ; et c’est en vertu de cette communauté (|ue la courbe et la droite se raccordent. Rien n’empêche, d’ailleurs, que la tangente prolongée n’aille couper la courbe en t|uelque point, comme l’indique la figure. Il peut se présenter, dans la position relative d’une courbe et de sa tangente en un point, beaucoup d’autres circon.stances que nous ne pouvons examiner ici. Kous nous bornerons à indiquer un moyen général de mener une tangente à une courbe.

177. — Soitàl (fig. 154)un point donné sur une courbe UX, et par lequel on se propose de mener une tangente à cette courbe.

MA PREMlkllE PARTIKi

Prenons , de part et d’autre, du |x>iuf Af , deux autres |X)inLs A et B, assez rapprochés pour que les arcs AM et Al B se confondent sensiblement avec leurs cordes. Par les points A, AI, B, faisons passer une circonférence, et soit O son centre. Si les points A , Al , B , sont suffisamment rapprochés, cette circonférence se confondra sensiblement avec la courbe II M X, dans l’étendue A MB. Au lieu de mener une tangente à la courbe U MX , au point AI, on pourra donc mener en ce point une tangente à la circonférence, dont O est le centre, c’est-àdire une perpendiculaire à l'extrémité du rayon O AI.

Remarque . La droite AI O, menée par le point de tangence, perpendiculairement à la tangente, est ce qu’on nomme la normale au point Al. Dans le cercle, toutes les normales concourent en un même point , qui est le centre du cercle. Il n’en est plus de même pour les autres courbes.

178, — Soit maintenant T (fig. 154) un jx^int donné hors d’une courbe UMX, et par lequel on veut mener une tangente h cette courbe. Faisons affleurer, au ]>oint T, le bord d’une règle, et faisons-la j)ivoter autour de ce point, de manière à prendre les positions suOeeKsiVes ÏU, ï A% T A , etc. Dans ce mouvement , l’arc sous-tendu par le -bord de la règle ira sans cesse en diminuant. Quand cet arc sera réduit à un arc très-petit A AI B , prenons à volonté un point M sur cet arc, et faisons passer une circonférence par les trois points A, Al, B. Soit O son centre. Si ces points sont .suffisamment rapprochés, cette circonférence .se confondra sensiblement avec la courbe UMX dans l’étendue A AI B. Or, le point de tangence que l’on cherche ne peut se trouver que dans cette étendue, puisque les droites menées par le point T, au-dessous de TA, sont des sécantes : au lieu de mener une tangente à la courbe donnée, on peut donc mener, par le point T, une tangente à la circonférence, dont le centre est O, et le rayon OM {voyez le n“ 102).

GÉOiVTKTRIE PLANE.

• bVVW%Wt«VV% V%'Wl/W\'l^/W«W\t/V%/WVWlVWVW‘\iWVtW\«/^Wat

179. ^ On (lonnp en général le nom âo /tfir/re plane à toute portion de plan terminée par des lignes. On l’applicjue ensuite j)ar extension à tout assemblage de lignes t lacées sur un plan; mais le titre de cette section suppose le mot fgure restreint au sens que nous venons d’indiquer.

11 faut au moins trois lignes dignités pour terminer en tous sens une portion de plan. Toute portion de plan terminée par trois lignes droites, telle que A BC (fig. 1.55),

I est ce qu’on nomme un triangle. Les droites AB, AC,

I B C qui le terminent se nomment ses côtés; et les som-

I mets A , B , C des angles fermés par les côtés se nom-

I ment les sommets du triangle.

180. — Théorème. Dans tout triangle , ta somme des trois angles équivaut h âeu.r angles droits. Soit ABC ( fig. 1.5G) un triangle quelconque. Par le sommet A menons une parallèle DE au côté opposé BC. Les angles A B C et B A D sont égaux comme alternes internes ; il etl

I est de même des angles AC B etCAE. La somme des I trois angles du triangle équivaut donc à la somme des I trois angles BAD,CAB, CAE, c’est-à-dire à deux angles droits (.58).

CoROLEAiRE. I. Il résulte immédiatement de ce théorème que lorsque l’on connaît deux angles d’un triangle, on peut obtenir 1e troisième. Si l’on tire en effet