CHAPITRE P

Des triangles.

H6 PREMIKRF. PARTIE.

une droite indéfinie A D (fig. Iô7); qu’en un point O de cette droite on lasse les angles AOB et BOC respectivement égaux aux deux angles connus du triangle; l’angle COD sera égal au troisième angle cherché : car la somme des angles AOB, BOC et COD équivaut à deux ^ angles droits.

Il se pourrait que l’on ne donnât que la valeur numérique de deux des angles' d’un triangle, c’est-à-dire le^ nombre de degrés, minutes et secondes que chacun d’eux renferme ; pour délerminer la valeur du troisième , il faudrait faire la somme des deux premiers, et retrancher cette somme du nombre 1 80“, cpii exprime la valeur de deux angles droits. Si l’on savait, par exemple, qu’un I triangle a un angle de 132® 17' 49' et un angle de 25® 38' \

13", la somme de cés deux angles étant de 1.57® 56' 2\ on en conclurait que le troisième angle du triangle 9 pour valeur l’excès de 180® sur celte somme, c’est-à-dire 22®

CoROLLATRE II. Il ré.sulte encore du théorème pi’écédcnt tpi’im triangle ne peut avoir qu’un .seul angle droit. Dans ce cas le triangle est dit rectanç^le. Le côté AC (fig. 158) opposé à l’angle droit d'un triangle rectangle ABC, .se nomme Xhypothénuse de ce triangle.

La .somme des deux angles aigus équivaut à un angle droit. On dit alors que ces deux angles sont complémentaires y ou que chacun d’eux est le complément de l’autre.

La forme du triangle rectangle est celle que l’on donne aux équerres jileines. Les triangles rectangles abondent dans les as.semblages de charpente, et notamment dans les cloisons ou pans de bois qui .servent à former les distributions intérieiii'es des mai.sons, et quelquefois même les façades. On en trouve aussi dans les lambris des appartements et dans les panneaux des portes ; les grilles, les balcons et autres ouvrages de serrurerie, en offrent aussi de nombreux exemples.

Enfin on fait en Géométrie un usage continuel deccs triangles.

Corollaire III. Un triangle ne pouvant avoir plus

GliOMlÎTRIK PLANE. H7

d’un angle droit , il ne saurait , à plus forte raison , avoir plus d’un angle obtus.

ConoixAiiiE IV. On appelle extérienr h. un triangle, un angle tel cpie ACI (fig. 15G), formé par un côté AC, et par le prolongement CI de l’un des deux autres. Cet angle et l’angle CAD sont égaux comme alternes internes ; or, ce dernier est la somme des angles BAC et B AD, ou, ce qui revient au même, BAC et À B C , puisque B A D et A B C sont égaux comme alternes internes. Ainsi l’angle ACI équivaut à la somme des angles B AC et AB C , c’est-à-dire (jue tout angle extérieur il un triangle équivaut à la nomme des deux tzngles in^ térieurs opposés.

181, — Théorème. Dans tout triangle ABC (fig. 155), chaque côté est plus petit que la somme des deux autres,

. et plus grand que leur différence. La première partie de cet énoncé est évidente, d’après la définition de la ligne droite; la seconde est une conséquence de la première : car, si les trois côtés sont rangés , quant à leur grandeur, dans l’ordre AB, A C, BC, l’inégalité AB-<AC+BC donnera AC >■ A B — B C et B C >■ AB — AC ; et l’inégalité AC •< AB -i- B C donnera A B ]> AC — BC.

Corollaire. On voit que trois longueurs prises au hasard ne sont pas toujoui’s propres à former les trois côtés d’un triangle. Si deux de ces côtés ont pour longueur 3'“ et 2'", par exemple , leur somme 5"‘ et leur différence 1'" seiXMit des limites entre lesquelles il faudra nécessairement que le troisième côté .soit compris.

182. — Tiiéorëme. Si un triangle AOB^fig. 3G) a deux côtés égaux O A cf O B , les angles O B A ef O A B , opposés à CCS côtés égaux , sont égaux. Car, si l’on joint le point O au milieu C du côté AB , la droite O C ayant deux de ses ])oints à égale distance des extrémités de AB , sera perpendiculaire sur cette di’oite , et les angles O C A. et O CB seront droits et par conséquent égaux. 11 en résulte que si l’on plie la figure le long de O C comme charnière , le segment CB viendra se rabattre sur le segment CA; et, comme ces .segments sont égaux, le point B tombera eu A. Les droites O B et OA coïncideront donc,

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ainsi que les angles OB C et O AC; donc ces angles sont égaux. ^

Remarque Lorsqu’un triangle a deux côtés égaux il prend le nom de triangle isocèle. Le troisième côté se noniine la base du triangle, et le sommet de l’angle opposé à cette base est le sommet du triangle isocèle.

Quand on sait qu’un triangle est isocèle, il suffit de* connaître l’un de ses angles pour déterminer les deux autres. Si l’on sait, par exemple, que la valeur de l’angle du .sommet est de 3ü°, on en conclut que la somme des deux autres équivaut à 180® moins .36®, c’est-à-dire à 144 «; et comme ils .sont égaux , chacun d’eux vaut la moitié de 144®, c'est-à-dire 72“. Si l’on sait, au contraire, que l’un des angles à la base vaut 72°, on en conclut que la somme des deux angles à la ba.se xaiit deux fois 72®, c’est-à-dire 144®, et que par conséquent l’angle du sommet x'aut 180* moins 144", ou 36*.

frontons de l’architecture sont des triangles isocèles; les ifs-dont on se sert dans les illuminations présentent également cette forme. On la retrouve encore tlans les a.ssemblages de charpente nommésyi?r/«cj , qui suj)portent les combles des édifices , etc.

Remarque II. Un triangle isocèle peut être en même temps rcclangle; c’est alors l’angle opposé à la ba.se qui ‘‘St droit (fig. l/>ü). Dans un triangle isocèle rectangle, les deux angles aigus A et C sont égaux; et comme il.s .sont complémentaires, c’est à-dire comme leur somme équivaut à un angle droit, ou à 90“, chacun d’eux vaut la moitié de cette somme, c’est-à-dire un demi-angle droit, ou 45°.

Remarque III. Lorsqu’un triangle a ses trois côtés égaux, on voit, d’après le théorème précédent, que ses trois angles sont au.ssi égaux; chacun d’eux vaut doue le tiers de deux angles droits, ou de 180°, c’est-à-dire -| d’angle droit, ou 60°.

Un triangle de cette espèce (fig. 160) est dit équilaté^ ral, à cause de l’égalité de ses côtés, ou équiangle y à cause de l’égalité de ses angles.

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Oii emploie les triangles équilatéraux datis plusieurs espèces de carrelages; nous reviendrons sur ce sujet. Les meubles à trois pieds, tels que les guéridons, sont quelquefois munis d’une tablette inférieure qui sert à réunir les pieds et h leur donner plus de rigidité; cette tablette a la forme d'un triangle équilatéral.

Remarque IV. La démonstration du théorème précédent prouve en môme temps que la droite qui joint le sommet d’un triangle isocèle au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base. Et comme, par un point extérieur à une droite, on ne peut abaisser sur cette droite qu’une seule perpendiculaire, il en résulte que thi sommet d’un triangle isocèle on abaisse une perpendiculaire sur la hase, cette perpendiculaire dieiscra la hase en deux parties égales.