Tiiëurëme. Dans un triangle quelconque , à

un ]>lus grand coté est opposé un plus grand angle. Soit Akli (fig. 3(i), un triangle quelconque, dans lequel on suppose A K > Ivlî. 11 en résulte immédiatement que le point K est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu C de A B , et à la droite de celte perpendiculaire. (k‘lle-ci coupe donc le côté AJv en un certain point O. •toignons O B. Les obliques O A et OB étant égales , puisque leurs pieds sont également distants du pied de la j>er|)endiculaire O € , le triangle AO B est i.socèle, et, en vertu du théorème précédent , on a l’angle 0BC=0 AC. Or, l’angle KBC est évidemment plus grand que OBC, qui n’en est qu’une partie ; il est donc aussi plus granc^ que l’angle 0 AC. ‘

184. — Théorème. Si deu.x angles d'un triangle sont égaux , les côtés opposés à ces angles sont égaux , et le triangle est isocèle. Car, si ces côtés étaient inégaux ',j les angles opposés seraient inégaux aussi , en vertu dUj théorème précédent, ce qui est contraire à la supposition.

185. — Théorème. Dans un triangle quelconque \a uri ])lus grand angle est opposé un plus grand côté. Soit , dans le triangle ABC (lig. 155), l’angle C plus grand que l’angle A ; je dis que le côté A B , opposé à l’angle C , est

prf.miiürî: partie.

plus grand que le côté BC, opposé à l’angle A. Car, si cela n’était pas, il faudrait qu’on eût, ou A B=r B C , et alors les angles opposés à ces côtés seraient égaux (182), ou BC> A B , et alors l’angle A opposé au côté B C serait plus grahd que l’angle G opposé au coté AB (183), résultats également contraires à la supposition. Donc il faut qu’on ait AB>-BG.

186. — 'LT.yiTAT.. Si doux côtés AB, AC (fig. ICI) d’un triangle ABC, sont respectivement égaux aux cotés A B , AD tVun second triangle A B D , mais si l’angle B A C compris entre les deux premiers , est moindre que l’angle BAD compris entre les deux derniers ^ le. troisième côté BC du premier triangle sera moindre (pie le troisième côté BD du second triangle. Plaçons le triangle ABC en ABC, de manière que les deux côtés marqués A B coïncident. Divisons l’angle C'AD en deux parties égales; la liisscctrice tombera nécessairement dans l’angle BA D, et coupera par conséquent le côté B D en un certain point I. Soit AI cette bissectrice; joignons C'I. Si l’on plie la figure le long de AI, lesangles lADetlAC étant égaux, le côté AD prendra la direction AC ; et comme A D et A C sont égaux , le point D tombera en C. Les droi-tes ID et IC coïncideront donc, et sont par conséciuent égales. Or, on a CB •< BI -f IC ; on peut donc écrire CB<BI +ID, mi CB<BD, ou enfin BC<BD.

187. — TiiÉonÊME. Dcz/j: triangles sont égau.v lorsqu’ils ont leurs trois côtés égau.v chacun à chacun. Soient les deux triangles ABC, DEF (fig. 15.5), dans lesquels on suppose AB = DE , AC=DF elBC=EF. .Tedis que les angles opposés aux côtés égaux sont égaux. En effet : si lesangles A et D, par exemple, étaient différents, d’après le théorème précédent , les côtés opposés BC et EF différeraient aussi, ce qui est contraire à la supposition. Ces deux triangles sont donc égaux dans toutes leui*s parties, et pourraient par consécjuent coïncider.

' CoROi.cAïuE. Un triangle est déterminé quand on connaît scs trois côtés.

188. — PnoBEÊME. Étant donnés les trois côtés d’un triangle , construire çe triangle. .Soient iM , N , P (fig. 162)

GÉOMliTRFE PLANE. 421

les trois côtés donnés. Sur une droite indéfinie prenons line longueur A R égale M; <lu point A comme centre, avec un rayon égal à N, décrivons un arc de cercle; du point R comme centre, avec un rayon égal à P, décrivons un second arc de cercle , qui coupera le premier au-dessus de AR en un certain point C; car si les trois côtés donnés remplissent les conditions nécessaires pour former un triangle, la distance des centres AR sera plus jietiteque la somme des rayons, et plus grande que leur différence (181). Il ne reste plus qu’à tirer CA et CR, et A CR sera le triangle demandé; car, en vertu de la construction, on a AR = M, AC=N, et BC = P.

Remarque. Les deux arcs de cei’cle décrits se couperaient également au-des.sous de A R en un point C', et le triangle AC'B .satisferait aux conditions <lu problème; mais les triangles ACR et AC'R sontégaux, en vertu du théorème précédent. On jieut remarquer seulement que leurs parties .sont disposées dans un ordre inverse; on tlit dans ce cas que les deux triangles sont symétriques , ou égaua: par symétrie,

La position i|u’ils occupent sur la figure mérite d’être remarquée : les sommets Cet C' sont sur une même perpendiculaire au côté commun AR , et à égale distance de ce coté ; car, si l’on joint C C', on voit que la droite A R, ayant deux de .ses points à égale distance des extrémités de CC, est perpendiculaire sur le milieu de celte droite (T-î). Nous verrons bientôt cette particularité de position se généraliser.

189. — TiiiionÉME. Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. Soient les triangles ABC, DEF (fig. 155) dans lesquels on suppose l’angle A égal à l’angle D, et de plus AB=DE et AC=DF. Si l’on transporte le triangle DEF sur le triangle A RC, de manière que les angles D et A coïncident , c’e.st-à-dire que les côtés DE et DF prennent respectivement les directions A R et A C, h cause des égalités ci-dessus, le point E tombera en B, et le point F en C ; les deux triangles coïncideront donc dans toute leur étendue, et sont par conséquent égaux.

122 PBEwriînE partie.

CoROLT.AtBE. Un triangle est déterminé lorsqu’on connaît deux de ses côtés ainsi que l’angle qu’ils comprennent.