Problème, donnés deux côtés d’un trian

gle, ainsi que V angle qu’ils comprennent, construire le triangle. Soient M et N (fig. 16.3) les côtés donnés, et K, l’angle qu’ils doivent comprendre. Tirons deux droites indéfinies A X , A Y , qui fassent entre elles un angle égal "à K. Prenons sur Tune AB=M, et sur l’autre AC=]N ; joignons BC; le triangle ABC satisfera aux conditions du problème.

Remarque. On aurait pu porter la longueur M sur le côté A Y , et la longueur N sur le côté 'A X ; mais le triangle nsnltant eût été égal au triangle ABC; en vertu du théorème précédent.

191. — Problème. Étant donnés deux côtés d’un triangle, ainsi que l’angle opposé à l’un d’eux, construire le triangle. Soient M et N (fig. 164) les deux côtés donnés, et K l’angle opposé au côté N. Traçons d’abord deux droites indéfinies AX et AY, qui fassent entre elles un angle égal à l’angle K. Prenons sur l’une d’elles une longueur A B==M. Du point B comme- centre , avec un rayon égal à N , décrivons un arc de cercle , qui coupera généralement A Y en deux points C et C'. .loignôns B C et B C' ; les deux triangles ABC et A B C rempliront tous deux les conditions du problème.

Remarque I. On voit qu’un triangle n’est pas complètement déterminé quand on connaît deux de ses côtt'^s, et l’angle opposé à l’im d’eux.

Remarque II. Abaissons du point B sur A Y la perpendiculaire BI:

Si le côté donné N était moindre que cette perpendiculaire, l’arc de cercle ne couperait point A Y ; ainsi le triangle serait impossible.

Si X était préci.sément égal à B I , cet arc de cercle serait tangent au point I; il n’y. aurait qu’une solution du problème , et cette solution serait un triangle reclangle A B I.

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Si N est plus grand que BI, mais moindre que A B, il y a deux solutions du problème.

Si l'J est précisément égal à A B , l’arc de cercle coujîc A Y aux points A et ainsi , il n’y a qu’une solution : c’est le triangle A B a.

Si N est plus grantl que AB , l’arc de cercle coupe A Y en deux points C' et C" situés, l’iiu sur A Y lui-même, l’autre sur son prolongement A Y'. Il n’y a donc qu’une solution, c’est le triangle ABC"; car dans le triangle ABC", ce n’est point l’angle donné X A Y qui est opposé au «ité BC" ou N, mais bien son supplément XA Y'.

Lorsque l’angle donné est obtus , il ii’y a jamais qu’une solution possible. Xous examinerons tout à l’heure le cas où l’angle donné est droit.

192. — TiiÉonÈME. Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal adjacent h deux angles égaux chacun à chacun (un côté est dit adjacent à deux angles, quand ces angles ont leurs sommets aux extrémités dé ce côté). Soient A B C et DE F (fig. 156) deux triangles dans lesquels ont suppose A C=D F , A = D, et C=F. Transportons le triangle DE F sur le triangle ABC , de manière que le côté 1) F coïncide avec son égal A C. Les angles A et D étant égaux, le côte DE suivra la direction AB, et le point E tombera quelque part sur AB. Les angles C et F étant égaux, le côté F E suivra la direction CB , et le point E tombera quelque part sur C B. Le point E devant se trouver à la fois sur AB et sur CB, ne pourra tomber qu’à leur intersection B. Les deux triangles coïncideront donc dans toute leur étendue, et sont par conséquent égaux.

CoROixAiRC. Un triangle est déterminé lorsqu’on connaît l’un de ses côtés et les angles adjacents à ce côté.

Remarque I. C.es angles sont dils adjacents à ce côté, mais ils ne sont point adjacents entre eux comme les angles supplémentaires que forment deux droites qui .se rencontrent.

Remarque II. Un triangle est déterminé lorsqu’on connaît un de ses côtés et deux quelconques de .ses angles; car si ces deux angles ne sont point adjacents

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au côté donné, on détermine facilement le troisième, et la question rentre alors dans le cas précédent.

193. — Problème. Étant donnés deux angles d’un triangle et l’un de ses côtés , construire le triangle. Si les angles donnés ne sont point tous deux adjacents au côté donné , déterminons d’abord le troisième angle , comme il a été dit au n“ 180 , Corollaire I. Cela fait, sur une droite indéfinie prenons une longueur AC (fig. 165) égale au côté donné ; aux points A et C faisons les angles C A D et A C E respectivement égaux aux angles adjacents à ce côté. Les côtés A D Ct C E se rencontreront en un certain point B ; et A BC sera le triangle demandé.

Remarque. Pour que le triangle soit possible , il faut que la somme des deux angles donnés soit moindre que deux angles droits.

Si les deux angles donnés étaient tous deux adjacents au côté donné, et que leur somme fût précisément égale à deux angles droits , les lignes A D et C E seraient parallèles (90), et le triangle serait impossible. 11 le serait à plus forte raison si la somme de ces deux angles surpassait deux angles droits.