Théorème. Deux triangles isocèles rectangles

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sont effan.r lorsqu ib ont V hypothénnse égale, ou lorsqu'ils ont un côté de l'angle droit 'égal. Car ils ont nécessaiisïmont leurs angles égan\ chacun à chacun (182, Remarque II) , et rentrent encore dans le cas du n“ 192.

199. — Théobémr. Deux triangles équilatéraux sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal. Cela résulte du théorème démontré au n“ 187.

Des triangles semblables.

200. — Lorsque l’on ne donne que les angles d’un triangle, ce triangle cesse d’être déterminé. Kn effet, les tr«)is angles donnés doivent valoir en somme deux angles droits pour que le triangle soit jwssible. Si donc on tire une droite quelconque AB (fig- 167), qu'aux points A et B on fasse des angles égaux à deux des angles donnés , le triangle A BC ainsi déterminé satisfera aux conditions du problème; car son troisième angle C sera évidemment égal au troisième angle donné. Mais de plu.s, .si l’on mène à la droite AB des parallèles quelconques A' B', A’B\ etc., les triangles A'B'C, A'B'C. etc., satisferont également aux conditions du problème ; car, d’aprÀs la propriété des angles correspondants , tous ces triangles ont leure angles égaux chacun à chacun. On exprime cette circonstance en disant que ces triangles sont équiangles entre eux.

On voit donc que les angles d’un triangle ne suffisent pas pour le déterminer; il faut, pour déterminer un triangle , (|tie parmi les données se trouve au moins la longueur d’un côté.

Les triangles ABC, ABC, A’B’C, et qui sont équiangles entrc eux, ont en outre leurs cotés proporlionnels; car , d’après le théorème démontré au n“ 137, on a CA' : CA :: CB : CB, CA" :CA : : CB" : CB , et ainsi de suite ; et d’après le théorème du n“ 143 , on a aussi CA' : CA : : A' B' : AB, CA" ; C.A : : A' B" : A B, et ainsi de suite. Cette propriété j)eut se démontrer d’une manière générab^ pour deux triangles équiangles entre eux.

201. — Tiikoréme. Si deu.T triangles ABC, abc (fig. 107) sont équiangles entre eux , les côtés opposés au.e

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angles égaux, sont pinpoi-tionneLw Soiont en effet C==e, C A B= rt et C B A = />. Faisons eoïnciclerles angles C et c, de manière que les autres angles égaux se correspondent ; le côté a b prendra la position de A' B' parallèle à A B ; car l’angle C A'B n’étant autre chose que l’angle a, est égala l’angle (] AB; et puisque les angles correspondants C A'B et CA B sont égaux, les droites A'B' et AB sont parallèles (90). On a donc , en vertu fies théorèmes démontrés aux n®» 137 et 143,

• CA : CA : : CB' : CB , et CA : CA ; : CB' ; A B , ou , ce qui revient au même,

c <7 : C A : : c : C B et ca : C A : : « i : A B.

Remarque . Les triangles qui sont équiangles entre eux, et ont par suite leurs côtés proportionnels, sont ce que l’on appelle des triangles'.v<’/«^/rti/e.v. Les côtés opjîosés aux angles égaux portent le nom de côtes homologues ; les sommets des angles égaux sont pareillement des sommets homologues . Le théorème précédent peut donc s’énoncer de cette manière: deux triangles équiangles entre eux sont semblables .

11 est bon de remarquer que ce sont les côtés homologues qui sont proportionnels.

202. — L’idée de la ressemblance , ou , pour se servir du mot consacré en Géométrie, l’idée de la similitude , nous est familière; et le mot semblable, appliqué à deux figures, nous repré.sentc sur-le-champ , et sans aucune étude préalable, deux figures Tune plus grande, l’autre plus petite , ayant exactement la même forme, c'est-àdire dont toutes les parties ont entre elles les mêmes relations de position et de grandeur, bien que cette grandeur varie en pas.sant d’une figure à l’autre.

La cou-sidération des figures .semblables est une des plus importantes de la Géométrie, et l’une des plus fécondes eu applications utiles, comme nous le ferons voir bientôt.

Nous venons de prouver que de l’égalité des angles de deux triangles résulte la proportionnalité des côtés

opposés à ces angles. L'égalité des angles est donc un caractère de similitude des triangles. Nous allons en faire connaître quelques autres. ,

203. — TuEorême. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels. Soient deux triangles AC B, acb (fig. 167), <ians lesfjuels on suppose l'angle C égal à l'angle r, et tels qu'on ait entre les côtés qui comprennent ces angles la proportion CA : ra :: CB : cb. Prenons sur CA une longueur CA' égale à ca; et par le point A' menons AB' parallèle à AB. Nous aui'ons, d'après les propriétés des parallèles (137) CA : CA’:: CB : CB’. Si l'on compare cette proportion avec la précédente, on voit que les trois premiers termes sont les mêmes ; il faut donc que le quatrième soit égal de part et d'autre, et que l'on ait CB' = cb. Les deux triangles A' CB' eX acb ont donc un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun , donc ils sont égaux (189). Mais, à cause des parallèles A' B' et A B, les triangles ACB et A' CB' sont équiangles entre tnix ; ils sont donc semblables, d'après le théorème précédent. Par conséquent le triangle a éc qui est égal à A' CB' est aussi semblable à ACB.

204. — Théorème. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs côtés proportionnels. Soient deux triangles ACBetac^» (fig. 168) tels qu'on ait les proportions CA : ca : : CB : ci, et A B : ai :: CB : ci. Prenons C/«=caetC/i = ci, et joignons mn; au lieu de la première des proportions ci-dessus nous pourrons écrire CA : C/« : : CB : en. 11 suit de là que mn est parallèle à AB (14Q), et que les triangles mÇ,n et ACB sont semblables (201).

Prenons Br = ci et B/? = ab , et joignons pr; eu lieu de la seconde proportion ci-de.ssus, nous pourrons écrire AB : B/> :: CB : Br. Il suit de là que pr e.st parallèle à CA, et que les triangles /?rB et A CB .sont semblables.

Or, les triangles wC/i et />rB, tous deux équiangles avec le triangle ACB, sont équiangles entre eux; et comme ils ont C/i = rB , il s’ensuit qu’ils sont égaux , et que l’on a wa =/7B == ai.

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GéOMKTRIE PLAiyE. 129

Les triangles mCn tX. acb ont donc leurs trois côtes égaux chacun à chacun; donc ils sont égaux; et comme mCn est semblable à A CB, il en résulte que acb est aussi semblable à A CB.

Remarque. On voit que, dans les triangles, de la proportionnalité des côtés résulte l’égalité des angles.