Théorème. Deux triangles .sont semblables

lorsqu’ils ont leurs côtés' parùllèles chacun à chacun. Car leurs angles, sont alors égaux chacun à chacun, en vertu du théorème du n« 94. En effet , nous avons vu au numéro cité que lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles, il peut arriver qu’ils soient non pas égaux, mais supplémentaires. Mais si les trois côtés d’un triangle sont respectivement parallèles aux trois côtés d’un autre triangle, les angles du premier ne peuvent être d’espèce différente de ceux du second, puisqu’alors la somme des trois angles ne serait pas la même pour chaque triangle. Et si tous les angles sont de même espèce d’un triangle à l’autre, ces angles sont égaux et non pas supplémentaires. '

Remarque. Ce sont les côtés parallèles qui sont les côtés homologues, puisqu’ils sont opposés à des angles égaux.

206. — Théorème. Deux triangles sont .semblables lorsqu’ils ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. Car leurs angles sont alors égaux chacun à chamn, en vertu du théorème du n® 95. On pourrait faire en effet ici la même observation que dans la démonstration précédente.

Remarque. Ce sont les côtés perpendiculaii'es entre eux qui sont les côtés homologues , puisqu'ils sont opposés à des angles égaux.

207. ; — Applications. L’emploi des triangles semblables permet d’évaluer avec une appi*oximation suffisante les distances inaccessibles.

I. Suppo.sons, par exemple, qu’il s’agisse d’évaluer la distance des points A et B (fig. 169) séparés par un obstacle qu’on ne peut franchir. On choisit sur le terrain un troisième point D, tel que la distance BD soit direc-

'ISO PRKMIKRE PARTIE.

leiiieut mesurable. On mesure au {ïrapbomèlre les aufçles ABD et A DB formés par la dmite BD, que l’oa nomme la base de l’operation, avec les rayons visuels B A et DA menés des extrémités delà base au point inaccessible.

On tii-e ensuile sur le papier une droite indéfinie sur laquelle on jwirle une longueur b d qui ail avec BD un rapport connu, qui contienne, par exemple, autant de millimètres que BD contient de mètres. Aux points é et d, on fait des angles l'espectivement égaux à ceux qui ont été mesurés au gropbomèlre ; on forme ainsi un petit triangle a bd semblable au triangle ABD; car ces triangles sont équiangles entre eux. On mesure a , et le nombre de millimètres que contient cette longueur exprime le nombre <ie mètres contenus dans la distance inacce.ssible A B. Car, en vertu de la similitude des deux triangles, on a'A B : : : BD : ^«/.Or BD — 6^/ X 1000;

donc AB = ai X 1000.

Au lieu de représenter les mètres par des millimètres/, on pourrait employer toute autre échelle ; mais celle-ci est une des plus commodes et des plus usitées.

U. Supposons maintenant qu’il s’agisse d’évaluer la distance de deux points inaccessibles A et B (fig. 170). On trace sur le terrain une droite CD que l’on raœure avec soin; on trace sur le papier une droite cd qui ait avec CD un rapport connu , qui contienne , par exemple , autant de millimètres que C D contient de mètres. On mesure au graphomètre les angles ACD, ADC, et l’on fait sur le papier les angles acd, ade égaux aux angles ' mesurés. 11 en résulte un triangle acd .semblable aii triangle ACD; et l’on a, comme on vient de le voir tout à l’heure, AC = ac X 1000.

On mesure au graphomètre les angles BCD,BDC, et l’on fait sur le papier les angles bed^ égaux aux angles mesurés. 11 en résulte un triangle bed, semblsd>le au triangle BCD; et l’on a BC =» éc x 1000.

Mais l’angle ac 6 , qui est la différence des angles aedet bed^ est égal à l’angle A CB , différence des angles ACD et BCD. D’ailleurs oa a AC : ac : : BG : bc. Les deux

GÉOMÉTRIE PLAiMî. - 131

triangles V BC et ont donc un angle égal compris entre des c-ôlés proportionnels, et sont par consé(iûc‘nl semblables (203). U en résulte AB : :: AC : ac; et

puisque AC = «c- X 10ü0, ona aussi AB = o^ X 1000. Si donc ou mesure ab , le nombre de millimètres contenus dans cette longueur exprimera le nombre de mètres contenus dans la distance inaccessible AB.

208. — I.e Ici'c des plans offre une application continuelle de la théorie des li-iangles seiublables. Cette opération consiste à représenter en petit la position mutuelle des ])oints remarquables d’un terrain. Après avoir marqué sur le plan deux points à volonté pour représenter deux des points du terrain , on détermine la position d’un troisième point en le liant aux deux premiers par un triangle, et en faisant sur le plan un triangle .semblable. La position de tous les autres jx)ints se détermine de la même manière; nous reviendrons en détail sur ce sujet.

C’est par des procédés analogues que l’on trace les cartes géographiques. L’ojîération dans la(|uelle on lie entre eux par des triangle.s les divers points qu’on veut repré.senter sur la carte, se nomme triangulation. Dans cette opération la Géométrie emprunte le secoui*s du calcul ; nous allons essayer de faii-e comprendre comment.

209. — On ne connaît point de relation directe entre les angl&s et les côtés d’un triangle : pour y suppléer, on a imaginé de faire entrer dans le calcul , au lieu des angles, certaines lignes droites qui en dépendent.

Soit AO B (fig. 171) un angle quelconque. De son sommet comme centre avec un rayon arbitraire, mais qui reste le même pour tous les angles que l’on a à con- .sidérer , supposons cju’on décrive l’arc ab , ei qu’on mène ap b\.bt perpendiculaires sur O B. La ligne np se nomme le sinus de l’angle A O B; la ligne bt est sa tangente; la ligneO/^son cosinus; la ligneOr sa on considère encore deux autres lignes qui dépendent de cet angle, savoir, ^ cotangente et sa cosêcante , lesquelles sont la tangente et la sécante de son complément. On est parvenu , par la considération des U’iangles sem-

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blabies, à trouver les l'elalions qui lient les çôtés d’un triangle avec les sinus , cosinus, tangente, etc., de ses angles. On a calculé de minute en minule, par des moyens que nous ne pouvons faire connaître ici, l(?s sinus, cosinus, tangente, etc. , de tous les-angles, ou du moins leurs logarithmes qui entrent seuls dans les calculs; et on a formé des tables de ces logarithmes. Bien que ces tables aient été calculées de minute en minute seulement , on les étend aux .secondes par un calcul très-simple , quand on a besoin de les apprécier. 11 en résulte que lorsque l’on connaît dans un triangle, ou les trois côtés , ou deux côtés et un angle , ou un côté et deux angles , en un mot trois de .ses parties , j)ourvu que parmi ces trois parties il y ait au moins un côté, on peut calculer les autres parties du triangle.

La science qui en.seigne celte méthode de calcul .se nomme la Trigonométrie. sinus , cosinus, tangente, etc. , des angles , portent le nom commun de lignes trigonométriques de ces angles, et les tables qui donnent leurs logarithmes sont des tables trigonométriques.

La Trigonométrie est l’auxiliaire indispensable de • l’Astronomie ; et ce n’est qu’avec son secours qu’on a pu mc.surer les distances considérables qui .séparent la terre des autres planètes et du soleil. Quant à celle qui sépare la terre des étoiles fixes , elle a échappé jusqu’ici à tous les moyens de calcul. On a pris pour base d’opération le grand axe de l’orbite terrestre; on a mesuré, aux deux époques convenables de l’année, les angles que fait^ cet axe avec les rayons visuels menés à une même étoile: la somme de ces angles s’est trouvée sensiblement égale à deux angles droits; du moins il a été impossible, malgré la perfection de nos in.struments de mesure, d’a])précier la différence. En sorte que les rayons visuels en question se sont trouvés sensiblement parallèles (90); et que le calcul du triangle qui lie l’étoile au grand axe de l’orbite terrestre est demeuré impossible. Cette impossibilité même prouve du reste l’énormité de la distance qu’il s’agissait de mesurer,