AB : DB :: DB : BC

On se trouve ainsi conduit par une autre voie à la construction' que nous avons indiquée au numéro 165 pour trouver une moyenne proportionnelle entre tleux longueurs données.

• 212. — Le corollaire II fournit une nouvelle solution du même problème. Sur une droite indéfinie portons de A enC (fig. 141) une longueur égale h la plus grande des deux lignes données; portons de A en B une longueur égale à la plus petite. Sur AC comme diamètre décrivons une demi-circonférence ; au point B élevons une perpendiculaire qui coupera la demi-circonférence en un point D ; joignons AD; ce sera la moyenne proportionnelle demandée. (]ar, si l’on tire DC, le triangle ADC étant rectangle en D, et la ligne DB étant une perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l'hypothénuse, on aura A B : AD :: AD : AC. Ainsi AD sera une moyenne proportionnelle entre AC et AB, c’est-à-dire entre les deux longueurs données.

213. — La propriété énoncée dans le corollaire III est une des plus fécondes de la Géométrie; et nous la verrons se reproduire sous une forme plus saillante encore.

Pour le moment faisons remarquer que cette propriété permet de calculer l'un quelconque des côtés d’un triangle rectangle, quand on connaît les deux

autres. Car, soit ABC (fig. 158) un triangle rectangle en B, on aura AC’=A B* + B C*, d’où l’on tire

Tb’ =Tcf — Bt?, ou bien BC’=ÂC* — ‘ÂF.

Suppo.sons, par exemple, que l’on ait, runité de longueur étant d’ailleurs quelconque, AB=G et BC=8;

il en résultera XC*= 36 + 04 = 100; et AC=V^160 = 10.

Si l’on connaissait AC et B C, on aurait

ÂF = JOO- 64 = 30 , d’où AB=V/3(n=G.

Si l’on connaissait A C et A B , on aurait

TTc’ = 100— 36 = 64, d’où B C = v^oT^a.

214. — La même propriété peut sei*vir à élever une perpendiculaire à une droite donnée. Suppo.sons, par exemple, qu’il s’agisse d’élever au jwintB (fig. 158) une perpendiculaire à B C. Prenons B C égal à 4 unités de longueur, l’unité étant d’ailleurs arbitraire. Du point B comme centre avec un rayon égal à 3 unités de longueur , décrivons un arc de cercle ; du point C comme centre avec un rayon égal à 5 unités de longueur, décrivons un second arc de cercle. Ces deux arcs se couperont en un certain point A; car le nombre 4 est moindre que la somme des nombres 3 et 5, et plus grand que leur différence. Joignons donc AB ; ce sera la perpendiculaire demandée.

En effet , si l’on joint A C, on aura AG = S , A B = 3, et BC = 4;d’où >

’ÂC*=25;"AB" = 9 et 8^ = 16.

Or. 25 = 9 + 16 ; doncTF = IF* + BC’.

Le triangle ABC jouit donc de la propriété d’un triangle rectangle en B; il faut en conclure que l’angle B est di*oit; canin triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit .seraient 3 et 4, aurait pour hypothénuse5 ; par conséquent si l’angle AB C était plus grand ou plus petit qu’un angle droit, le côté oppo.sé AC serait plus grand ou plus petit que 5 (186), ce qui est contraii*e à la construction.

436 i>hi;mii;hf. i'aktii;.

On peut, sur le terrain, enipUner un moyeu analogue pour cMe\er les pei’peiulieulaiics, quand elles ne doivent pas avoir une grande étendue. Imaginons un cordeau AB (fig. 178), de 12 mètres de long, divisé par des nœuds, C et D , de façon que AC ait 3 mètres, et CD 4 mètres; DB en aura 5. Réunissons les bouts A et B j)ar un même nœud O; jniis tendons à la fois les trois parties OC, O D, CD du cordeau ; le triangle OCD sera rectangle en C. Le cordeau ainsi ployé est donc une équerre dont on pourra se servir pour élever des perpendiculaires; pour cela on tendra la partie CD du cordeau sur la di*oite donnée, au moyen de deux piquets, de manière que le point C coïncide avec le point par lequel la perj>endicnlaii*e doit être élevée. On tendra ensuite le cordeau ptar le nœud O ; et l’on plantera un piquet au point où ce nœud corres|)ondra : ce piquet sera situé sur la perpendiculaire demandée. Au lieu de donner 12 mètres au cordeau , on |)ourrait ne lui donner que 12 demi-mètres, ou 12 pieds, ou 12 parties égales quelconques.

216. — Théobéme. La bissectrice B I (fig. ïlA)tie l'un des angles d'un triangle ABC, dicise le côté opjtosê A C, en deux segments A I , er C I proportionnels aux côtés adjacents A B ef CB. Pour le prouver, abaissons des points A et C les perpendiculaires A m et C /t sur la bissectrice et sur son prolongement. Les triangles rectangles Km\ et Cn I , ayant un angle aigu égal , A I m C I » , sont équiangles entre eux , et par conséquent semblables ; on a donc la proportion A 1 ; I C : ; A m : /« C.

Mais les triangles rectangles A /«B et C«B, ayant un angle aigu égal, A B /« = w BC , puisque B I est la bissectrice de l’angle ABC , ces triangles sont aussi équiangles entre eux, et par suite semblables; on a donc

A m : ;«C :: A B : BC. ’

Les deux proportions précédentes ayaut un rapport commun , on en déduit A 1 : 1 C : : A B : B C , ce qui e\prime la propi'iélé énonc<-e.

CoBui.i.\inK. Bans ut) triangle isocèle , la bisseetrii'e

, de l’angle du sommet divise la base en deux parties égales , puisque les côtés adjacents sont égaux.

C<‘tte consécpience peut aussi se d€‘duii*e de ce que la droite qui joint le sommet d’un triangle isocèle au milieu de la base , divise ce triangle en deux triangles rectangles égaux.

' Triangles inscrits et circonscrits/

216. — Un triangle peut avoir par rapport à une circonférence deux positions qui méritent d’être remarquées.

Le triangle peut avoir ses trois sommets sur la circonférence (fig. 175); dans ce cas il est dit inscrit à la circonférence , et la circonférence est dite circonscrite au triangle.

L’inspection de la figure 175 confirme ce que nous avons dit au n® 180, sur la somme des trois'angles d’un triangle. Car , les angles A, B, G, ayant respectivement pour mesure la moitié des arcs B C , AC, AB, la somme de ces trois angles a pour mesure la moitié de la .somme de ces arcs, c’est-à-dire la moitié de la circonférence.. Cette somme équivaut donc à deux angles droits.

Pour circonscrire une circonférence à un triangle U suffit de faire passer une circonférence par ses trois .sommets (98).

217. — La circonférence peut être, au contraire, intérieure au triangle et tangente à ses trois côtés (fig. 176); dans ce cas c’est la circonférence qui est inscrite au triangle, et le triangle est circonscrit à la circonférence.

Si par le centre O de la circonférence inscrite à un triangle, on mène des rayons aux points de tangence, ces rayons seront perpendiculaires sur les tangentes, c’est-à-dire sur les côtés du triangle ; et comme ces rayons sont égaux , il en résulte que ce centre est, également distant des trois côtés du triangle. Il doit donc se trouver à la fois sur la bissectrice de chacun des trois angles du triangle (78).

Pour obtenir le centre de la circonférence in.scrite à

un triangle A BC, il faut donc diviser en deux |>arlies égaies deux des angles du triangle. Le point ü, «)ù les bissectrices AO et BO se reuconti'ent, est le centre cherché. Le rayon de cette circonférence est la peri>endiculaiix^ O/, abaissée du point O sur l’un quelconque des côtés du triangle.

Ce que nous venons de dire prouve en même temps que les trois bissectrices des angles d’un triangle concourent en un même point.