CHAPITRE IL * - Des qtiadi’ilalèi-es

ai8. — Une surface plane terminée par quatre lignes droites, est ce qu’on nomme un quadrilatère, La figure 177 l'eprésente un quadrilatère. Les droites AB, BC, CD, DA qui le terminent se nomment sescd/eV; les sommets A, B, C, D des angles formés par les côtés consécutifs, sont les sommets du quadrilatère. Une droite, telle que B D , joignant <leux sommets qui ne sont pas les extrémités d’un yuêrae côté, porte le nom de diagonale. Un quadrilatère a deux diagonales, car on pourrait aussi joindre par une droite A C les sommets A et C qui ne sont pas les extrémités d’un même côté. Chaque diagonale d’un quadrilatère le divise en deux triangles.

Il peut arriver qu’un quadrilatère ait un angle ABC (fig. 178) dont l’ouverture soit tournée vers l’extérieur : un pareil angle est ce qu’on nomme un angle rentrant. Quand un quadrilatère a un angle rentrant, une même xlroite peut couper les quatre côtés à la fols sans qu’il soit nécessaiiT d’en prolonger aucun , comme on peut le voir sur la ligure. Quand un quadrilatère n’a pas d’angle rentrant, c’est-à-dire quand tousses angles ont l’ouverture tournée vers l’intérieur, une même <lroile ne peut couper à la fois plus de deux côtés sans qu’il soit nécessaire de les prolonger. On dit alors que le quadrilatère est conve,TC. Les quadrilatères de celte espèce sonteeux dont pUi m’occupe principalement dans la Géométrie élémen-

OÉOMÉTRIK PLANE. d39

taire, et cVsl toujoui’s d’un quadrilatère convexe que l’on parle quand on nVxprinie pas formellement le contraire.

219. — ÏHÉORÉME. Dans tout quadrilatàc A B C D (fig. 177) la somme des quatre angles équipant à quatre angles droits. Car si l’on lire la diagonale B D , la somme des angles du quadrilatère sera celle des six angles ABD,

DBC, BCD, CUB,BDA, DAB, c’est-à-dire la somme des angles des deux triangles ABD et BD C. Or la somme des angles de chacun de ces triangles équivaut à deux angles droits; donc la somme de leurs six angles, ou, ce qui revient au même, la somme des angles du quadrilatère, équivaut à quatre angles droits.

Corollaire I. Trois angles d’un quadrilatère étant donnés, on peut en déduire le quatrième. Pour cela il suffit de faire la somme de leurs valeurs, et de retrancher cette somme de 360®.

Corollaire II. Si deux angles d’un quadrilatère sont supplémentaires, les deux autres le .sont aussi.

220. Théorème. Deux quadrilatères sont égaux lorsqu'ils sont composés de deux triangles égaux chacun à chacun et semblablement situés. Car, si l’on fait coïncider deux des triangles égaux, d’après la supposition les deux autres coïncideront aussi, et par conséquent les deux quadrilatères eux-mêmes coïncideront dans toute leur étendue.

221 . — On pourrait rechercher, pour les quadrilatères comme pour les triangles, quels sont les divers caractères d’égalité; mais ces caractères se déduisent facilement des conditions nécessaires et suffisantes |x)ur déterminer un quadrilatère.

Un quadrilatère ABCD (fig. 177) est déterminé lorsqu'on connait ses quatre côtés et l’une de ses diagonales BD; car les triangles A BD et BCD se trouvent déter- /

minés chacun par ses trois côtés (188).

Un quadrilatère ABCD est déterminé quand on connaîl ses quatre côtés et l’angle A formé par deux côtés >

consécutifs, car le triangle ABD se trouve déterminé par l’un de ses angles et les deux côtés qui le compiTn-

nent (190), et par suite, le triangle BCD est déterminé par ses trois côtés.

Un quadrilatère ABCDest déterminé quand on connaît trois de ses- côtés, AB, AD, DC, et les angles B AD et ADC qu’ils comprennent. Car le triangle ABD se trouve déterminé par l’angle A et les deux côtés qui le comprennent; l’angle A DB étant alors connu , ainsi que l’angle A D C , on connaît leur différence B D C ; d’ailleurs la diagonale DB est aussi connue; le triangle BDC .se trouve donc déterminé par l’un de ses angles BDC et les côtés qui le comprennent.

Un quadrilatère A BCD est déterminé quand on connaît deux de ses côtés A B , A D et trois de ses angles. Car d’abord, trois angles étant connus, on petit obtenir le quatrième. Le triangle B AD se trouve déterminé par l’angle A et les deux côtés qui le comprennent. Les angles ABD et ADB étant alors connus, ainsi que les angles ABC et A DC, on connaît les angles DBC et BDC; d’ailleurs la diagonale BD est aussi connue. Le triangle BDC se trouve donc déterminé par l’un de ses côtés B D et les deux angles adjacents DBC et BDC (193).

Un quadrilatère A B DC (fig. 170) est déterminé quand Ota connaît l’im de ses côtés CD, et les angles que forme ce côté avec les côtés adjacents CA et DB, et avec les diagonales CB et DA. Car le triangle ACD se trouve déterminé par l’un de ses côtés CD et les angles adjacents A C D , A D C , et l’on connaît par suite la diagonale A D. De même le triangle CD B est déterminé par l’un de ses côtés CD et les deux angles adjacents BCD et BDC; et l’on connaît par suite le côté BD. Mais, connai-ssanb les angles A D C et B D C , on connaît leur différence ADB; le triangle ABD est donc déterminé par l’un de ses angles AD B et les deux côtés AD et BD qui le comprennent.

Remarque I. On voit que les données doivent toujours être au nombre de cinq.

Remarque II. Chacune des conditions précédentes fournil un caractère d’égalité pour les quadrilatères :

Deux quadrilatères sont égaux lorsqu’ils ont leurs

Dî':. , i

CiiOMKTRlE PLANE. 141

qualre côtés égaiiv chacun à chacun et uné diagonale homologue égale.

Deu.v quadrilatères sont égaux, lorsqu’ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et un angle homologue égal.

Deux quadrilatères sont égaux lorsqu’ils ont trois côtés égaux chacun à chacun , ain^i que les deux angles com> pris entre ces côtés.

Deux quadrilatères sont égaux' loi’squ’ils' ont deux côtés consécutifs égaux cliacun à chacun , ainsi que trois angles homologues.

Deux quadrilatères sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal , et que les angles formés par ce côté avec les côtés adjacents et avec les diagonales sont égaux chacun à chacun.

222. — Lorsque deux quadrilatères sont com|)osés de triangles .semblables et semblablement disposés, on dit que ces quadrilatères sont semblables ; tels sont les quadrilatères ABDC et «ô//r(fig, 170).

Nous n’insisterons pas sur les quadrilatères semblables , parce que nous traiterons bientôt la question de similitude d’une manière générale.

223. — Les quadrilatères pré.senlent plusieurs particularités de forme importantes à connaître.

Lorsque dans un quadrilatère deux côtés opposés sont ))arallèles, ce quadrilatère prend le nom de trapèze. La figure 179 représente un trapè/.e : les côtés parallèles A B et D G .se nomment ses bases.

Les angles A et D sont toujours supplémentaires, ainsi que les angles B et C.(90, Remarque II.)

11 en résulte que si l’angle A est droit (fig. 180), l’angle D est droit aussi ; dans ce cas le trapèze est dit rectangulaire.

Si les angles A et B sont égaux (fig. 181 ), leurs suppléments D et G le sont au.ssi. Les côtés A Det B G sont alors égaux; car si l’on prolonge ces côtés jusqu’à leur rencontre au point O , les angles O A B et O B A étant égaux comme suppléments des angles égaux DAB et G B A, le triangle A OB est isocèle (184) , et l’on a OA = OB;

142 PBEMIÈRE PARTIE.

mais le triangle DOC est isocèle aussi , puisque les angles C et D sont égaux; on a donc OD = OC. Il en l'ésulte OD — O A= O C - O B ou A D= BC.

On démontrerait facilement que dans ce cas les diagonales sont égales.

Ce trapè/e porte le nom de trapèze isocèle ou symétrique. Nous reviendrons bientôt d’une manière générale sur cette dernière dénomination. '

Appmcations. Le trapèze est une des figures que l’on a le plus souvent à considérer dans V Arpentage ^ c’est-àdire dans la mesure des terres. Nous verrons bientôt que pour évaluer l’aired’un terrain, l’arpenteur y trace fréquemment des lignes dont l’effet est de diviser ce terrain en trapèzes et en triangles rectangles.

On rencontre aussi très-souvent cette forme dans la charpente et dans la menuiserie. Les cojerj AB (fig. 182), qui supportent les poutrelles d’un plancher, ces poutrelles elles-mêmes ont pour face supérieure des trapèzes symétriques ou rectangulaires. Les feuilles de parquet ont .souvent la forme de trapèzes symétriques , notamment celles qui avoisinent le coin d’un appartement (fig. 183); ce coin lui-même est occupé par un triangle isocèle rectangle. — Les assemblages à queue d'hirondc (fig. 184) se font au moyen d’une partie creuse qui reçoit une pièce en saillie dont la coupe a la forme d’un trapèze symétrique.

La coupe transversale d’un canal "présente ordinairement la même forme (fig. 185).

La partie supérieure d’une fenêtre ou d’une porte non cintrée, que l’on nomme plate-bande (fig. 186), est formée de morceaux de pierre nommés claveaux. Quelques-uns de ces claveaux, 1 , 2,3, ont pour face antérieure un trapèze ; ce trapèze est symétrique pour le claveau qui occupe le milieu delà plate-bande.

224. — Loreque dans un quadrilatère ABG D (fig. 187) les côtés opposés A B et DC sont parallèles , ainsi que les côtés AD et B C , la figure prend le nom de parallélogramme.

Dans un parallélogramme les côtés opposés sont

Di^ byCoogli

GtOMLTRIE PLANE. 143

égaux comme jiartics de parallèles comprises enlrc i>arallèles (134); les angles opposés sont égaux comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés tous deux en sens contraire (94). Les angles adjacents à un même côté sont supplémentaires, comme angles intérieurs à deux parallèles , et situés d’un même côté de la sécante (92).

La diagonale AC partage le parallélogramme en deux triangles ADC et ABC, qui sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux cliacun à chacun. Il en est de même de la diagonale B D.

225. — Théorème. Si dans un quadrilatère A B CD (fig. 187 ) les côtés opposés sont égaux , ce quadrilatère est un parallélogranimc. Car si l’on joint A C , les triangles ADC et A BC seront égaux comme ayant leurs trois côtés égaux cliacun à chacun; les angles alternes internes D AC et A CB sont donc égaux, et par conséquent les droites AD et C B sont parallèles (90) ; de môme les angles alternes internes AC D et C A B sont égaux, donc les droites AB et DC sont parallèles. Donc la figure A B CD est un parallélogramme.

Corollaire I. Ce théorème fournit un moyen commode de construire un parallélogramme, lorsqu’on connaît l’un de ses angles D, et les côtés qui le comprennent. Car, si du point A comme centre, avec un rayon égal à DC, on décrit un arc de cercle, et que du point C comme centre avec un rayon égal à AD on décrive un second arc de cercle, ces deux arcs se couperont puisque dans le triangle ADC on a A C A D + D C et A C > DC — A D, et que par conséquent la distance des centres est moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence. Soit donc B celui des deux points de rencontre qui est situé au delà de A C ; joignons A B et B C; la figure A B CD sera un parallélogramme.

Corollaire H. Le même moyen peut être employé pour mener par un point donné A une parallèle à une droite D C ; il suffit de tirer AD à volonté, de prendre arbitrairement D C, et d’opérer ensuite comme si l’on

acheter le pai’nllélogranunc A Il(!l). Le point B éfatif cléfenuiné par la rencontre ties den\ arcs de cercle , on tire A Jt qni est la parallèle demandée.

22(5. — TiiÉonftME. .SV dans un quadrilntcrc A R (! M ( fig. 187 ) deux rôtr.v opj>os<-s A lî et 1) C sont égaux et /Ktraflèle.y , ce quadrilatère ext un parallélognnunie . (!ar, si Ton joint AC, les triangles A C I) et A(]R aul’ont le côté AC commun, les côtés A B et DC égaux par supposition, et les angles A DC et CA B égaux aussi comme altejMies internes. Ces triangles ont donc un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun, ils sont donc égaux. Il en résulte ()ue les angles IJAC et \ C B sont égaux ; les droites A 1) et BC, sont donc parallèles (90), e‘t la figure est un parallélogramme.

227. — 'riiÉORÉME. Dans tout parallélogramme ABC D (fig. 187 ) les diagonales AC et RD .vc coupent mutuellement en deux parties égales. Car, soit ü leur point de rencontre : les angles OBA et ODC sont égaux comme alternes internes ; il en est de même des angles O A B et OC D; de plus, AB = DC. Les triangles AOB et DOC sont donc égaux comme ayant un côté égal adjacent h des angles égaux chacun à chacun (192). Il en résulte A 0= OC et O D = OB. Ainsi , le point 0 est le milieu des deux diagonales.

Remarque. On démontrerait d’une manière analogue la proposition réciproque, savoir : .Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales, ce quadrilatère est un parallélogramme.

228. — Applicatiuxs. Le fréquent usage que l’on fait des parallèles entraîne l’emploi fréquent des parallélogrammes. Les feuilles ou frises des parquets eu point de Hongrie (fig. 113) ont cette forme; à l’exception de celles qui avoisinent les coins de chaque coropartimeut, jet qui ont, comme nous l’avons vu, la forme de tra- ])èzes symétriques.

Lorsqu’une rampe (fig. 188) est composée de simples barreaux, l’espace compris entre deux barreaux consécutifs, le limon AA' et la main-cowante B B, est un pa-

G£0.MKTRIE PLAKE. 145

rallelograinme. Cette même forme se retrouve clans des rampes plus compliquées.

Dans les machines à vapeur de Walt, le mouvement

à^un piston se communique

a un balancier AA' (f.g. 189) mobile autour de son milieu O. Mais comme rexlrémité A de ce balancier décrit un arc de cercle, tandis que l’extrémité C de la tiee du piston décrit une ligne droite, on ne peut pas réunir directement ces deux extrémités. Watt a imaginé d’ar-

ÎTr n i^»ia»cier dun parallélogramme

A BCü, articule h ses quatre sommets, et dont les angles peuvent prendre par conséquent toutes les grandeurs comme l’indique la figure. Le sommet D est retenu par une bride DE , de longueur invariable , mobile autour c^u point E. La longueur de cette bride est déterminée de naanièrc que, tandis que le point D décrit un arc de cercle dont E est le centre, le sommet C décrit une ligne peu courbée qui se confond sensiblement avec la ligne droite CP représentant la direction de la tige du piston. Cette disposition ingénieuse est connue dans les arts sous le nom de paralUlogramiue de JFatt.

En Mécanique, on représente les forces par des lignes droites. Si deux forces, représentées en grandeur et en direction par les lignes AB et AD (fig. 187) agissent en un certain point A d’un corps, on démontre que l’effet siinultanéde ces deux forces est le même queceluid’une force unique, qui serait représentée en grandeur et en direction par la diagonale AC du parallélogramme construit sur les droites AB et A D. Cette règle a reçu le nom de règle clu parallélogramme des forces.

On démontre également que si un corps placé au point A recevait à la fois une impulsion capable de lui taire parcourir eu une seconde la droite AB, et une seconde impulsion capable de lui faire parcourir dans le meme temps la droite AD, ce corps, j>ar l’effet des deux impulsions simultanées, parcourrait en une seconde la diagonale A C du parallélogramme construit sur les droites A B et AD. Cette règle porte le nom de règle du parallélogramme des vitesses.

i46 PREMIÈKE PARTIE.

229. — Lorsque dans un paralléiogramnie ABCD (fig. 190); l’un des angles est droit , les trois autres le sont aussi. Car si, par exemple, l’angle DAB est droit, l’angle ADC qui est son supplément, à cause du parallélisme des droites A B et D C, est droit aussi (92). Par la même raison, l’angle ABC , qui est aussi le supplément de D A B, est droit ; et, puisque la somme des quatre angles doit être équivalente à quatre angles droits, les trois premiers étant droits, il faut que le quatrièn^ B CD le soit aussi.

Dans ce cas, la figure prend le nom de parallélogramme rectangle, ou simplement de rectangle.

230. — Dans le rectangle , comme dans tout autre parallélogramme, les diagonales st; coupent mutuellement en deux parties égales. Mais, de plus, elles offrent une particularité qui caractérise le rectangle : c'est que ces diagonales sont égales. Car les triangles ABC, DBC (fig. 190) sont rectangles, l’un en B, l’autreen C; ils ont le côté BC commun, et les côtés AB et DC égaux, comme côtés opposés d’un même parallélogramme; ces deux triangles sont donc égaux, et leurs bjpothénuses A C et B D sont égales.

Cette jji’opriélé sert dans les arts à vérifier sans le secours de l’équerre l’exactitude d’un rectangle. Après avoir reconnu, à l’aide du compas, l’égalité des côtés opposés, on est certain que la figure est un parallélogramme (22i). Si l’égalité des diagonales se vérifie, on jieut être assuré que la figure est un rectangle; caries triangles ABC, DBC étant égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun h chacun, il en résulte que les angles ABC et BCD sont égaux; et comme ils sont d’ailleurs supplémentaires, puisque la figure est un parallélogramme, il s’ensuit que ces deux angles sont droits, et que , par conséquent , le parallélogramme est rectangle.

231 . — Pour construire un rectangle , il suffit de connaître deux côtés adjacents. Car, après avoir tracé un angle droit , et pris sur les côtés, à partir du sommet , les longueurs DA etDC (fig. 190) égales aux côtés don-

GÉOMÉTRIE PLAKE. 447

ués, on n’a plus qu’à mener par le point A une parallèle à DC, et par le point G une parallèle à DA ; ou , ce qui revient au même, à élever au point A une perpendiculaire à AD, et au point G une perpendiculaire à DG.

232. — r Applications. Le rectangle est de tous les quadrilalèi’es celui dont on fait le plus fréquent usage. Les murs, les planchers de nos appartements ont ordinairement pour surface un rectangle; il en est de même de la plupart des boites ou des caisses. Les portes, les fenêtres, les cadres, les faces des piédestaux, les dessus de table, les tablettes d’armoire, le fond et les faces latérales des tiroirs , les feuillets d’un livre, les cartes à jouer, etc., sont autant de rectangles. Les pierres nommées piédroits qui forment les jambages d’une porte ou d'une fenêtre (fig. 186) ont également pour faces des rectangles. On en fait aussi un usage fréquent dans l’Arpentage , comme nous le verrons.

La figure 191 , qui représente une portion de lambris à hauteur d’appui , offre un exemple de l’emploi des rectangles. Ceux qui forment un même cadre sont placés de manière que les angles intérieurs les uns aux autres ont leurs sommets situés sur leur commune bissectrice.

233. — Lorsque dans un parallélogramme ABCD, (fig. 192), deux côtés adjacents sont égaux , les deux autres le sont aussi , comme opposés aux deux premiers. Un parallélogramme dont les quatre côtés sont ainsi égaux s’appelle un losange. De l’égalité des quatre côtés résulterait aussi le parallélisme des côtés opposés; car ces côtés opposés étant égaux, la figure est un parallélogramme (225).

Dans un losange comme dans un parallélogi'amme quelconque, les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égale.s. Elles offrent, de plus, une particularité qui caractérise le losange, c’est qu’elles sont perpendiculaires entre elles. Car le point B est également distant des points A et G; il en est de même du point D: la droite BD, qui a deux de ses points à égale distance des extrémités de AG, est donc perpendiculaire sur le

148 PRElMlkRK PARTIE.

milieu de AC ( 75 ). Chaque diagonale d’un losange le divise en deux triangles isocèles égaux, et sert, par conséquent, de bissectrice aux angles dont elle joint les sommets.

Pour vérifier un losange, il suffit de vérifier l’égalité des quatre côtés. Pour le construire, il suffit de connaître l’un des côtés et l’un des angles; car si l’angle B AD est donné, ainsi que le côté AB, on prendra AD= A B ; des points B et D comme centres , avec A B pour rayon on décrira deux arcs de cercle qui se coupel’onten un point C; et AB CD sera le losange demandé-

Remarque. Il serait facile de démontrer qu’en joignant deux à deux par des droites les milieux des côtés consécutifs d’un rectangle, le quadrilatère qui en résulte a ses quatre côtés égaux, et est par conséquent un losange. On emploie souvent le losange de cette manière ; le lambris (fig. 191) en offre des exemples.

Applications. Les losanges s’emploient en outre dans les parquets, dans les grilles et les balustrades , soit en bois, soit en fer, dans les dessins des papiers de tenture , dans les vignettes, et dans une foule d’ornements de toute espèce.

L’aiguille aimantée qui fait la partie principale d’une boussole , a d’ordinaire la forme d’un losange très-allongé.

234. — Un rectangle qui a ses côtés égaux , ou un losange qui a scs angles droits, forment ce que l’on appelle un carré (fig. 193).

Dans ce quadrilatère , les diagonales se coupent en deux parties égales comme dans tout parallélogramme; elles sont égales pui.sque la figure est un rectangle, et déplus perpendiculaires entre elles, puisque la figure est aussi un losange. Chacune d’elles partage le carré en deux triangles rectangles isocèles égaux , et sert de bissectrice aux angles dont elle joint les sommets.

Pour vérifier un carré, il suffit de vérifier l’égalité des côtés et celle des diagonales. Pour le construire, il suffit de connaître l’un des côtés DC; aux extrémités D et C de ce côté, on élève des perpendiculaires DA et

GÉOMÉTRIE PLA.NK. 449

CB égales à DC; on joint AB et la figure est un carré. Car les côtés AD et BC étant égaux et parallèles, le quadrilatère est un parallélogramme; les angles ADC et B CD étant droits, ce parallélogramme est rectangle ; et les côtés DC et AD étant égaux, ce rectangle est un cari*é.

Remarque. Le côté DC du carré, et sa diagonale DB offrent l’exemple de deux longueurs incommensurables. Car le triangle DBG étant rectangle en C , il en résulte , d’après une propriété démontrée précédemment (210,

Coroll. III), B D* = B C’ + D C* = B C’ X 2 ; et par conséquent BD* : BC* :: 2 : 1. Or, quand quatre nombres sont en proportion , leurs racines carrées sont aussi en proportion: il vient donc

BD:BC::V/rTl,

Mais la racine carrée de 2 est une quantité qui ne peut s’exprimer exactement en unités et parties d’unités, c’est-à-dire qui est incommensurable avec l’unité; BD est donc aussi incommensurable avec B C.

Applications. La forme du carré, à cause de sa régularité, est encore une dè celles que l’on donne le plus souvent aujc quadrilatères. Les carreaux qui servent à carreler les vestibules dans la plupart des grands édifices sont des carrés. On emploie également cette forme • dans les lambris, dans les parquets , dans les ornements des portes, dans les balustrades, dans les dcssinsdes papiers de tenture, etc. Les cases d’un damier sont des carrés; il en est de même des six faces d’un dé à jouer, etc.

Les figures 194, 195, 196 et 197 , qui représentent différents motifs de parquets, offrent des exemples de l’emploi des quadrilatères.

Quatlrilalère.<! inscrits et circonscrits.

235. — Les quadrilatères ne sont point tous inscriptibles et circonscriptibles au cercle, comme cela a lieu pour les triangles.

160 PREMIÈRK PARTIE.

Lorsqu’un quadrilatère A B C D (fig. 1 98) est inscrit dans un cercle, les angles opposes A et C, par exemple , sont supplémentaires, car ils ont pour mesure la moitié des arcs DC B et DAB, dont la somme forme une circonférence entière; la somme de ces deux arcs a donc pour mesure une demi -circonférence. On en pourrait dire autant des deux autres angles du.quadrilalère.

On s’assure facilement que cette propriété n’appartient qu’aux quadrilatères inscriptibles. Car soit AB'CD nu quadrilatère dont le sommet B soit situe hors de la circonférence qui passe par les trois autres, et soit B le point où le cùté BC rencontre celte circonférence; joignons AB. Le quadrilatère AB CD étant inscrit, l’angle ABC est le supplément de l’angle D ; mais l’angle ABC, extérieur au triangle A B B’, équivaut à la somme des angles B B'A et B A B', et est par conséquent plus grand que l’angle B'. Ainsi l’angle B' ne saurait être le supplément de l’angle D. La démonstration serait entièrement semblable, si le point B' était intérieur à la circonférence.

Il résulte de là que si dans un quadrilatère les ang;les opposés sont supplémentaires , ce quadrilatère est in-

scriptibte' au cercle. ^

236. Pour qu’un trapèze A B CD (fig. 181) soit inscriptible, il faut qu’on ait DAB -H DCB =* 2 a«- • gies r/rofW.^'Mdais déjà, à cause des parallèles, on a XDC = 2 angles droits ; il faut donc qu’on ait DCB*= ADC, c’est-à-dire que le trapèze soit symétri-

Pour qu’un parallélogramme ABCD(fig. 190) soit inscriptible, il faut qu’on ait D AB -h DCB = 2 angles droits; et comme ces deux angles opposés sont égaux (224) , il faut que chacun d’eux soit droit , c est-à-dire

que le parallélogramme soit rectangle. .

Il en résulte qu’un losange ne peut être inscriptible qu’autant qu’il a ses angles droits, c’est-à-dire qu’autant

que c’est un carré. . . • -ui

237. — Pour qu’un quadrilatère soit circonscriptible au cercle , il faut qu’il existe un point également di-

t'y Coogic

GEOMiiTRIE TLANE. 151

stant des quatre côtés, et comme ce point doit alors se trouver sur chacune des bissectrices des angles (78), il faut que ces qualité bissectrices concourent en unmêmc point.

Il est facile de voir que le losange A CCD (fig. 192 ) satisfait à celle condition: il en est de meme du carré, puisque c’est un losange.

Applications. Les quadrilatères iii-scrits et circonscrits s'emploient .souvent dans les lambris, dans certains motifs de grille ou de balustrade, dans, les vignettes, et dans rornement en général. La ligure 199., qui représente un motif de balcon , en offre plusieurs exemples.