CHAPITRE III
Des polygones en géVicral.
338. — On nomme en général polrf:;one toute surface plane terminée par des lignes droites. La ligure 200 représente un polygone : les droites AB, BC, CD, etc., qui la terminent, se nomment JCA-cdréj; les sommets des angles FAB, ABC,BCD, etc., formés par ces côtés, sont les sommets du jiolygone. l'oute droite, telle que AC, AD, A E, etc. , joignant deux sommets qui ne sont pas les extrémités d'un même côté, porte le nom de eliagoiiale.
Dans la Géométrie élémentaire on considère principalement les polygones convexes, c’est-à-dire qui n’ont point d’angle rentrant et dont une même ligne droite ne jïeut rencontrer à la fois plus de deux côtés, sans qu’il soit néces.saire de les prolonger. On peut dire encore qu’un polygone est convexe quand tous les angles ont l’ouverture tournée vers l’intérieur. C’est toujours de cette espèce de polygone que l’on parle quand on n’exprime pas le contraire. ' ’
Si dans un polygone convexe AB CDE F (fig. 200) on tire toutes les diagonales qui aboutis.sent à un même sommet A , on partage le polygone en triangles qui ont
452 PREMtj^RE PARTIE.
ce point A pour sommet commun. Chacun de ces triangles emploie rnn des côtés du polygone, à l’exception des deux triangles exlrêmes ABC et AFEqui en emploient chacim deux. Il suit de là que le nombre de ces triangles équivaut au nombre des côtés du polygone diminué de deux.
Les polygones prennent des noms divers, suivant le nombre de leurs côtés :
Un polygone de
lO
la
côtés porte le nom de triangle;
de quadrilatère ;
de pentagone ;
Ôl hexagone ;
iH heptagone ;
Ci'ioctogone ;
diennèagone;
de décagone ;
de dodécagone;
de pentédécagone.
Pour tous les autres polygones on se contente d’énoncer le nombre de» côtés; et l’on dit un polygone de 11 , de 13, de 14, de 16, de 17 côtés, etc.
239. — Théorème. La somme totale des angles d’un polygone équivaut à autant de fois 2 angles droits que ce polygone a de côtés, moins deux. Car si l’on tire toutes les diagonales qui aboutissent à un même sommet, on partage ce polygone en autant de triangles qu’il y a de côtés moins deux ; la somme des angles de tous ces triangles réunis forme précisément la somme des angles du polygone; d’ailleurs la somme des angles de chaque triangle équivaut à 2 angles droits; donc , etc.
Corollaire 1. 11 suit de là que
La somme des angles d’un pentagone éqiilvani .à 6 angles droits.
hexagone 8
octogone ........ i a
décagone 1 6
ftc. etc.
GEOMETRIB PLANE. 153
CoBOLLAiDE II. Réciproquement : Si l’on connaît la somme totale des angles d’un polygone, on peut déterminer le nombre de ses côtés. Si, par exemple, celle somme équivaut à 26 angles droits, la moitié de ce nombre, ou 13, exprime le nombre des côtés du polygone diminué de deux; ce nombre de côtés est donc 15.
240. — TnEoRÊME. Deux polygones sont égaux lorsqu'ils sont composés d'un nteme nombre de triangles égaux chacun h chacun et semblablement disposés , Car si l’on fait coïncider deux des triangles égaux, d’après la supposition , tous les autres, considérés deux à deux successivement, coïncideront aussi; et les polygones euxmémes coïncideront par conséquent dans toute leur étendue. Donc ces polygones sont égaux.
V- 241. — Remarque Nous nous sommes appuyés souvent sur ce principe que deux figures sont égales quand elles peuvent coïncider; il peut être en effet admis comme un axiome. ’
Applications. Dans les arts on se fonde sur ce principe pour .copier les figures. Quand, par exemple, les tailleurs de pierre, après .avoir rendu plane la surface du bloc qu’ils doivent tailler, veulent déterminer les contours de cette surface , ils y appliquent un patron en carton , dont ils suivent tous les contours avec une pointe à tracer. La figure ainsi obtenue sur la pierre est égale à celle que présente le patron, puisque ces deux figures coïncident. Les ferblantiers , les chaudronniers , les serruriers, les charpentiers, etc., font usage du même moyen.
C’est encore d’après le même principe que l’on copie un dessin, soit en le calquant à la vitre ou à l’aide d’un papier huilé, ou d’un papier transparent dit papier végétal, soit en piquant avec une aiguille tous les contours du modèle , l’appliquant sur la feuille où l’on veut tracer la copie, et frappant alors .sur le modèle avec un sachet de toile rempli de fusin pulvérisé. La poussière du fusin, en passant au travers des trous d’aiguille du modèle , laisse sur la feuille placée au-dessous une trace que l’on repasse ensuite au crayon, et qui repi*oduit avec fidélité
tous les contours du modèle, puisque lesdeuf figuTes peuvent coïncider. ’
242. — Il existe , pour les polygones en général , comme pour les triangles et les quadrilatères , certains caractère auxquels on peut reconnaître leur égalité : nous déduirons ces caractères des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer un polygone.
Un polygone AB CD EF (fig. 200) est déterminé lorsqu’on connaît tous ses côtés , et toutes les diagonales AC, AD, AE, qui aboutissentà un même sommet. Car tous les triangles ABC,ACD,ADE, etc. , se trouvent déterminés chacun par .ses trois côtés.
Un polygone A B CD EF (fig. 200) est déterminé lorsqu’on connaît tous ses côtés, et tous ses angles consécutifs ABC, BCD,etc. , à l’exception des trois derniei's DEF, E FA, FA B. Car le triangle ABC se trouve déterminé par l’un de ses angles A, et les côtés qui le comprennent; par suite le triangle A CD se trouve déterminé par l’angle A CD et les côtés qui le comprennent ; et tous les triangles consécutifs sont déterminés de la même manière, à l’exception du dernier AFE qui se trouve, déterminé par ses trois côtés.
On peut varier d’un gt'and nombre de manières différentes les données nécessaires et suffisantes pour déterminer un polygone ; on trouvera toujours que le nombre de ces données doit être 2 n — 3 , si « représente le nombre des côtés du polygone. En sorte que pour un pentagone il faut 10 — 3, ou 7 données; pour un hexagone il en faut 12 — 3, ou 9, et ainsi de suite. Nous examinerons encore le cas suivant.
Un polygone AB CD EF (fig. 201) est déterminé lorsqu’on connaît un de ses côtés AB , et tous les angles que fait ce côté avec les côtés et les diagonales qui aboutissent à ses extrémités. Car chaque sommet C, D, E, F du polygone se trouve lié au côté donné AB par un triangle dans lequel on connaît ce côté AB et les deux angles adjacents (192). Tous les sommets du polygone sont donc déterminés, et par suite le polygone Ini-môme.
Remarque. Chacime des conditions précédentes fournit
OÉOIIÉTBIE PLATfr. 155
un caractère d’égalité pour les pol) gones; le lecteur ep tmuvera facilement les énoncés (voir la Remarque II du n'»221). ’ ‘
‘Des polygones semblables. '
243. — Deux polygones ABCDE, abc de (fig. 202) composés d’un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont ce qi?e l’on appelle deux polygones semblables. Les sommets des angles égaux se nomment sommets homologues ; les côtés ou les diagonales qui joignent des sommets homologues, sont des côtés ou des diagonales homologues ^ enfin, les triangles semblables, considérés par rapport aux polygonesdont ils font partie , sont des triangles homologues.
244. — Deux polygones semblables A^CaDI^., a b c d e (fig. 202) , ont leurs angles égaux chacun à chacun, et leurs côtés homologues proportionnels . En effet, les triangles homologues kliC et abc étant semblables, les angles B et 6 sont égaux; on a les proportions
AB :ab :: BC:ic... (I), etBG :bc:: AC : ac... (2), • et de plus les angles BCA et bca sont égaux.
Les trianglea homologues ACD et acd étant semblables, les angles ACD et acd sont égaux. L’angle BDD, qui est la somme des angles BCA et ACD est donc égal à l’angle bed qui est la somme des angles bca et acd. La similitude de ces mêmes triangles donne la proportion AC : ac :: CD ; tv/... (3)
En comparant les proportions (2) et (3) , on voit quMles ont un rapport commun; on en déduit donc
BC : bc :: CD : cd.
En continuant ainsi , on démontrerait de même l’égalité de tous les autres angles des deux polygones, et la proportionnalité de tous leurs côles homologues.
245. Théorème. Si deux polygones ABCDE, abede (fig. 202)0/7/ leurs 'angles égaux chacun à chacun et leuts côtés homologues proportionnels , ces polygones sont semblables. En effet , si l’on aB=i, et AB '.ah :: HC'.bé, les deux triangles A BC et abc ont un angle égal com-
■ioC PREMiÈnE PARTIE.
pris entre côtés proportionnels , et sont par conséquent semblables (203). Il en résulte que lesangles DCA et ôcrt sont égaux; et comme les angles BCU et bcd sont égaux aussi par supposition, l’angle AC D, qui est la différence des angles BCD et B CA, est égal à l’angle acd, qui est la différence des angles ôcr/ et hca. D’ailleurs, de la similitude des triangles ABC et abc on déduit BC : hcw AC :ac, et par supposition, on a B C : ôc : : CD :c^/. Ces deux dernières proportions ayant un rapport commun, on en tire AC: «c :: CD : cf/.Les deux triangles ACD e.\.acd ont donc un angle égal compris entre côtés proportionnels; ces deux triangles sont donc semblables. En continuant ainsi, on démontrerait de même la similitude des autres triangles. Les deux polygones proposés sont donc composés d’un même nombre- de triangles semblables et semblablement disposés; ce sont donc des polygones semblables.
, 246. — Remarque. Si l’on applique ces notions de si-
militude aux quadrilatères, ou verra, que: deux parais lélogram mes sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal • compris entre côtés proportionnels.
Deux rectangles sont semblables lorsqu’ils ont deux côtés adjacents proportionnels .
Deux losanges sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal.
Deux carrés sont toujours des Jîgures semblables.
247. — Théorème. Deux polygones AB CDEF,abcdef (fig. 201) sont semblables y lorsque les angles formés par deux côtés homologues y AB , a b, avec les côtés et avec les diagonales qui aboutissent à leurs extrémités y sont égaux chacun à chacun. En effet , par supposition, les angles ABCj.et aôc sont égaux, ainsi que les angles BâC et bac; les triangles ABC e\.abc sont donc équiatigles, et par conséquent semblables. Il en résulte la proportion AC;ac::AB:«ô.
Par une raison analogue les triangles A BD et ahd sont seroblables et fournissent la proportion
AD '.ad:: AB : ab. >
Gl^OMÉTRIE PLANE. 45t
Cette proportion ayant avec la précédente un rapport commun, on en déduit
AC : ac AD : ad.
D'ailleurs l’angle DAC, qui est la différence des angles DAB et CAB, est égal à l’angle dac, qui est la différence des angles dab etc a Les deux triangles AD C f^Xadc ont donc un angle égal compris entre côtés proportionnels, et sont par conséquent semblables.
En continuant ainsi on démontrerait de même la similitude des triangles AED et aed, et celle de tous les autres triangles homologues. Les deux polygones proposés sont donc composés d’un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés; ces polygones sont donc .semblables.
248. — On pourrait déterminer beaucoup d’autres conditions de similitude entre les polygones, mais celles des n®» 245 et 247 suffisent pour justifier les procédés .suivis dans les applications. D’ailleurs on peut remarquer que les conditions d’égalité se changent en conditions de similitude lorsqu’à l’égalité des lignes homologues on substitue leur proportionnalité.
Remarquons aussi que l’égalité des angles formés, tant par les côtés que par les diagonales, entraîne la proportionnalité de ces côtés et de ces diagonales, et vice versd. En sorte que l’on peut dire généralement que l’égalité des angles entraîne la proportionnalité des lignes homologues, et réciproquement; la proposition cesserait d’être vraie si l’on ne considérait que les angles formés par les côtés.
249. — Théorème. Les contours ou périmètres de deux polygones semblables ABC DE, abcdeffig. 202) sont entre eux comme deux côtés homologues ou deux diagonales homologues quelconques. Désignons par P et les périmètres de ces polygones. En vertu de leur similitude on aura
AB:/7Ô::BC:^»c::CD:cr/::DE:r/<?::EA:crt.
ISIais, dans une suite de rapports égaux , la somme des
458 PRËMlfeRE PARTIE.
antécédents est à la somme des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent; on a donc
AB-j-BC-l-CD-l-DE-f-EA \ab -^bc-\-cd-\- de -\-ea :: AB : ou P AB ; «i*.
D’ailleurs on a AB:â6 ::BC:6c:: AC: ac:;CD :cr/,elc. Donc P:/>::AB:a6::BC:6c::AC:ac:: CD etc.
250. — PnoBLÉME. Construire un polygone semblable à un polygone donné ABCDE (fig. 202) sur une ligne a b donnée comme homologue du côté AB. Faisons l’angle abc égal à l’angle ABC ; cherchons une (luatriènie proportionnelle (138) aux trois longueurs A B, «A et B C, et portons cette quatrième proportionnelle de b en c. Faisons l’angle égal à l’angle BCD; cherchons une quatrième proportionnelle aux trois longueurs BC,
et CD, et portons cette quatrième proportionnelle de e en d. En continuant ainsi, nous formerons un polygone abcde(\\\i sera semblable au polygone ABCDE; car ces polygones auront leurs angles égaux chacun à chacun et leurs côtés homologues proportionnels.
Remarque. Les quatrièmes proportionnelles dont ce problème exige la recherche, peuvent s’obtenir toutes par une seule et môme opération. Sur l’un des côtés d'un angle quelconque, on porte à partir du sommet une longueur AF (fig. 119) égale au premier côté du polygone donné, puis , à la suite les unes des autres, des longueurs F II, H B, etc., respectivement égales aux côtés consécutifs de ce polygone. Sur l’autre côté on prend, à partir du sommet, une longueur AC égale à la ligne donnée comme homologue de A F ; on joint C F. Par tous les points H, B, etc. , on mène des parallèles à CF : les longueurs CD, DE, etc., ainsi déterminées sont les côtés successifs du polygone demandé ( 137, 244).
251. — liOrsque le polygone donné a des dimensions considérables, comme cela arrive, par exemple, quand ce polygone est tracé sur le terrain , et qu’il s’agit de construire .sur le papier un polygone semblable, on emploie généralement une autre construction. Soit A BCDE F (fig. 201) le polygone donné; on prend sur le
papier une ligne quelconque a h comme homologue de AB. On mesure les angles ABC, ABD, ABE, A B F, BAC, B AD, B A E , B AF; et l’on fait sur le papier les angles«i>c, ahd,abeyahf, bac, bad,bae, b af , respectivement égaux aux premiers; les points de rencontre des droites ac et hc, ad ei bd, ae et be, af et hf , sont les sommets d’un polygone «icr/cy'semblable au polygone donné, en vertu du théorème du n° 247.
252. — Application. Cette construction est fréquente dans le levé des plans. Lever le plan d’un terrain , c’est tracer en petit sur le papier une figure semblable à celle que ce terrain présente. Soit ABCDEF (fig. 201) le polygone que forme le terrain. On mesure l’un de ses côtés AB; on prend sur le papier une longueur a b qui ait avec AB un rapport connu , qui contienne , par exemple , autant de millimètres que A B contient de mètres. Ou mesure les angles ABC, A BD , etc. , B A C , BAD , etc., à l’aide du graphomètre, du cercle répétiteur ou de la boussole, suivant les circonstances et suivant le degré d’exactitude qu’on veut obtenir ; on fait sur le papier, à l’aide du rapporteur, des angles a a bd, eic., bac, b ad, etc. , respectivement égaux aux angles mesurés sur le terrain; et le polygone abedef ainsi déterminé e.st le plan du polygone ABCDEF. Tous les angles du plan sont égaux à leurs homologues du terrain ; et toutes les lignes du plan sont proportionnelles à leurs homologues du terrain , c’est-à-dire contiennent autant de millimètres que celles-ci contiennent de mètres, si l’échelle deréduction adoptée estd’un millimètre par mètre.
253. — On arrive plus promptement au résultat au moyen de l’instrument qu’on appelle la planchette. Il se compose d’une tablette en bois, parfaitement dressée, et reposant par son centre sur un support à trois pieds. La tablette est liée au support par un genou à vis, qui permet de lui faire prendre toutes les positions possibles à l’égard de ce support. Pour se servir de la planchette, il faut que sa surface soit dirigée Ao/?3o/?/û/ement; c’est-à-dire qu’une bille qui y serait placée ne tende à rouler d’elle-uiême dans aucun sens : nous
4 GO phemikre partie.
verrons plus tard comment on y parvient, et le véritable sens du mot horizontalement. surface de la planchette est recouverte d’une feuille de papier bien tendue. Pour y tracer des droites dans la direction des rayons visuels menés de l’œil vers les objets remarquables du terrain , on emploie une alidade, semblable à celle du graphomètre , munie également de pinnules, mais entièrement libre, et pouvant être placée sur la planchette dans toutes les directions possibles. On se .sert de l’alidade clle-méme comme d’une règle pour tracer des droites sur la planchette dans la direction indiquée par les pinnules; et si cette direction doit passer par un point donné sur la planchette, on .se contente d’y faire pa.sser l’un des bords de l’alidade. On néglige ainsi la distance de ce bord à la ligne déterminée par les fils des pinnules, c’cst-à-dire la moitié de la largeur de l’alidade ; mais cette demi-largeur est en effet négligeable par rajiport aux distances sur lesquelles on opère.
Pour lever un plan au moyen de la planchette, on trace sur le terrain une droite A B (fig. 203) qui sert de base à l’opération. On en trace une autre ah sur la planchette, et on lui donne un rapport connu avec AB, la millième partie par exemple, ou 1 millimètre par inètix;. On porte la planchette au point A; et on la dispose de manière que le point a soit situé précisément au-dessus du point A ( une petite masse de plomb suspendue au point a par un fil facilite cette opération, ainsi que nous le verrons par la suite) et qu’en dirigeant l’alidade suivant ah on aperçoive le i)oint B derrière les fils des pinnules. On trace ensuite les droites «E, «D , aC, en dirigeant l’alidade vers les points du terrain que l’on veut fixer sur le plan : pour tracer ces lignes plus commodément, on plante au point a une aiguille contre laquelle on appuie le bord de l’alidade dans toutes ses positions. Cela fait, on transporte la planchette au point B; ou la dispose de manière que le point h soit précisément au-dessus du point B, et qu’en dirigeant l’alidade suivant ah on aperçoive le point A derrière les fils des pinnules. Dans cette nouvelle position
CKOMKTRIE PLANE. i61
de la planchelte, les droites ae,ad, «csont restées parallèles à elles-mêmes, puisque la droite a b n’a pas changé de direction. On trace alors les droites ^C, D, />K, en dirigeant de nouveau l’alidade vers les points précétlemment observés. Les intersections de ces droites avec les premières déterminent sur le papier les .sommets e, d, Cy d’un polygone abcde semblable à celui que lorineut sur le terrain les points A, li, C, D, K.
254. — Lorsque l’on se sert de la planchette pour des opérations d’une grande étendue, on remplace par une lunette les pinnules de l’alidade. On ne marque dans ce cas sur le plan que les points les plus remarquables ; et pour obtenir des détails, on fait de nouvelles opérations partielles , de nouveaux plans sur une échelle plus grande, qu’on repoi’te ensuite sur le plan général en les réduisant dans un rapport convenable. .
255. — La méthode que nous venons de faire connaître est la plus expéditive de toutes celles qui suppo.sent l’emploi de la planchette. Il faut remarquer toutefois qu’elle n’est point susceptible d’une trèsgrande rigueur. Un point est toujours mal déterminé par l’intersection de deux droites, lorsque ces droites se rencontrent sous un angle très-aigu, parce qu’en raison de leur épaisseur le fieu de leur rencontre est par le fait une sorte de losange, dans lequel il e.st assez diflicile de distinguer le véritable point d’intersection. Pour éviter, autant (|ue possible, cet inconvénient , il faut prendre la ba.se d’opération A B aussi grande que possible, et faire en sorte qu’elle ne soit pas plus petite que le cinquième ou le sixième de la plus grande des lignes qu’on peut mener de l’une de ses extrémités aux différents points du terrain.
11 faut également avoir soin de choisir cette base, de manière qu’il ne .se trouve aucun point remarquable du terrain sur son prolongement ou près de ce prolongement; car pour un pareil point la construction serait illu.soire.
25G. — Lorsque les différentes lignes qui forment le contour du terrain i)ouvent être nie.su rées à lacbaine.
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on peut obtenir le plan en suivant la méthode du n® 250, et en se servant de la planchette i>our déterminer les angles du polygone. Les quatrièmes proportionnelles s’obtiennent immédiatement au moyen de réchelle, en prenant, par exemple, un millimètre pour représenter un mètre. Mais cette méthode exige qu’on transporte succe.ssivement la planchette à tous les angles du polygone; et ce transport offre de grands inconvénients, à cau.se des précautions qu’il faut prendre pour assurer à chaque station la position horizontale de la planchette. On a cependant recours à cette méthode, quand l'intérieur du jx)lygone n’est pas conimodément accessible.
257. — Lorsque l’intérieur du polygone offre un point 0(fig. 204), d’où l’on puisse découvrir tous les points l’cmarquables du terrain , et dont les distances à ces poi nts puissent être mesurées à la chaîne, on transporte la planchette en ce point, de manière qu’il soit précisément au-des.sous d’un point O marqué d’avance sur la planchette. On trace à l’aide de l’alidade les droites On , Oh, Oc, Od, Oe dirigées vers les points A, B, C, D, E, du terrain que l’on veut fixer sur le plan. On prend sur ces droites, à partir du point O, des distances proportionnelles aux distances OA,OB,OC,OD,OE, mesurées préalablement à la chaîne; on donne, pai* exemple, à chacune des droites Oa, Oh, etc., autant de millimètres que les distances corresponda ntes OA , O B, etc. , ont de mètres. On joint les points a, b,c,d, e, et la figure abc de est un polygone semblable au polygone A B C D E ; car , d’après la construction , les tViangles « O et AO B ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, et sont par conséquent semblables (203) ; il en est de môme des autres triangles jiris ainsi deux à deux ; les deux polygones sont donc composes d’un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés; ces polygones sont donc semblables.
258. — Remarque I. On néglige dans toutes les operations précédentes , comme dans celles que l’on fait à l’aide du graphomètre ou de la boussole , la hauteur de l’instrument employé, et l’on raisonne comme si la
Diyr
GI^OMÏTfilE PLANE. 163
planchette ou le limbe du graphomètre ou de la boussole, reposaient immédiatement sur le sol. La hauteur de l’instrument est en effet très-petite par rapport aux distances que l’on a à considérer ; mais nous verrons parla suite que d’autres raisons justifient pleinement cette manière d’agir.
Remarque II. Quoique la réduction la plus commode consiste, comme nous l’avons dit, à représenter chaque mètre par un millimètre, on sent que ce rapport ne saurait être employé dans toutes les circonstances ; et
3 lie , suivant la grandeur de terrain , et celle qu’on veut onner au plan, il faut souvent avoir recours à une autre échelle. Mais , comme l’emploi du double décimètre, tel qu’on le trouve tout divisé dans le commerce, dispense du soin de construire une échelle, il est bon de représenter le mètre ou le décamètre par un nombre exact de millimètres , toutes les fois que cela est possible. Dans les opérations du cadastre, on emploie fréquemment une longeur de 4 millimètres pour représenter un décamètre. Dans les plans partiels que l’on lève pour obtenir les détails d’un plan plus considérable, on peut, au contraire, suivant l’occasion , prendre 2, 3, 4, 5 millimètres pour représenter un mètre.
Remarque III. Bien que les constructions et les procédés qui précèdent, se fondent sur des propositions qui n’ont été démontrées que pour les polygones convexes , elles s’appliquent néanmoins sans restriction à des polygones quelconques. On conçoit, en effet , qu’un polygone qui a des angles rentrants, puisse par des diagonales convenablement choisies être partagé en plusieurs polygones convexes; et puisque les procédés dont nous parlons s’appliquent à chacun d’eux en particulier, ils s’appliquent évidemment à leur ensemble. I.a circonstance des angles rentrants rend seulement dans certains cas le choix de la base plus difficile.
259. — La considération des polygones semblables donne également les moyens de copier une figure quelconque, en la réduisant dans un rapport déterminé. On fait usage pour cela de plusieurs procédés.
PBEMlfenE PARTIE.
Soit le polygone AB CD (fig. 205) qu'il s’agit de copier, en réduisant aux par exemple, la longueur de ses côtés. Prenons dans le plan de ce poly gone un i>omt O quelconque : menons AO , BO , CO , D 0 ; sur le prolongement de ces lignes, prenons a O =3 A O ; O = j-B O ; cO = gCO; i/0==3 DO; et joignons aù, hcy cd, da. Le poly gonertèr^/ remplira les conditions du problèine- Car les triangles « O A O B, ont un angle égal compris entre cotés proportionnels, et sont par conséquent .semblables; il en e.st de même des triangles ^»Or et B OC; cOd et CO D; f/Ort et DOA. Si on tire les diagonales lid et BD , les triangles i»0^/ et BO D seront aussi semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Il résulte de là <jue Ion a a b ■jAB;
|BC; c</=|CD; J« = ^D A; | BD; les
triangles b ad ci B AD ont donc leurs côtés proportionnels et sont semblables ; il en est de même des triangles />cr/et BCD; les deux polygones J et ABCD sont donc composés d’un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés; donc ils sont semblables.
Celte démonstration s’étendrait de la même manière à des polygones d’un nombre quelconque de côtés.
Au lieu de porter les distances Ort, Ob, etc., siii les prolongemen Is des droi tes correspondantes O A , O B, etc. , on aurait pu les porter sur ces di'oites elles-mêmes , en Oit . O b‘. Oc , O d'. Les polygones d U c d' et A B C D eu.ssent encore été semblables par les mêmes raisons.
Le point O est ce qu’on nomme un centre de similitude; il est interne par rapi>orl aux polygones ABCD, et externe par rapport aux polygones db'c'dcX ABCD.
Remarque. La construction précédente n est point particulière au cas des |>olygoncs couvexes, et s appliquerait également à des polygones quelconques. Klle s’appliquerait encore à des figures compo.sees de lignes courbes; car toute ligne courbe peut être considérée comme une ligne brisée d’un nombre inlini de côtes infiniment petits.
2G0. — Ce procédé exige uniiiuemcnt que les droites
GÉOMÉTRIH PLANÜ. 465
OA et Ou, O Ü et O ù, etc. , conservent entre elles un rapport constant. On a construit un instrument fondé sur ce principe, et à l’aide duquel on peutcopier immédiatement une figure quelconcjue, en la réduisant dans un rapport donné. Cet instrument se nomme panto^raphe.
Deux règles ON, AN (fig. 206), sont liées ensemble au point N, de manière à tourner librement l’une sur l’autre. Deux autres règles «M , «P , liées de la même manière au point a, sont en outre assemblées avec les jiremières, au moyen de chevilles M, P, qui leur permettent également de tourner. Ces quatre règles sont dispo.séesdetellesortequeles points O, «et A soient en ligne droite , et que les longueurs aM , N P soient égales, ainsi que la longueur M N, «P. Il résulte de ces dernières relations que lafigurertMNPestun parallélogramme (22.5), et que les droites « M et A N sont parallèles. Les triangles OrtM et O AN sont donc .semblables, et l’on a
