O A : :OM: ON

Mais, quelque position que prennent les règles, la figure «MNP .sera toujours un parallélogramme; les relations ci-dessus subsi.steront donc toujours , et comme les longueurs OM et ON demeurent invariables, leur rapport demeure constant, et ce rapport étant toujours celui des distances Oa et OA, celles-ci restent toujours proportionnelles.

Si donc le point O reste fixe, et qu’avec une pointe placée en A on suive les contours d’une figure ABC, une pointe placée en a tracera sur le papier une figure semblable abc, réduite dans le rapport de ON à OM.

Afin de pouvoir changer ce rapport à volonté, on perce les quatre règles de trous équidistants, qui permettent de racourcirà volonté l’une des deux longueurs «M ou N P, et d’allonger l’autre, de quantités proportionnelles, en sorte que le point « reste toujours sur la droite OA.

261. — Il existe un autre procédé fort commode pour copierune figure en la’i'éduisantdans un rapport donné.

On enveloppe la figure donnée dans un carré A BCD

(Ag. Offi) que Ton partage par des parallèles aux côtés en un certain nombre de carrés égaux. S'il s'agit de l'éduire toutes les lignes de la Ggure dans le rapport de 5 à 3 y par exemple, on prend une droite ab , égale aux I de AB; et l'on construit sur cette droite un, carré abcd (334) , que l'on partage en autant de carrés égaux que le premier. Pour éviter la confusion, on désigne par des lettres semtdables M , N , P , etc. , et w, etc. ,

les colonnes de carrés parallèles à AD et ad, et par des chiffres semblables , les bandes de carrés parallèles à ABétàaô.

Si l’on veut maintenant Gxer sur la copie, la position d’un point O du modèle , on remarque que ce point est situé dans un carré qui appartient à la fois à la colonne R et à la bande 3. Ce point devra donc être figuré sur la copie dans le petit carré qui-appartient à la colonne r et à la bande 2 ; et si les carrés ne sont pas trop grands , il suffira d’un peu d’habitude et de coup d’oeil pour fixer sans erreur sensible la position de ce point. On obtiendra d’une manière analogue tous les autres points de la copie.

263. — Nous avons supposé jusqu’ici que la copie était une réduction du modèle ; les mêmes procédés seraient applicables s’il fallait, au contraire, accroître le modèle dans un rapport donné. Mais il est utile de remarquer que les opérations sont toujours moins exactes dans te second cas que dans le premier; parce qu’en réduisant une figure les erreurs tendent à diminuer, tandis qu’en augmentant les proportions de cette figure, les erreurs tendent à s’accroître.

263. — Remarque. La méthode des carreaux peut être employée pour copier une figure en conservant sa grandeur véritable ; il suffit pour cela de faire le second carré égal au premier.

On emploie aussi pour le même objet un procédé qui porte le nom de tricage. Soit à copier un polygone A B G D E F G (fig. 208). Le procédé en question consiste à mener par les sommets du polygone un système de parallèles AA', BB', CC, etc., toutes d’égale longueur. Les extrémités A', B', G', D ,E', F', G' de ces parallèles forment

Di' ■ cd i •

un |)olygone égal au polygone proposé. Car, d'après la construcliou , la figure AliB A' est un parallélogramme (226), et il en résulte AB = A'B'. On prouverait de même que tous les côtés du second polygone sont respectivement égaux à ceux du premier. On en peut dire autant des diagonales, car la figure AA'Jb'’F, par exemple, est aussi un parallélogramme, et l’on[a A F = A' F'. Les deux polygones ont donc leurs côtés égaux et leurs diagonales égales; ils peuvent donc se décomposer en un même nombre de triangles ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Ces triangles, et par suite les polygones qu’ils composent, sont donc égaux entre eux.

On copierait à l'aide de ce procédé toute autre figure quelconque.

Des polygones symétriques.

264. — Supposons que de tous les sommets d’un polygone A BCDE (fig. 200) on abaisse sur une même droite X Y les perpendiculaires km, B«, C/>, D<jr, Er; qu'on prolonge ces perpendiculaii'es de quantités égales /n A', /îB', pC, ^D', rE'; et qu’on joigne par des droiteseonsécutives les points A', B', C', D', E'. Onformera unsecond polygone qui aura toutes ses parties égales à celles du polygone ABCDE. Car, si l’on plie la figure le long de X Y comme charnière, de manière que la figure A' B' C'D'E' vienne s’appliquer sur le plan de la figure A B CDE ; les angles kmn. A' mn étant droits, la ligne A'/« prendra la direction Am; et, puisque ces lignes sont égales par construction , le point A’ tombera en A. De même le point B' tombera en B , le point C' en C , etc. , et les deux polygones, ayant tous leurs sommets communs, coïncideront dans toute leur étendue. Ils ont donc toutes leurs parties égales.

ISéanmoins on peut remarquer que le mouvement que nous venons de faire faire au second polygone pour s’appliquer sur le premier, était indispensable pour opérer la superposition. De quelque manière que l’on fit tourner le polygone A'B'C D E' dans son plan, sans le renverser comme nous l’avons fait , on ne pourrait jamais

i6B PhEMifeRE PARTIE.

le faire coïncider avec le polygone AB C D.E. C’est que , dans la position qu'ils occupent -sur la figure, toutes leurs parties sont égales , il est vrai , mais disposées dans un ordre précisément inverse. Deux polygones de ce genre sont ce que l’on appelle des polygones symétriques ; et, Ioi*squ’ils ont la position indiquée par la figure, la droite X Y est ce qu’on nomme un axe de symétrie par rapport à ces polygones.

265. — Théorème. Deux polygones composés des mêmes parties disposées dans un ordre inverse, peuvent toujours être placés de manière à avoir un axe de symétrie. Soit , en effet , ABCDE (fig. 209) l’un de ces polygones. Tirons dans son plan une droite quelconque XY ; de tous les sommets du polygone, abaissons des perpendiculaires sur celte droite, et prolongeons ces perpendiculaires de quantités égales à elles-mêmes, puis joignons leurs extrémités comme nous l’avons fait tout à l’heure. Le polygone A'B'C'D'E', d’après ce que nous venons de voir, aura toutes ses parties égales à celles du polygone ABCDE, mais disposées dans un ordre inverse. Ce polygone A' B’ C' D' E' est donc égal au Second polygone proposé , et l’on peut amener celui-ci à coïncider avec A'B'CD'E'. Dans cette position mutuelle les deux polygones proposés auront un axe de symétrie , qui sera la droite XY.

Remarque. C’est en raison de ce théorème que l’on conserve le nom de symétriques aux }x)lygones formés des mêmes parties disposées dans un ordre inverse, lors même que ces polygones sont placés de manière à ne pas avoir d’axe de symétrie. Dans ce cas y il a simplement symétrie de forme ; dans le cas où les deux polygones ont un axe de symétrie , il y a en même temps symétrie de forme et symétrie de position.

266. — Toute ligne qui divise une figure en deux parties symétriques, c’est-à-dire superposables en pliant la figure le long de cette ligne, est un axe de symétrie de cette figure. Il existe des axes de symétrie dans un grand nombre de figures.

Dans un triangle isocèle C'BC (fig. 166) la droite B A

qui joint le sommet an milieu de la base est un axe de symétrie, puisqu’elle divise ce triangle en deux triangles rectangles «’gaux.

Dans un triangle équilatéral , il y a, par conséquent, trois axes de symétrie.

Dans le trapèze isocèle AB CD (fig. 210) la droite I H qui joint les milieux des bases parallèles est un axe de symétrie. Car, d’après la nature de ce quadrilatère, les cotes AD et B C sont égaux; d’ailleurs les angles D et C sont égaux au.ssi (223); les deux quadrilatères AIHD et BIHC sont donc égaux comme ayant un angle égal et leurs quatre cotés égaux chacun à chacun (221). C’est pour cette raison que l’on donne à ce trapèze le nom de trapèze symétrique.

Dans un rectangle, les droites qui joignent les milieux des côtés opposés sont des axes de symétrie.

Dans un losange, les diagonales sont des axes de symétrie.

Dans un carré, qui est à la fois un rectangle et tin losange, il y a donc quatre axes de symétrie.

Dans un cercle, tons les diamètres sont des axes de symétrie , etc.

267. — Applications. La symétrie de forme se retrouve dans une foule d’objets. Il y a symétrie de forme : entre les figures gravées sur un cachet et l’empreinte que ce cachet laisse sur la cire; entre la face supérieure des caractères d’imprimerie, et l’empmnte qu’ilsjaissent sur le papier; entre le dessin tracé sur le cuivre, l’acier, ou la pierre lithographique, et ce même dessin transporté sur le papier parle tirage; entre les veines des deux parties d’une planche fendue dans son épaisseur, etc.

11 y a sjTnétrie de forme et de position entre les deux ailes de la plupart des façades d’architecture; entre les deux battants d’une porte cintrée, d’une grille, etc.; entre les veines des deux pièces de placage qui forment d’ordinaire le devant d’un secrétaire, d’une armoire; entre les deux morceaux de drap qui forment le dos d’un habit, etc. Quand on découpe un morceau de papier

470 PRF.MIKRK PAllïIE.

plié en deux^ on obtient eu le développant une figure qui est symétrique par rapport au pli. La porte en lattes, (fig. 21 1) , est symétrique par rapport à la ligne de jonction des deux battants. On emploie dans les ornements de l’architecture des figures nommées palmettes (fig. 212), qui ont également un axe de .symétrie, etc. , etc.