CHA.PITRE IV

Des polygones réguliers.

268. — 11 existe une classe de polygones qui mérite une attention particulière : c'est celle des polygones qui ont tous leurs angles égaux et tous leurs côtés égaux , et auxquels on donne pour cette raison le nom de polygones réguliers.

II convient d’abord de remarquer que l’on ne peut pas construire un polygone régulier en se donnant arbitrairement la valeur de l’un de ses angles. Car, la somme totale des angles de ce polygone devant être égale à autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés moins deux, et tous les angles étant égaux , chacun d’eux a pour valeur la somme dont nous parlons , divisée par le nombre total des angles du polygone, ou, ce qui revient au même, parle nombre de ses côtés. D’après cette observation , on trouve que la valeur de l’angle d’un polygone régulier doit être :

Four le triangle régulier (ou éqiiHatéral )

-OXa

l d’angle droit ;

le quadrilatère (ou le carré)

-a)Xa

1 angle droit;

' le pentagone

-a)Xa

1 d’angle droit ;

l’bexagone

-a)Xa

l’octogone

-à)Xa

le décagone

fi".

— a)Xa

GtOVÉTRIE PLANE. 471

Pour le duilécagone ^**~*^^*ou? d’angle droit;

le penlédécagone

Et , en général , si l’on représente par n le nombre des côtés d’un polygone, la valeur de chacun de ses angles , exprimée en angle droit et fraction d’angle droit, sera (" — >)x »

2G9. — Tiiéorëmc. Deux polygones réguliers dun même nombre de côtés sont des figures semblables. En effet , d’après ce que nous venons de dire , la valeur de l’angle de ces polygones ne dépendant que du nombre des côtés ,'qui est le même pour tous deux , les angles de ces polygones sont égaux ; d’ailleui*s leurs côtés sont évi» demment proportionnels, puisqu’ils sont égaux pour chaque polygone ; ces deux polygones sont donc semblables (245). '

Corollaire. Il en résulte que leurs périmètres sont entre eux comme leiu*s côtés (249).

270. — Théorème. Si Von dhise une circonférence en un certain nombre de parties égales y et qu’on joigne par des cordes les points de division consécutifs A , B , C , D, etc. (fig. 213), la figure qui en résulte est un polygone régulier. En effet, les cordes AB, BC, CD, etc., sous-tendant des arcs égaux , sont égales. De plus , les angles ABC,BCD,CDE, etc., sont égaux; car, l’angle ABC a pour mesure la moitié de l’arc A FC ; l’angle £ CD a pour mesure la moitié de l’arc BGD; les arcs AF C et BGD ayant une partie commune AFD, ne diffèrent que par les restes CD et AB; or ceux-ci sont égaux entre eux par supposition : donc les angles ABC et B CD ont même mesure et sont par conséquent égaux. On prouverait de même l'égalité des angles B CD et CDË, CDEet DEF, et ainsi de suite. Le polygone ABCDEFGa donc tous .ses côtés égaux et tous ses angles égaux ; c’est donc un polygone régulier.

Corollaire. Pour construire un polygone régulier d’un nombre de côtés déterminé, quand la longueur de

ses côtés est arbitraire, il suffit donc de décrire à volonté une circonférence, de la diviser en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés, et de joindre deux à deux par des cordes les points de division consécutifs. ‘ ,

271. — Théobëme. Tout polygone régulier est un in-i tcriptihlc au cercle. Par trois sprnniets consécutifs A, B, C, d’un polygone régulier A BCDEf’G (fig. 213), faisons passer une circonférence. Du centre O de cette circonférence, abaissons sur BC la perpendiculaire 01 , qui divisera la corde BO en deux parties égales (97); puis joignons AO et OD. Si l’on fait tourner le quadrilatère AB 10 autour de 0 1 comme charnière Jusqu’à ce qu’il vienne se rabatti*e sur le quadrilatère 01 CD, les anr gles BIO et Cl O étant droits, la ligue 1 B suivra la direction de IC; et comme IB^I C, le point B tombera en C. Les angles ABIetlCD étant égaux, puisque le polygone proposé est régulier, la ligne B A suivra la dijreclioq de CD; et commeAB»CD, le point A tombera en D. Les droites OA et O D auront donc les mêmes exr trémités, et coïncideront; donc elles sont égales, et par conséquent le point D est sur. la circonférence dér • crite du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, c’est-à-dire sur la circonférence qui passe par les trois points A, B, C. Ainsi donc, la circonféreuce qui passe par trois sommets consécutifs d’un polygone régulier, passe aussi par le sommet suivant, et par conséquent par tous les sommets du polygone; c’est-à-dire que ce polygone est inscriptibie au cercle.

liemarque !.. Le centre du cercle circonscrit à un polygone régulier est ce qu’on nomme le centre.de ce polygone ; et l’on nomme rayvn de ce même polygone la droite qui joint son centre à l’un de ses sommets, c’està-dire le rayon du cercle circonscrit.

Remarque II. L’angle formé par deux rayons consécutifs OA, OB (fig. 214) d’un polygone régulier, est ce qu’on nomme l’angle au centre de ce polygone. Cet angle* a la même valeur quels que soient les deux rayons consécutifs que l’on considère ; ainsi , par exemple.

C'nngk'

/ GIÎOMKTIUE PLANE. 173

C O D as AO B ; car les arcs C D et A B , qui sei'vent de mesure à ces angles, sont égaux, puisqu'ils sont sous» tendus par des cordes égales.

La somme de tous les angles au centre d’un même po» lygone, équivaut à 4 angles droits (59). Pour obtenir la valeur de l’angle au centre dans un polygone régulier, il faut donc diviser 4 angles droits par le nombre des côtés de ce polygone. Ou trouve ainsi que la valeur de l’angle au centre, exprimée en fraction d’angle droit est:

Pour le triangle équilatéral de | d*angle droit ;

le ran-é

. de ^ d'angle droit, ou i angle droit ;

le pentagone

l’hexagone

l’octogone

le décagone. ......

le dodécagone

le pentédécagoae. . ,

etc.

etc. ^

Remarque III. Les rayons O A , O B , O G , etc. , menés à tous les sommets d’un polygone régulier, le partagent en autant de triangle qu’il a de côtés. Tous c^ triangles sont isocèles ,et égaux entre eux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

11 résulte de cette égalité de triangles, que les angles ABO et CB O sont égaux ; ainsi le rayon O B divise en deux parties égales l’angle AB G du polygone ; le rayon O G divise pareillement en deux parties égales l’angle BCD; et ainsi des autres.

272. — Théorème. Si ton divise une circonférence en un certain nombre de parties égales, et que par tous les points de division, m, n , p, etc., (fig. 215) o/i mène des tangentes h cette circonférence , la figure qui en résulte est un polygone régulier. En effet, menons aux points de tangence les rayons Om,On,Op, etc. ; ces rayons se» ront perpendiculaires sur les tangentes respectives A B , BC, GD, etc.; et de plus les angles au centre mOn ,

riOp, etc. , seront égaux , comme ayant pour mesure deâ arcs égaux mn, np^ etc. Imaginons que le quadrilatère wO«B tourne autour de 0/i comme charnière jusqu’à ce qu’il vienne se rabattre sur le quadrilatère» O/» C. Les angles /«O « et nOp étant égaux , le rayon O m prendra la direction du rayon Op, et comme ces rayons sont égaux, le point m tombera en p. Les angles OmB et OpC étant droits, la ligne wiB prendra la direction de pC^ et le point B tombera quelque part sur/>C. I.es angles 0«BetO/iC étant droits, la ligne »B prendra la direction de » G , et le point B tombera quelque part sur « C. Le point B devant tomber à la fois sur les deux droites />G et n C, ne pourra tomber qu’à leur intersection G. Donc I® l’angle ///B» est égal à l’angle nCp; et l’on démontrerait de même l’égalité de tous les autres angles du polygone. 2“ On a B» = «G , c’est-à-dire que B G est le double de Bn; on démontrerait de même que AB est le double de B/n; or les deux tangentes B/z et B/n, menées par un même point à une même circonférence sont égales (194, Çoroll. II); donc aussi AB = B C. On démontrerait de même que BG == GD, et ainsi de suite. Le polygone À B CD EF a donc tous ses angles égaux et tous ses côtés égaux : donc c’est un polygone régulier.

Goboll'aire. Pour construire un polygone régulier, d'un nombre de côtés déterminés, quand la grandeur de ses côtés est arbitraux; , on peut donc décrire à volonté une circonférence , la diviser en autant de’ parties égales que le polygone doit avoir de côtés, et mener par tous les points de division des tangentes à cette circonférence.

273. — Tiiéoréme. Totit polygone régulier est circonscriptiblc au cercle. Soit ABGDEF (fig. 216) un polygone régulier, et soit O le centre du cercle qui serait cii’con-^ scrit à ce polygone. Les côtés A B, E G, CD, etc., seraient des cordes de ce cercle , et si du centre O on abaisse sur ces cordes les perpendiculaires O /» , O « , Oy/ , etc. , elles diviseront ces cordes chacune en deux parties égales; et comme ces cordes sont égales, puisque le polygone

- ny CoOgll

GÉOMJÉTRIE PLANE. i75

proposé est régulier, leurs moitiés seront égales aussi. Il résulte de là que si l’on lire O B , les triangles O ni B et O «B , rectangles Tun en ni, l’autre en n, ont l’hypothénuse O B commune et un côté égal Bn/c=B/i; ces triangles sont donc égaux (194), et l'on a Om z=s O/i. On démontrerait de même que l’on a On = et ainsi de suite. Si donc, du point O comme centre, avec On/ pour rayon, on décrit une circonférence, elle passera par les points n, p, etc. D’ailleurs les droites AB, BC, CD, etc., étant respectivement perpendiculaires à l’extrémité des rayons Oni, On, Op, etc., sont tangentes à cette circonférence; donc le polygone pro|H)sé A B CD EF est circonsci’it à cette circonférence.

Remarque I. Chacune des perpendiculaires O ni, On, Op, etc., abaissées du centre d’un polygone régulier sur ses cotés, est ce que l’on nomme un apothème de ce polygone. D’après ce que nous venons de voir, tous les apothèmes sont égaux.

Remarque II. L’angle au centre ni On, formé par deux apothèmes consécutifs, est égal h l’angle au centre formé par deux rayons consécutifs du même poly gone. En effet, dans le quadrilatère wOnB, les angles OniB etOnB étant supplémentaires puisqu’ils sont droits , il en résulte que ni On est le supplément de ni B n; on prouverait de même que nOp est le supplément de nC//; et ainsi des autres. Or tous les angles niBn, nCp, etc., sont égaux; donc leurs suppléments ni On, nOp, etc., lesont aussi. D’ailleurs la somme de cesderniers qui sont formés autour d’un même point O, équivaut à 4 angles droits; et leur nombre est évidemment égal au nombre des côtés du polygone ABCDEF. Pour obtenir la valeur de l’angle niOn, il faut donc diviser 4 angles droits pour le nombre des côtés du |x)lygone. Cette valeur est pi écisément celle de l’angle formé par deux rayons consécutifs du même polygone, c’csl-à-dire par son angle au centre proprement dit.

Remarque III. L’angle A' B C formé par un côté B C et le prolongement B A' de l’un des côtés consécutifs, est le supplément de l’angle ABC; il est donc égal à mOn,

• Dij' tr*

et par conséquent à l'angle au centre du polygone, d’après la remarque ci-dessus.

Remarque IV. Ce qui précède fait voir facilement que dans un polygone régulier tout est symétrique de part et d’autre d’un même rayon ou d’un même apoth^e. Les apothèmes et les rayons ( prolongés ) sont donc autant d’axes de symétrie

274. — Théorème. Les périmètres de deux polygones dun meme nombre de côtés j sont entre eux comme les rayons ou comme les apothèmes de ces polygones. Soit AB (fig. 216) un côté de l’iin des polygones, OA son rayon, OH son apothème, abyao,ohf les lignes homologues dans le second polygone. Puisque ces polygones ont , par supposition , le même nombre de côtés, leurs angles F AB elfab sont égaux (268); leurs moitiésO AB eXoab sont donc égales (271 , Remarque Ul). Les triangles rectangles AO H, a o A, ayant un angle aigu égal, sont équiangles, et par conséquent semblables ; on a donc :

AH:aA::AO:ao::OH:oA.

Mais si l’on désigne par P et p les périmètres de ces polygones , on a , en vertu du corollaire du n° 269 ,

P AB ; a A,

et par conséquent P 4 AB : J a A. ' c’est-à-dire ,

f P:/>::AH:«A.

A cause du rapport commun entre celte dernière proportion et la première, on a donc :

P AO : ao :: OH : oh.

275. — Problème. Étant donné le nombre des côtés if un polygone régulier, et la longueur d’un de ces câtés, construire ce polygone. Traçons une circonférence quelconque; divisons-la en autant de parties égales que le polygone proposé doit avoir de côtés. Soient a,b ,c ,d,e, (fig. 217) les points de division. Tirons les droites O a , O b. Or, Od, Oe. Tirons encore ab, et prenons .sur celte droite, à partir du point a, une longueur a K égale au côté donné du polygone à construire, ftlenons

K B parallèle à O a. Du point O comme centre , avec O B pour rayon, décrivons une circonférence, qui coupera le i)rolongemenl des droites O a, Oc, etc. , aux points Â,C, elc. Joignons ces points consécutivement par les droites AB , CD, etc. , le polygone A BCDE sera le polygone demandé.

Car, les angles au centre « O l>Oc, c O etc., ayant pour mesure les arcs égaux a^, 6c,ccf, etc. , sont égaux. Donc les arcs AB, BC, CD» etc., qui peuvent aussi servir de mesure à ces angles, sont égaux, et ABC DE est un polygone régulier qui a le nombre decôtés demandé. Do plus, comme on a 0a=06, ctOA=OB, il en résulte la proportion On : OA :: Olf : O B. Ainsi AB est parallèle k ab { 140); la figure AB K a est donc un parallélogramme, et l’on a AB = «K; c’est-à-dire que le côté du polygone A BCDE est égal au côté donné. Ce polygone remplit donc toutes les conditions du problème.

Remarque. Il ne serait pas nécessaire de recourir h cette construction si le polygone régulier demandé était un triangle équilatéral ou un carré. Dans le premier cas, on tracerait une droite AC (fig. ICO) égale au côté donné ; des points A et C comme centres, avec AC pour rayon , on décrirait deux arcs de cercle qui se couperaient en B au troisième sommet du triangle.

jNous avons vu au n<> 234 comment on construit un carré.

276. — Problème. Étant donné un polygone ABCDE, (fig. 218) inscrit à un cercle, circonscrire à ce cercle un polygone régulier d’un meme nombre de côtés. Par tous les sommets A, B, C, etc. , du polygone donné menons des tangentes; ces tangentes seront les côtés du polygone demandé (272).

Remarque. L’arc AB est plus grand que sa corde; mais ce même arc est moindre que la ligne brisée A/7/B qui l’enveloppe. Si l’on répète ce raisonnement pour tous les arcs BC, CD, etc., on verra que la circonférence du cercle est plus grande que le périmètre du polygone inscrit, mais moindre que le périmètre du po-

i78 PHFMIÈRE PARTIE.

lygone circonscrit. Ce résultat est indépendant du nombre de côtés des polygones.

277 Si l’on vent que Je polygone circonscrit ait ses

côtés parallèles à ceux du polygone inscrit, on opère d’une autre manière. Soit abcde (fig. 219) le polygone inscrit : on abaisse du centre sur les côtés les perpendiculaires oniyon, O P y oqyor; ces perpendiculaires divisent en deux parties égales les arcs abybc y cdy de y ea ; or ces-arcs étant égaux , leurs moitiés sont égales; mh -\-bn y c’est-à-dire m n éc^uivaut donc à mb aniy c’est-à-dire à «ô. En répétant ce raisonnement , on verrait que la circonférence est divisée aux points /w, «, py qy Vy en un même nombre de parties égales qu’aux points tty by Cy dy e. Si donc, par les poiuts myfiypyqyry on mène à cette circonférence les tangentes AB, BC, CD, DE, E A, le polygone ABCDE, qui en résultera sera régulier et aura le même nombre de côtés que le )x>lygone donné. De plus , ils auront leurs côtés parallèles deux à deux ; car AB , par exemple, étant perpendiculaire à l’extrémité Ae ont y puisqu’elle est tangente au point niy. est parallèle à ab, qui est aussi perpendiculaire à ont. >

On reconnaît sans peine que les trois points O y Oy A, sont en ligne droite. Car, si l’on joint o A, les deux triangles rectangles roA et h.om ont l’hypothénuse ko commune, et le côté or^som; ils sont donc égaux, et l’on a l’angle rok Aom. Donc Ao divise l’angle rom en deux parties ^ales; cette bissectrice passe donc par le milieu de l’arc rm qui sert de mesure à l’angle rom y c’est-à-dire par le point a. On prouverait de même que les trois points o, ô. B, sont en ligne droite; et ainsi des autres.

278. — Problème. Étant donné un polygone régu-~ lier inscrit à un cercle y inscrire à ce cercle un polygone régulier d’un nombre de côtés double. Soit ABCDE (%• 220 ) le polygone inscrit donné. Divisons les arcs AB, BC, etc., chacun en deux parties égales, aux points /«, », etc. V joignons A m, m B, B//, «C, etc. ; le polygone qui en résultera remplira les conditions du problème.

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GÉOMIÎTRIE PLANE. 179

Car tous les arcs A w B, B« , «C, etc., seront égaux, et en nombre double de celui des arcs AB, BC, etc., (270).

Remarque. La droite AB est plus courte que A /w+/« B ; de même la droite B G est plus courte que B/i -f- «C; et ainsi de suite. Il en résulte que le périmètre A B CD E est moindre que le périmètre AwBwC^D^Er. Ainsi quand on double le nombre des côtés d’un polygone inscrit , son périmètre augmente.

279. — Problème. Étant donne un polygone régulier circonscrit à un cercle, circonscrire à ce cercle un polygone régulier d’ un nombre de côtés double . Soient m ,n,p,q,r (fig. 221) les points où le jiolygone circonscrit donné touche la circonférence. Divisons en deux parties égaies chacundes arcs mn, np, pq, qr, rni. Par les points de division a, b, c, d, e, menons des tangentes: le polygone qui en résultera remplira les conditions du problème; car tous les arcs ma, an ,nb, bp, etc. , seront égaux, et en nombre double de celui des arcs mn, np,pq, etc. , c’est-à-dire en nombre double de celui des côtés du polygone donné (272).

Remarque. La droite hk est moindre que A A-}- A K. Si l’on répète cette observation pour tous les angles du polygone donné, il sera facile d'en conclure que le périmètre du polygone obtenu est moindre que le périmètre du polygone donné. Ainsi, quand on double le nombre des côtés d’un polygone circonscrit, son périmètre diminue.

280. — Problème. Etant donné un polygone régulier inscrit d’un nombre pair de côtés , inscrire au même cercle un polygone régulier d’un nombre de côtés sous-double. Soit A rn'RnQ pD qlLr (fig. 220) le polygone donné; joignons les sommets de deux en deux par les droites AB,BC,CD, DE,EA;le polygone ainsi obtenu satisfera aux conditions du problème ; car les arcs A m , /;i B , B/ï, «C, etc., étant égaux , il en est de même du double de ces arcs , et par conséq ue nt des arcs A B , B C , etc . (270) .

281. — Problème. Étant donné un polygone régulier circonscrit , d’un nombre de côtés pair, ciiconscrire au

480 PREMiBRB PARTIE.

même cercle un poly^ne régulier d’un nombre de côtéssous-doublc. Soit À À- jcyzuvtsl (f\g. 221) le polygone donné. Prolongeons les côtés de deux en deux, par exemple li,x,yzy uv, ts,lh; le polygone ABC DE, qui en résultera , satisfera aux conditions du problème ; car les arcs ma, an, nb, bp, etc., étant égaux, il en sera de même du double de ces arcs, et par conséquent de ru n, np, P q, etc. ({272). »