On voit, par ce qui précède, que lorsqu’oa

sait inscrire à une circonférence un polygone régulier d’un certain nombre de côtés, on peut lui inscrire un polygone régulier d’un nombre de côtés double ; rien n’empêche alors de doubler encore le nombre des côtés, et ainsi de suite. Si le polygone qu’on sait inscrire a un nombre pair de côtés, on peut inscrire un polygone régulier d’un nombre de côtés sous-double. Enfin, sachant inscrire un polygone régulier quelconque, on sait circonscrire à la môme circonférence un polygone semblable. Tout se réduit donc à savoir inscrire les polygones réguliers , c’est-à-dire à savoir diviser la circonférence en parties égales. Nous avons vu que, dans la pratique, cette division peut toujours s’effectuer à J’aide d’un tâtonnement que l’adresse ou l’habitude abrègent. Mais il est des cas nombreux où cette division s’opère d’une manière rigoureuse et sans tâtonnements, en s’appuyant sur quelqu’une des propriétés du polygone régulier qu’on se propose d’inswire; c’est ce que nous allons faire voir. *

283. — Problème. Inscrir-e un carré dans un cercle. Tirons deux diamètres perpendiculaires entre eux, AB et CD (fig. 222), et joignons les extrémités de ces diamètres par les cordes AC, CB , BD, DA; le quadrilatère ACBDsera un carré; car les angles AOC, COB, BOD, DO A étant égaux, puisqu’ils sont droits, les arcs AC, CB, BD, DA, qui leur servent de mesure, sont égaux aussi (270).

Corollaire. En doublant successivement le nombre des côtés, on inscrirait les polygones de 8, 16, 32, 64, Ï28 côtés, et ainsi de suite.

* GÉOMÉriUK PLAME. 181

' M4. PaOBLÉME. Inscrire au cercle un hexagone régulier. Soit A.B ( fig. 223) le côté d’un hexagone régulier inscrit $4irons le$ rayons OA, OB. Le triangle AOB est isocMe, ainsi les angles AOB et OBA sont égaux. L’angle au centre AOB ayant pour valeur f d’angle droit (271 , Rem. Il), la somme des deux autres équivaut à } migles droits moins | d’angle droit, c’est-à-dire à-f d'angle droit; et, puisqu’ils sont égaux, chacun d’eux vaut la moitiéide cette somme ou | d’angle droit. Le triangle OA B est donc équiangle, et par suite équilatéral. Le côté AB de l’hexagone inscrit est donc égal au rayon OA.

'Pour diviser une circonférence en 6 parties égales, il suffit donc de porter 6 fois sur cette circonférence une ourerture de compas égale à son rayon.

CoROLLAiBE. Si l’on joint de deux en deux, par des cordes, les sommets de l’hexagone régulier ABCDEF, on aura le triangle équilatéral inscrit ACE.

En doublant, au contraire, le nombre des côtés, on inscrira) successivement les polygones réguliers de 12, 24 , 48 , 96 côtés , et ainsi de suite.

, Remarque. Soit AB (fig. 224) le quadrans ; portons de A en G line ouverture de compas égale au rayon O A; l’arc-AC , d’après ce que nous venons de voir, sera le 6* de la circonférence; l’arc CB équivaudra donc à ^ c’est-à-dire à ^ ou de cette circonférence. La corde de l’arc CB sera donc le côté du dodécagone régulier inscrit. Cette remarque permet d’éviter la bissection des ares que sous-tendent les côtés de l’hexagone régulier.

On verrait de même que, si AI est la moitié du quadrans, c’est-à-dire la 8* partie de la circonférence, l’arc 1 C équivaudra à ^ | , c’est-à-dire à ou j', de

celte circonférence, et que, par conséquent, la corde de l’arc IC est le côté du polygone régulier inscrit de 24 côtés.

285. — Problème. Inscrire au cercle un décagone régulier. Soit AB (fig. 225) le côté du décagone régulier imscrit. Tirons les rayons O A, OB; le triangle AOB sera

isocèle, et les angles O AB, OBA égaux. L’angle au

centre A O B équivaut à § d'angle droit (271, Rem. II) , la somme des deux autres équivaut donc h 2 angles droits moins 2 d’angle droit, c’est-à-dire à f d’angle droit; et, puisqu’ils sont égaux, chacun d’eux vaut la moitié de de cette somme , ou ^ d’angle droit. Chacun de ces angles est donc le double de l’angle A O B. Divisons l’un deux, , OBA i>ar exemple, en deux parties égales par la droite Bl; l’angle ABl vaudra § d’angle droit, et sera, par conséquent, égal à l’angle AO B. Les triangles ABl et A O B ont d’ailleurs l’angle O A B commun ; ces triangles sont donc équiangles , et par conséquent semblables. Le triangle ABl est <lonc isocèle ,et lona B I AB.

Mais l’angle IBO vaut aussi » d’angle droit; le triangle B10estdoncisocèle,etl’on a B 1=10, par conséquent 10= AB. D’ailleurs la similitude des triangles ABl et AOB donne la proportion A I : AB: : AB: AO; on peut donc l’écrire A I ; 10 : ; 1 0 : A O ; c’est - h - dire que le rayon A O est divisé au point 1 en moyenne et extreme raison. Or, AB = I0; donc le côté du décagone régulier inscrit est égal à la plus grande des deux parties du rayon divisé en moyenne et extrême raison.

Pour diviser une circonférence en 10 parties égales , il faut donc partager son rayon en moyenne et extrême raison (168) , et porter 10 fois de suite sur cette circonférence une ouverture de compas égale à la plus grande des deux parties du rayon ainsi divisé.

■ ConoixAiRE. Si l’on joint de deux en deux par des cor*

desles sommetsdudécagonerégulierABCDKFGHKL, on obtient le pentagone ixigulier inscrit AC EGK.

Si au contraire, on double successivement le nombre ties côtés , on inscrira les polygones réguliers de 20, 40, 80, ICO côtés, et ainsi de suite.

Remarque. Soit AB (fig. 226) la 6« partie de la circonférence, et AC la 10“ partie de celle circonférence ^ arcs que nous savons obtenir rigoureusement d’après ce qui précède. La différence CB de ces deux arcs équivaudra ai- Vô. c’<^sl-à-dire à ^ou ^‘.dela circonférence;

la corde de l’arc B C sera donc le côté du pentédécagone régulier inscrit.

Gl'OMliTR'IE PLANE. 183

En doublant le nombre des côtés, on inscrirait successivement les polygones réguliers de 30, CO, 120, 2-10 côtés, et ainsi de suite.

286. — Si l’on avait à diviser une circonférence en 360 parties ou degrés, ou pourrait réduire de beaucoup , à l’aide de ce qu’on vient de voir, le nombre des tâtonnements nécessaires. Car d’abord, sachant inscrire rigoureusement le polygone régulier de 120 côtés , ou , ce qui revient au même, trouver la 120® partie de la circonférence, le tiers de cette 120“ partie, qui s’obtiendrait par tâtonnement sans beaucoup de peine, en serait la 360® partie, c’est-à-dire l’arc d’un degré.

On pourrait encore diviser d’abord la circonférence rigoureusement en 3 parties; diviser par tâtonnement chacune de ces 3 parties en 3 autres-; on aurait ainsi le 9® de la circonférence. On sait en obtenir la 10® partie exactement; la différence de ces deux arcs vaudrait ^ — -j^oUji^de la circonférence; et en en prenant le quart par deux bissections successives qui peuvent s’effectuer rigoureusement (116), on aurait la 360® partie de la circonférence , ou l’arc d’un degré.

287. — En récapitulant Ce qui précède, on voit que l’on sait inscrire rigoureusement et sans tâtonnement aucun , les polygones réguliers dont le nombi’e de côtés est exprimé par l’un des nombres :

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, lô, 16, 20,^24, 30,32; 40,

48, 60, 64, 80, 96, 120, 128, 160, 192, 240, 2ô6, 820, 384, 480, â 12, etc.

Remarquons toutefois que, dans la pratique, on n’obtient pas toujours par ces procédés , fondés sur des principes rigoureux , toute l’exactitude qu’ils semblent promettre. Le nombre des opérations nécessaires pour diviser, par exemple, le rayon en moyenne et extrême raison, multiplie tellement les chances d’erreur, qu’avec tout le soin possible il n’en résulte pas une exactitude plus grande que par l’emploi d’un tâtonnement bien dirigé : dans î eaucoup de cas même le tâtonnejneut aurait l’avar ’ ’'ge. Mais toutes les fois qu’il s’agira

^84 PRKMIHRK PARTIE.

de diviser une circonférence en 3, 4, 6, 8, 12 parties égales, les méthodes exactes seront en même temps celles qui conduiront le pins promptement au résultat.

288. — Par des méthodes trigonométriqnes, on peut calculer le coléd’nii polygone régulier d’espèce déterminée, quand on connaît le rayon du cercle inscrit. Si l’on prend pour unité le rayon de ce cercle, on en déduit pour le côté de chaque polygone régulier inscrit la valeur suivante :

Nombre drs câh».

l/ongucur <lu cote.

lo

Il 0,5635

xA........

etc.

etc. ■

Pour obtenir à l’aide de cette table la longueur du côté d’un polygone régulier d’espèce déterminée dont on connaît le rayon , il suffit de multiplier ce rayon par Je nombre correspondant tiré de la table. Par exemple, dans un cercle dont le rayon aurait 5™, le côté de l’octogone régulier inscrit aurait 5“ X 0, 7654 , c’est-à-dire* 3™ , 827.

Si l’on connaissait au contraire le côté d’un polygone régulier d’espèce déterminée, et qu’il s’agit de trouver son rayon, il faudrait diviser lecôlédonné parle nombrecorrespondant tiré de la table. Si, par exemple, on veut

CltOMÉTiUr: PLANE. 485

construire un pentagone régulier dont le colé ait 4™ , il faudra rinscriredansune circonférence dont le rayon ait

c’est-à-dire 3“‘,402 environ.

Ces calculs sont fondés , comme on voit, sur ce que deux polygones réguliers d’un même nombi e de côtés sont des figures semblables, et que leurs côtés sont proportionnels à leurs rayons.

289. — Applications. La forme des polygones réguliers se reproduit souvent dans les constructions. Les ' bassins qui ornent les jardins ont souvent la forme d’un hexagone ou d’un octogone régulier. Les tapis de verdure, les parterres présentent (|uelquefois la même forme. Il y a des salons, dits octogones, dont le plancher et le plafond sont des octogones réguliers; le plancher des kiosques est presque toujours un hexagone ou un octogone régulier.

IVIais c’est surtout dans le carrelage et le parquetage des appartements qu’on emploie le plus souvent ces figures.

La somme de tous les angles formés autour d’un même point étant égale à quatre angles droits, pour pouvoir couvrir un paripiet avec <les polygones réguliers égaux, il faut que l’angle de chacun de ces polygones soit une partie aliqiiote de quatre angles droits. C’est ce qui a lieu pour le triangle équilatéral ; car son angle, qui vaut f d’angle droit , est la C« partie de 4 angles droits. Cela a lieu également pour le carré, puisque son angle étant droit, est le quart de 4 angles droits. Cela a lieu encore pour l’hexagone régulier, parce que son angle qui vaut f d’angle droit, est le tiers de 4 angles droits. On peut donc former un parquet avec des triangles équilatéraux assemblés 6à 6 (fig. 227); avec des carrés assendilés 4 à 4 (fig. 197 et 228); ou avec des hexagones réguliers assemblés 3 à 3 (fig. 229).

On ne pourrait pas employer des pentagones réguliers, parce que l’angle de ces polygones, qui vaut § d’angle droit , n’est pas une partie aliqnote de 4 angles droits. On le pourrait encore moins avec des polygones d’un

nombre do côtés supérieur à 6, parce qu’alors trois des angles de ces polygones feraient une spmme plu» grande que quatre angles droits. Mais on obtient de nouvelles dispositions en employant conjointement plusieurs espèces de polygones réguliers. Ainsi l’on recouvre un parquet avec des octogones et des carrés (fig, 230): avec des hexagones et des triangles équilatéraux (fig, 281)'; avec des dodécagones et des triangles équilatéraux (fig. 232),

Quelquefois aussi on emploie conjointement des polygones réguliers et d’autres polygones qui ne le sont point; mais qui sont seulement disposés avec régularité. C’est ainsi que l’on recouvre un parquet avec des hexagones réguliers et des losanges (fig, 233), ou avec des octogones, des carrés et des trapèzes rectangulaires (fig, 234),

On est obligé de tracer une série de triangles équilatéraux , disposés comme dans la figure 227 , lorsqu’on veut dessiner la base d’une pjle triangulaire de boulets. On donne pour côté h ces triangles 1e diamètre des boulets; et de chaque sommet comme centre, avec un rayon égal à la moitié de ce côté , un décrit des circonférences qui se touchent mutuellement comme l’indique la figure 235 , puisque partout la distance des centres est égale à la somme des rayons. 11 y a des vitraux , composés de vitres circulaires , qui offrent une disposition analogue.

290. — Outre le tracé des polygones réguliers, beaucoup d’antres circonstances nécessitent la division de la circonférence en parties égales, Nous avons déjà vu que cette division est indispensable pour graduer le limbe des instruments destinés à la mesure des angles.

Pour dessiner la rose des vents , qui figure dans les boussoles, il faut tracer une circonférence et la diviser en 32 parties égales. Les 32 points de division sont les sommets des pointes ou flèches qui désignent les 32 aires du vent, c’est-à-dire ses 32 directions principales. On donne ordinairement à la rose des vents la disposition qu’indique la figure 236 : les côtés des flèches sont tous tangents à une même circonférence, concentrique à

celle dont nous avons parlé tout à l’heure , c’est-à-dire ayant même centre. Les flèches qui répondent aux quatre points cardinaux nord, sud, est, ouest, couvrent toutes les auti*es; celles qui correspondent aux quatre points intermédiaires noi-d-est, nord-ouest, sud-est, sud-ouest, sont en partie cachées par les précédentes ^ mais couvrent toutes les autres. Les flèches intermédiaires entre les huit que nous venons tle nommer, sont en parties cachées par elles; elles répondent aux huit aires suivantes : nord-nord-est (c’est-à-dire direction intermédiaire entre le nord elle nord-est), puis nord-* nord-ouest, sud-sud-est , sud-sud-ouest , est-noixl-est , estsud-est , ouest- noid-oucst , ouest- sud-ouest. Les seize autres flèches ne montrent que leur pointe ; elles répondent aux aires intermédiaires entre les seize précédentes , et qui portent les noms suivants t nord-esu quart-nord , c’est-à-dire entre le nord et Vest, au quart de la distance à partir du nord; puis nord-est-quartest , c’dst-à-dire entre le nord et Vest, au quart de la distance à partir de Vest; et ainsi des autres. La distance entre deux aires de vent consécutives est ce qu’on nomme un rhumb.

291. — On a recours à la division de la circonférence en parties égales, pour tracer les étoiles , les rosaces qu’on emploie comme ornement dans les arts.

Dans la figure 227, la circonférence est divisée en 6 parties égales, et les arcs intérieurs sont décrits des points de division comme centres , avec le rayon même du cercle. n

Dans la figure 238, la circonférence est divisée en 12 parties égales; et les arcs intérieurs sont décrits comme dans la figure précédente.

Pour exécuter la rosace de la fig. 239, on trace du même centre deux circonférences différentes, indépendamment de celles qui forment le bord et la partie centrale. On divise la circonférence extérieure en 12 parties égales , et l’on mène des rayons aux points de division. On exécute alors dans chaque angle le dessin indiqué par la figure; et l’on donne ainsi à la rosace cette régula-

188 PREMliilRE PARTIE.'

rité qui la rend agréable à l’œil , et que l’on ne pourrait obtenir sans cette méthode. s

On dessinera delà même manière Y imposte ^ ou dessus de porte, représenté par la figure 240; la croix de la Légion cF honneur y représentée par la figure 241 ; et les roues hydrauliques y représentées par les figures 242 à 245.

Dans la figure 240, la demi-circonféi once intérieure doit être divisée en 12 parties égales.' La circonférence de la figure 241 se divise en 10 |>arties égaies.

- La roue (fig. 242) est une roue à palettes : elle s’emploie d’ordinaire dans les larges courants d’eau , comme ceux des rivières. La roue (fig. 243) est une roue à aubes courbes; elle est mise en mouvement par l'eau qui s’échappe d’une vanne où elle était retenue. Il en est de même de la roue (fig. 244) ; mais celle-ci est h palettes brisées, et emboîte dans un coursier A AA. La roue (fig. 245) est une roue à augets; c’est-à-dire qu’elle est composée d’auges où l’eau demeure en partie ()endant la durée de sa chute, en agissant par son poids. On distingue aussi ces roues d’après la manière dont l’eau vient les frapper : ainsi les deux premières sont de.s roues en dessous-, la troisième est une roue de côté; la

dernière est une roue en dessus. . ; üO