CHAPITRE V

Propriétés du cercle qui dépendent de celles des polygones réguliers.

292. — Nous avons vu que si l’on inscrit à un cercle un polygone régulier, et qu’on lui circonscrive un polygone.semblable, la circonférence de ce cercle est toujours plus grande que le périmètre du polygoue inscrit, et moindre que périmètre du polygone circonscrit (276). Nous avons vu en outre que si l’on double le nombre des côtés de ces polygones , le périmètre du |>olygone inscrit augmente (278), tandis que le périmètre du polygone circonscrit diminue (279). A mesure que le nombre des côtés augmente , ces deux périmèli'cs approchent donc de plus en plus l’un de l’autre; et puisque la circonférence du cercle est comprise enire eux , clia-

r.ÉOMÉxnrE plane. d80

cun d’eux approche de plus en plus d’être égal à cette circonférence. Il est donc naturel de regarder cette circonférence elle-même comme le périmètre d’un polygone régulier d’un nombre infini tle côtés infiniment petits. Celle manière de considérer les circonférences s’accorde d’ailleurs avec le point de vue sous lequel on envisage en général toutes les lignes courbes; et elle conduit immédiatement à des résultats importants.

293. — Tuëoréme. Les circonférences des cercles sont entre elles comme leurs rayons ou comme leurs diamètres.

En effet , d’après ce que nous venons de dire, on peut considérer deux cercles quelconques comme deux polygones réguliers semblables d’un nombre infini de cotés; en vertu du théorème du n“ 274 , les périinètres de ces polygones sont donc entre eux comme leurs rayons, c’est-à-dire que les circonférences de ces cercles sont entre elles comme leurs rayons.

D’ailleurs , les diamètres étant le double des rayons, sont entre eux comme ces rayons; ainsi les circonférences sont aussi entre elles comme leurs diamètres.

Corollaire I. Pour tracer une circonférence qui soit le double , le triple , etc. , d’une circonférence donnée, il suffit donc d’employer un rayon double, triple, etc.

Corollaire II. Soit AB (fig. 246) une dixtite quelconque, partagée en un point C en deux parties quelconques; si sur la droite entière et sur les deux parties on décrit les demi-circonférences A /«B, A«C, C/>B, la demi-circonférence décrite sur la ligne entière équivaudra à la somme des deux autres. Car on aura

A//C:Cy?B::AC:CB, d’où A«C-f C/>B : A«C : : AC + CB ; A C ou :: AB : .A.C.

Alais on a aussi A //i B : A n C : : A B : A C.

Ces deux proportions ayant trois termes communs , il faut que le quatrième soit égal de part et d’autre, et qu’on ait ' ^

A/iC-1- C^B = A w B.