Applications. I. Quand on construit des roues

190 PIIEMIÈRE PARTIE.

dentées, qui doivent engrener Tune avec l’autre , il e^ nécessaire de déterminer les diamètres des circonférences primitives{\\Z)^ de manière que les vitesses de rotation soient dans un rapport donné. Supposons , par exemple , que l’une des deux roues doive faire 5 tours quand l’autre en fera 3 ; comme , par l’effet du contact de ces roue?, le mouvement relatif de leurs circonférences primitives est le même que si elles se développaient l’une sur l’autre, il faudra que 5 fois la circonférence de la première équivaille à 3 fois la circonférence de la seconde, ou en nommant C et C ces circonférences , qu’on ait C X 5 = C'X 3, d’où l’on tire

mais, en vertu du théorème précédent, si l’on nomme R et R‘les rayons de ces circonférences, on aura

donc, à cause du rapport commun,

C’est-à-dire qu’il faut que les rayons de ces roues soient en raison inverse des vitesses qu’elles doivent avoir.

Il en serait de même si les roues , au' Heu d’être dentées , se communiquaient mutuellement le mouvement par le simple contact ou à l’aide d’une courroie sans #n. . •

II. Quand une voiture se meut Sur le sol, en ligne droite, par exemple, tous les points de la otreonférence de ses roues viennent tour à tour appuyer sur le terrain , comme si ces cireonfêrenoes s’y développaient continuellement. 11 en résulte que, dans un temps donné, chaque roue fait d’autant plus de révolutions que sa ci ('conférence est moind re ; en sorteque leurs vitesses sont en raison inverse de leurs circonférences, ou , œ qui revient au même d’api'ès le théorème précér dent , en raison inverse de leurs diamètres ou de leurs rayons. Si , par exemple , les diamètres des roues de deyapt et 4^s roues de derrière sont entre eux cqmme

GÉOMKTRIE PLANE. 491

2 csl à 3, les vitesses de ces mêmes roues sont entre elles comme 3 est à 2.

C’est pour cette raison que les roues de devant usent beaucoup plus leurs essieux, et ont plus souvent besoin d’être graissées , cerclées , etc. , que les roues de derrière.

296. — Dans des cercles égaux, nous avons vu qu’un même angle au centre est mesuré par des arcs ëgaux< Il n’en est plus de même dans des cercles différents ; les arcs qui dans des cercles inégaux servent de mesure à un même angle au centre sont ce qu’on appelle des arcs semblables.

THÉoniïMB. Les arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons. Soient AB et « i (fig. 247 ) deux arcs semblables, c’est-à-dire servant de mesure aux angles égaux AOB=ao6,dans les cercles dont les rayons sont AO et ao. On aura d’abord (4l ) :

AB : circonf. AO : : A OB : 4 angles droits, eiab '. circonf. ao : \ aob : 4 angles droits.

Puisque AO B — a o b , ces deux proportions ont un rapport commun ; les deux autres rapports sont donc en proportion , et l’on a

AB : dreonf. AO :i ab : circonf. ao,

ou AB : 0^1 circonf. AO : circonf. a O.

Mais, d’après le théorème précédent, on a

circonf. A O : circonf. ao : : AO : a ô;

donc, à cause du rapport commun entre cette proportion et la précédente ,

AB : a i :: ÀO : ao.

296,— Applications. I. I.orsque deux roues sont montées sur le même axe, leur vitesse angulaire est la même, c’esl à-uirc que leurs rayons décrivent des angles égaux dans le même temps. Mais il n’en est pas de même de la vitesse effective des différents points de leurs circonférences. Les arCs décrits par ces points

492 PREMifeRE PARTIE,'

dans le même temps correspondent à des angles au centre égaux : ce sont donc des arcs semblables; et ces arcs sont proportionnels à leurs rayons. Ainsi , les circonférences de deux roues solidaires ou montées sur le même axe , sont entre elles comme les rayons de ces roues.

En généra], la vitesse d’un point quelconque d’une • roue , qu’il .soit pris à sa circonférence ou en dedans de cette circonférence, est proportionnelle à la distance de ce point à l’axe de rotation.

■ C’est en combinant ce principe avec celui des engrenages , qu’on parvient à obtenir les vitesses de rotation considérables qui sont nécessaires dans plusieurs fabrications , et notamment dans les filatures.

II. 11 se présente encore , dans le tracé des engrenages, un problème dont la solution dépend de ce qui précède.

Soient -AB m, AI» (fig. 248) les circonférences primitives de deux roues qui doivent engrener. Supposons que la distance entre les milieux de deux dents consécutives de laroueABmsoitl’arc AB ; la distance entre les milieux de deux creux consécutifs de la roue A I/z devra être un arc A I , égal en longueur à l’arc AB. Pour déterminer cet arc , remarquons que Ion aura les proportions '

AB : cire. OA : : BOA : 4 angles droits et A I : cire. A G : : I C A : 4 angles droits. '

Dans ces deux proportions les extrêmes sont les mêmes , puisque AB =^= Al; les produits des moyens sont donc égaux, et l’on a

cire. OA X BO A=circ. AC X ICA; d’où l’on tire I ICA :BOA :: cire. OA : cire. AC ou O A : AC (293);

c’est-à-dire que les angles au centre ICA et BOA doivent être en raison inverse des rayons des roues.

Il faut en outre faire en sorte que ces angles soient des parties aliquotes de 4 angles droits; c’est à quoi l’on parvient facilement. Supposons, par exemple, que les rayons OA et AC soient entre eux comme les nombres

GÉOMIÎTRn; PLANE. 493

6 et 7; divisons la circonférence AB n/ en 5 parties égales et prenons AOB = j| gjj résultera

ICA:i^“::S:7td'oiiICA.-i^‘. •

On de;vra donc établir :

ou 5 dents sur la première roue et 7 sur la seconde,

ou 10 , 14 '

on i5. . . . . ar ‘ '

ou ao ag ‘

et ainsi de suite.

On multiplie ordinairement les nombres, tels que 5 et 7, proportionnels aux rayons des roues, par le nombre des bras des deux roues, afin de pouvoir disposer les dents de manière qu’il n’y eu ait aucune à l’extrémité môme des bras, ce qui^nuirait à la solidité de la roue. Supposons que les roues en questioa aient chacune 6 bras; il faudra les armer au moins de 30 et 42 dents, ou de 60 et 84, et ainsi de suite. Ou est en outre déterminé dans le choix de ces nombres par d’autres conditions que les dents doivent remplir, suivant les résistances que les roues sont appelées è vaincre.

Rectification des circonférences et des arcs de cercle.

297. — Si l’on désigne par C et C' deux circonférences de cercle, et par D etD' leurs diamètres, on aura, en vertu du théorème du n® 293 , C : C : : D : D' , ou en changeant les moyens de place , ... C : D : : C : D' ,' ou

D ■“ ÏÏ'* ’

C’est-à-dire que le rapport entre une circonférence et son diamètre est une quantité constante , quelle <[ue soit cette circonférence. En sorte que si celte quantité constante était déterminée une fois pour toutes, en multipliant le diamètre d’un cercle quelconque par celle quantité, on aurait sa circonférence.

On désigne ordinairenicut par la lettre grecque "TrCpro-

^94 PREMlilRE PARTIE,

poncez pi) le rapport de la circonférence au diamètre, Si l’on représente alors par R le rayon d’un cercle quelconque, 2 R sera son diamètre, et 2R X ou» ce qui revient au même, 3 «R exprimera sa > circonférence.

Voyons comment on a pu déterminer la quantité -jj*. ^ 298.-— Lemmb. Étant donné le périmètre' d‘ùn polygone régulier, on peut toujours .trouver. un. polygone régulier ayant ce périmètre , et tel que le.<t circonférences inscrite et circonscrite à ce polygone diffèrent entre elles de moins d’une quantité donnée quelconque d. Appelons P le périmètre donné; concevons qu’on le divise successivement en 4, 8,‘16>32 parties, et. ainsi de suite, jusqu’à oe que cliaoune de ,ces parties soit plus petite que le quart de la quautité donnée Soit. aloi's le nombre de ces parties, et AB (fig. 216) l’une d’elles. Imaginons que l’onloopstruise sur AB un polygone régulier de h côtés son périntètre sera égal à P, c’est-à-dire- au périmètre donné. ' ■ ' I

Soient O A et O H son I rayon ét son apothème, ou, ce qui revient au môme, les rayons des cercles inscrit et circonscrit. On aura, en vertu du théorème duB” 293 ,

' cire. OA: cire. OH :: OA : OH; •• '

d’où l’on tire • , ,

cire. OA — cire. OH : cire. OH :: OA — OH : OH; et par suite • , i

cire. OA — cire. OH'

oirc. AO X (OX — OH) OlT“ T,

On a vu que deux diamètres perpendiculaires A B, C D (fig. 222) divisent une circonférence en 4 parties égales et si , par les points A, B, C, D, on mène des perpendiculaires à ces diamètres , on forme le carré circonscrit m np q. ÏjC càié mn de cc carré équivaut au diamètre AB, comme parallèles comprises entre parallèles; on eii peut dire autant des trois autres; ainsi le périmètre de ce carré équivaut à 4 fois le diamètre, ou, ce qui revient au même, à 8 fois 1e rayon. D’ailleurs toute circonférence est moindre que le périmètre d’un polygone qui

OSOM^TRIE PLAHE. 405

liÛEéUit Donset'U ; donc toute circonférence estraoindne que 8 fois son rayon. D'après cela on a , . : . , .

p‘rc,OH<OHX 8 d’oùîî^<8...... (2)^ ,. •

b’un autre côté, dans le triangle AOH, on a , .

' OA — OH<AH, c’esl*àidire OA — OH<< AB,- > ou QA'-^Otï<^ . . (3)

Multiplions naembre à membre les inégalités (2) et (3)| I inégalité subsistera encore dans le même sens, et l’on

Anna . * ' OH X <0Â- OHJ ^

Mais, on vertu de la relation (l), le premier tnembré de cette dernière inégalité équivaut à circ.O A— circ.OH} et d'ailleurs le second 'membre équivaut à d; on peut donc écrire * . ' i ■ »

‘ ‘ circ.OA — éirc.OH<<f>- . •/

c est-à-dire que la différence^ entre les circonférences circonscrite et inscrite est moindre que la quantité donnée d. ’ . ,

CqROK,i.A^BE. Le périmètre du polygone étant nécessairement compris entre la circonférence du cercle inscrit et celle du cercle circonscrit, il résulte de ce qui précède que la différence entre ce périmètre et l’une de ces circonférences, est, à pins forte Vaiaon, iPoiOdre que la quantité donnée d. > , w: . r- ,

““ Par Conséquent, si l’on savait calculer' les rayons'des cercles inscrits et citconsorits à une série dq polygones' réguliers ’ de même périmètre, mais d^uit nombre de côtés toujours Croissant, en multipliant suP fisammeiitle nombre de ees côtés, on BDirtrt perari'iVer à deux circonférences, l’iine inscrite et ratitre circonscrite , différant entre elles d’aussi peu que Pon voudrais La différence de leurs rayons deviendrait, à-pIns forté raison, moindre que toute quantité assignée; èt d’oU pourrait prendre alors le périmètre consttmt des polygones pour la longueur de la circonférence cori^pondante à l’un de ces deux payons. Il serait alors facile de

déduire de là le rapport de la circonférence au diamètre , avec telle approximation que Ton voudrait. C’est ce que nous allons faire.

300. — Problème. Connaissant les rayons r et II des cercles inscrit et circonscrit à un polyf^one régulier dont le côté est a , calculer les rayons v et Yé des cercles inscrit et circonscrit h un polygone régulier de même périmètre, mais d'un nombre de côtés double. Soit AC = « (fig. 249) le côté du polygone donné, 0 son centre, B le milieu du côté AC; on aOB = ret 0A = R. Prolongeons O B d’une quantité O > égale à OA, et joignons DA et DC. I.e triangle AOÜ Uant isocèle, l’angle D AO est égal à l'angle ODA : l’angle A OB , extérieur à ce triangle, et qui équivaut comme on sait(180 ,Coroll. IV) à la somme des angles OAD et ODA, est donc le double de l’angle ODA De même l’angle BO C est le tlouble de O D C ; donc A OC est le double de AD C. L’angle ADCétpiivaut donc à l’angle au centre d’un polygone régulier dont le nombre des côtés est double de celui du polygone proposé.

Cela posé, du point O abaissons 01 perpendiculaire sur AD; le triangle AOD étant isocèle, le po\nt I sera le milieu de AD (21.5). Menons IH parallèle à AC; «ous

aurons