JJ ^ BD BO OD BO OA
OU r
c’est-à-dire que le rayon r est moyen arithmétique entre les rayons r et R.
Maintenant, dans le triangle rectangle OlD, la droite I m étant abaissée du sommet de l’angle droit perpendiculairement sur riiypothénuse, on a (210, Coroll. 11).
ii)’=D w XOD; d’où ID=1/Dw X OD=rl/D/»xOA,
ou R' = V//' X R (2)
c’est-à-dire que le rayon R' est moyen géométrique entre les rayons /■' et R.
Ain.si , lorsqu’on connaît les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier quelconque, les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier de même périmètre, mais d’un nombre de côtés double, s’obtiennent, l’un par une moyenne arithmétique j l’autre par une moyenne géométrique.
301. — Pour appliquer ces moyens de calcul à la recherche qui nous occupe, on prend pour point de départ un carré, dont on représente le périmètre par 8. Le rayon du cercle inscrit est alors 1 comme nous l’avons vu tout à l’heure. Quant au rayon du cercle circonscrit, il est facile de l’obtenir, car si A B (fig. 250) et le demicôté du carré circonscrit, O son centre, A O son rayon, et OB son apothème, on a, parla propriété des triangles rectangles,
Tô’=cr5*-f-TB';
mais le périmètre du carré circonscrit étant représenté par 8, son côté est égal à 2, et son demi-côté AB est égal à 1 ; et puisque le rayon OB est aussi égal à 1 , et que le carré de 1 est I , on a ‘ . '
. ’ ÂI)’=1+1 =2, d’où AO = l/r
Nous avons donc /•= i et R= }/T. Si l’on met ces
PR^niIÈRE PARTIE.
valeurs à la place de retdeRdansles égalités (1) et (2) du n® précédent, 1rs valeurs de r et de R' exprimeront les rayons des cercles inscrit et circonscrit au polygone régulier de même périmètre que le carré d'où nous sommes partis , -mais d’un nombre double dé côtés , c’est-à-dire de 8 côtés. ^
Si l’on met ces nouvelles valeurs à la place de r et de R dans les égalités (1) et (2) , les valeurs qu'on en déduira pour r et R' exprimeront les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier , ayant toujours le même périmètre , mais deux fois plus de côtés que le pi’ëcédeul, c'est-à-dire 16 côtés.
En continuant ainsi, on formera le tableau suivant :
KOMIIBI D* CAtI» ■
RAtOlT tV CSRttl
RAVeyw DO CERCLS
du polygone.
inscrit.
cirooBKrlt. ■
Il ; ij..
lU 1.356835 1.381457...'
toR. - ... J.
efe.
• eW.'
. etc.
On voit que, pour«un polygone de 4096 côtés dont le périmètre équivaut à 8, la différence entre les rayons de$ cercles inscrit et circonscrit est moindre qu’une unité du 6® ordre décimal ; et comme chaque circonférence est moindre que 8 fois son rayon, la différence entre les circonférences des cercles inscrit’ et circonscrit est moindre que 8 unités du 6® ordre décimai, moindre par conséquent qu’une unité du 6* ordre. Si cette approxi-
Diniîirri by Coogle
mation parait suf/isante , on pont prendre le périmètre constant des polygones, lequel a été supposé équivalent à 8, pour l’une de ces deux circonférences, puisqu’il est compris entre elles, c’est-à-dire pour la circonférence dpnt le rayon est 1,273239. .. Ainsi une cii'conr férence égale à 8 a un rayon égal à 1,273239. . . Le rapport entre celte circonférence et son diamètre , ou , ce qui revient au même, le rapport entre la demi-circonférence et le rayon est donc
Or c’est ce rapport, constant pour tous les cercles (297), que nous avons désigné par on a donc w:= .^,14159....
Par des méthodes plus expéditives, mais qui ne sont point élémentaires , on a calculé le rapport de la circonférence au diamètre, jusqu’à la 140'' décimale. Voici les 10 premières :
302. -r- On a cherché à exprimer ce rapport sous une forme fractionnaire simple. La plus simple des expressions de ce genre est le rapport indiqué par Archimède, *= V- «=3,142 — Ce rapjmrt, comme on voit, n’est exact que jusqu’aux centièmes ; mais cette approximation suffit dans presque toutes les applications des arts.
Si l’on veut un rapport plus rapproché, on peut prendre celui qui porte le nom d’Adrien Métrius, '*■'=1^“*“ 3,1415929.... Ce rapport est, comme on voit, exact jusqu’aux millionièmes. Il est, de plus, facile à retenir; car si l’on écrit detix fois de suite sur une même ligne chacun des trois premiers chiffres impairs, et qu’on en fasse deux groupes de trois chiffres , on obtient les deux termes de ce rapj>ort
303, — Afin de familiariser le lecteur avec l’emploi de ces divers rapports, nous allons ré.soudre quelques problèmes numériques relatifs à la mesure de la circonférence.
Digiiêad ^ Gosgle
200 PREMIKRE PARTIE.
I. — Problème. Le diamètre dune pièce de 40 francs est de millimètres , quelle est la longueur de sa circonférence? Pour résoudre celle qucslion , il suffit de mullipHer le diamèlre 26'"*" par le rapport de la circonférence au diamèlre (297). On peut ici faire usage du rapi)ort d’Archimède; la circonférence cherchée équivaut donc à 27>“*“ X ¥» OR R 81 millimètres environ.
