CHAPITRE VI

Des figures curvilignes en général.

307. — Toute portion de plan terminée par une ou plusieurs lignes courbes, est une figure curviligne; et, pour ne point multiplier les dénominations, nous étendrons celle-ci aux figures terminées en partie par des lignes'droites , et en partie par des lignes courbes. <

D’après l’idée que nous attachons aux mots ligne courbe i toute figure curviligue peut être assimilée à un polygone ; ce que nous avons dit de la similitude des polygones suffira donc pour faire comprendre ce qu'on doit entendre par figures curvilignes semblables , Les figures tracées à l’aide du pantographe (260) en offrent un exemple. Dans ces figures toutes les lignes homologues sont proportio nnelles. ,

Il ne peut s’élever non plus aucun doute sur ce qu’on doit entendre par figures curvilignes, égales ou syrné^ triques. Deux figures curvilignes sont ^ales si l’on peut les faire coïncider en les transportant directement l’une sur l’autre ; elles sont simplement symétriques , si , pour opérer la coïncidence , Il faut faire faire à l’une d’elles une demi-révolution sur elle-même.

Les différentes espèces de figures curvilignes étant nécessairement en nombre illimité, on ne peut donner pour ces figures d’autre caractère général d’égalité que celui que nous venons de rappeler. On ne peut non plus établir d’autre caractère général de similitude que la proportionnalité des lignes homologues. Mous nous contenterons donc d’énumérer succintement celles de ces

CI^OMtTRIE PLANE. 205

fijçui’cs qui sont susceptibles de trouver dans les arts une application fréquente.

308. — Parmi les figures planes termine'es par une seule et même ligne courbe, les seules dont on fasse dans les arts un usage général sont le cercle et l’ellipse. Nous avons fait connaître les principales propriétés du premier; celles de l’ellipse ne sauraient être exposées ici. Nous ferons remarquer seulement que cette figuré a deux axes de symétrie , qui sont le grand axe et le petit axe eux-mémes (fig. 150). Le point où ces deux axes se rencontrent se nomme le Centre de l’ellipse; toute corde qui passe en ce point s’y trouve divisée en deUx parties égales comme dans le cercle, et prend aussi le nom de diamètre ; mais dans l’ellipse tous les diamètres ne sont point égaux comme dans le cercle; il en est de même des rayons.

309. — Parmi les figures planes terminées par plusieurs lignes courbes , les plus employées sont les ovales, ou courbes à quatre centres, formées de quatre arcs de cercle qui se raccordent. Chacune de ces figures a deux axes de symétrie comme rellipse.

L’ovale de la figure 88 rt’est pas la seule courbe de ce genre dont on fasse usage; en prenant les centres des petits ares plus ou moins rapprochés des extrémités du grand axe , on obtient des courbes plus ou moins allongées. Assez souvent on divise le grand axe AB ( fig. 252) en quatre parties égales; des points de division extrêmes C et D, avec CD pour rayon, on décrit deux arcs de cercle qui se coupent au point O. On forme ainsi un triangle équilatéral COD comme dans la construction de la figure 87. Du point C comme centre , avec CA pour rayon, on décrit alors l’arc AI; du point O comme centre, avec 01 pour rayon, on décrit l’arc IH; du point D comme centre, avec DB pour rayon, on décrit l’arc H B. La partie inférieure de l’ovale se trace de la même manière; mais en faisant d’avance les constructions nécessaires pour tracer la partie supériejire et la partie inférieure , les deux arcs qui se raccordent au point A se décrivent d’un même mouve-

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ment; il en est de même de ceux qui se raccordent au, point B.

On emploie souvent l’ovale inscrit ou circonscrit à un losange. Pour inscrire un ovale à un losange, on répète la construction indiquée au n” 113 pour tracer Parc rampant. Assez ordinairement on fait usage dans ce cas d’un losange dont la petite diagonale est égale à l'un des côtés , et divi.se par conséquent le losange en deux triangles équilatéraux; l’ovale qu’on y inscrit, comme nous venons de le dire, est celui de la ligure 252. Pour inscrire, au contraire, un losange à un ovale, il suffît de joindre les sommets deux à deux.

La figure 253 représente un motif de balcon ou ces deux combinaisons se trouvent réunies. On remarquera que ce motif est le même que celui de la ligure 199, à cela près que les cercles principaux y sont remplacés par des ovales, et les carrés par des losanges, ce qui donne plus de grâce à l’ensemble.

La longueur totale du contour d’un ovale peut s’ob> tenir sans difficulté, lorsqu’on connaît son mode de construction et la longueur de spn grand axe. Si l'on se reporte , par exemple, aux constructions indiquées par la fîgure 87 , on voit que le triangle C D I est équilatéral ; chacun de ses angles vaut donc | d’angle droit ou le 6« de quatre angles droits. Il suit de là que l'arc AE est, la 6° partie de la circonférence qui a pour

rayon AC, et vaut par conséquent*-^—. De même’

l’arc B F vaut - - 6 EF vaut La

somme de ces trois arcs équivaut donc à

X AC.4- DB + a'îrX Kl , » -»r X (AC + DB + El) ■ — ^ OU a = — 2 — - . .

Mais A C et D B sont égaux , et El est le double de cha- ' cun d’eux ; la somme ci-dessus revient donc à