ABXOmX

aura donc pour expression — ^ , ou, ce qui re-

vient au même, puisqu’on ne change pas un produit en changeant l’ordre de ses facteurs, ^ .

Or AB c’est-à-dire l’un des côtés répété autant de

fois qu’il y a de côtés, c'est le périmètre du polygone; désignons ce périmètre par P, l’expression de l’aire du polygone deviendra

P X Om

c’est-à-dire la moitié du produit <le son périmètre par son apothème.

Remarque I. S’il s'agissait d’obtenir la superficied’une pièce d’eau , dont la forme fût celle d’un polygone régulier, on ne pourrait pas mesurer directement son apothème; mais il serait facile d’en obtenir la longueur.

Sur le milieu m de l’un des côtés, A B , on élèverait une perpendiculaire mO'. Connaissant le nombre des côtés du polygone, on en déduirait la valeur de l’angle F A B du polygone. La moitié de cette valeur serait celle de l’angle OA/w. On ferait alors au point A un angle »îAO’ égal à 0 A/«; les triangles rectangles mAO' et TW AO seraient égaux comme ayant un côté commun et un angle aigu égal ; donc O'w» serai légal à l’apothème O tt/.

Remarque II. Il y a quelques polygones réguliers dont on peut facilement calculer l’apothème, connaissant la longueur du côté.

Soit, par exemple, AB (fig. 271) le côté d’un hexagone régulier, O son centre, O m son apothème; si l’on lire A O, on aura , dans le triangle rectangle A /// O ,

A O* = A WT* 4- O TTJ*.

1222 PREMIÈHE PARTIE;

Mais AO étant égal à AB, piiisque le poly^gone ést Uto hexagone régulier (284) , il s'ensuit que AO est le double de Am, et que AO* est égal à 2. Am X^.Am, ou à 4. A m*. On a donc

' 4. Am' = O m* 4* O** 1

d’où résulte

' 3. A m’ = O m’ , et O m = Am X ^3 ;

c’est-à-dire que, pour obtenir l’ajx)thème d’un hexagone régulier y il faut multiplier la moitié de son côté par la racine carrée de 3 , ou , ce qui revient au même , multiplier son côté par la moitié île la racine carrée de 3.

Remarquons , en passant , que ces relations sont foUdées uniquement sur ce que le triangle A O B est équilatéral. Ainsi , dans un triangle équilatéral , la perpendiculaire abaissée de l’uà des sommets sur le côté opposé .équivaut à ce côté multiplié par la moitié de in racine carrée de 3.

Mesure de V aire des figures curvilignes.

32T. — Théorème. L’aire dan cercle a pour irresure la moitié du produit de sa circonférence par son rayo/i.

■' Nous avons vu (292) qu’un cercle peut être considéré comme un polygone routier d’un nombre infini de côtés infiniment petits. Dans un fwlygone régulier quelconque , la moitié du côté est plus grande que la différence entre le rayon et l’apothème; car si AH (fig. 21Ô) est le demi-côté , A O le rayon , O H sera l’apothème , et le triangle AO H donnera (181)