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Si donc le côté, et à plus forte raison sa moitié, sont infiniment petits, la différence entre le rayon et l’apothème sera, à plus forte raison, infiniment petite. Il en résulte que le rayon d’un cercle, quand on considère celui-ci comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtés infiniment petits,' peut être pris indifféremment pour le rayon ou pour l’apothème de ce po-

GiOSI^TRIB PL&nE. 223

lygone. Et puisque l’aire d’un polygone régulier a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par son apothème, on peut dire que l’aire d’un cercle a pour mesure la moitié du produit de sa circonférence par son rayon.

Corollaire. Si l’on appelle R le rayon d’nn cercle, et que it désigne toujours le rapport de la circonférence au diamètre, SwR exprimera la circonférence (297) ; d’après le théorème précédent l’aire de ce cercle sera donc exprimée par

ou w. R X R ou V. R*,

c’est-h-dire que l’aire <Vun cercle a pour mesure le rapport de la circonférence au diamètre multiplié par le carré du rayon.

Remarque. Dans un cercle dont le rayon est 1 f l’aire est donc exprimée par t X 1 1 ou par v. Ainsi le rapport -n-de la circonférence au diamètre, qui désigne la demicirconférence dont le rayon est 1 , désigne aussi l’aire du cercle dont le rayon est 1 ; c’est-à-dire que, par exemple , un cercle dont le rayon a 1»" , a pour superficie s™ «,141692

328. — Applications. — 1. Piioblême. Un bassin de forme circulaire a 21*“ , 6 de diamètre , quelle est sa superficie? Le diamètre étant 21'" , 6 , le rayon est 10“ , 8 ; le carré de ce nombre est 116‘"*« , 64. Multiplions ce carré par le rapport , nous obtiendrons pour l’aire demandée 366'" « ,43.

II. Problème. Le diamètre dèune pièce de 40 francs étant de 26 millimètres , quelle est la superficie de l’une de .<ies faces? Le rayon de cette pièce est de 13 millimètres; le carré de ce nombre est 169, millimètres carrés. Multiplions ce carré par le rapportât nous obtiendrons pour l’aire demandée 531 millimètres carrés, et une fraction négligeable, ce qui revient à 5 centiinèti*es carrés et 31 millimètres carrés.

III. Problème. Quel rayon faut-il donner h un cercle pour que sa superficie soit de SLc jgP.c io8p « ? Rédul-

224 PREMliUE PARTIE.

sons d’abord la superficie donnëe en pouces carrés; pour cela multiplions le nombre de toises par 36, ce qui donne 180i’ ', ajoutons-y les28*‘ «, ce qui fait en tout 208PC ; multiplions ce nombre de pouces carrés par 144, nous obtiendrons 29952P ®; et en ajoutant à ce nombre les 103P =, nous aurons enfin 30055p ®.

Puisqu’on obtient l’aire d’un cercle en multipliant le carré du rayon par le rapport de la circonférence au diamètre, en divisant l’aire d’un cercle par ce rapport, on obtiendra le carré de son rayon. Divisons donc 30055pcpar“, ou, ce qui revient au même, multiplions-le par ~ , nous aurons pour résultat 9563p- Puisque ce nombre exprime le carré du rayon , en en extrayant la racine carrée nous aurons ce rayon luimôme. On trouve ainsi que ce rayon vaut 97p, 7, ce qui revient à

IT 2P 7p 8> ».

IV. Problème. Quelle est, en lieues carrées, l'aire du cercle qui a pour circonférence l'équateur? Cette circonférence étant composée de 360 degrés , dont chacun vaut 25 lieues , équivaut à 9000 lieues. Son diamètre vaut donc

^ ou ou 2864 •*«“«*, 7890. Le rayon équivaut

donc à 1432 **«“®*, 3945. La circonférence , multipliée par le rayon, donne pour produit 12891550 lieues carrées environ ; l’aire cherchée , qui a pour mesure la moitié de ce produit, équivaut donc à 6445775 lieues carrées.

329. — Théorème. L’aire (F un secteur a pour mesure la moitié du produit de l’arc qui lui sert de base par le rayon. Soit AO B (fig. 272) un secteur dont on se proix)se d’évaluer l’aire. Imaginons que l’arc AB qui lui sert de hase soit divisé en un nombre de parties égales assez grand pour que chacune d’elles se confonde avec sa corde. Soit A C l’une de ces parties ; si l’on mène le rayon O C, le petit secteur A OC pourra être considéré comme un triangle isocèle, et son aire aura pour mesure la moitié du produit de sa base AC par sa hauteur, c’est-à-dire par la droite 01 qui joint le .sommet au milieu de la base. Mais si AC est suppo.sé infiniment petit, AI le sera à plus

Dig'” .<If

GIÎOMIÎTRIE PLANE. 225

forte raison , et comme on a nécessairement Ai AO— 01, .la différence entre AO et 01 sera elle-même infiniment petite, et l’on pourra prendre 01 pour AO.

, On pourra donc dire que le triangle AOC a pour me-' sure la moitié du produit de AG par OA ou

ACXOA • -

Maintenant, si, à tous les points de division de l’arc AB on mène des rayons , on divisera le secteur A OB en une série de petits secteurs AOC, COD, DOE, etc. , qui . seront tous égaux entre eux ; car les arcs A C, C D, D E, etc. , étant égaux, il en est de même des angles au centre AOC, COD, DOE, etc., et ces secteurs sont superposables. L’aire de chacun d’eux est donc égale à celle du secteur AOC, et a la même mesure. L’aire du secteur A OB équivaut donc à celle du secteur AOC, répétée autant de fois qu’il y a de parties égales dans AB. Si l’on désigne par n le nombre de ces parties , on aura donc

sect. AOB = sect. AOC X« =

AC X OA X n AC X n X OA

Or A C X c’est-à-dire l’une des parties de AB , répétée autant de fois qu’il y a de parties, c’est l’arc AB; ' il vient donc

sect. AOB =