III. Problème. Vaire d'uti secteur est de 32 déci

mètres carrés , Varc qui lui sert de base a 7 décimètres de longueur, quel est le rayon du cercle auquel il appartient et la valeur de son angle au centre ? La moitié du produit du rayon par la longueur de l’arc devant être équivalente à 32<^ , il faut que ce produit lui-même

soit équivalent à 64*^ £n divisant ce produit par la longueur de l’arc, ou 7*^ , nous aurons le rayon demandé. On trouve ainsi 9^éc-,142. Enopérantalors comme dans le problème précédent , on trouvera que la valeur de l’angle au centre est de 43°S1' 69'ÿ environ.

331. -J- Un segment AMB A (fig. 273) est la différenbe entre un sectenr AOBMA et un triangle isocèleAOB A. Si l’on évalue successivement l’aire du secteur et celle du triangle, et qu’on retranche le second résultat du premier , on aura l’aire du segment.

L’aire du segment est susceptible d'une expression simple qu’il est bon de connaître. Du point B abaissons B II perpendiculaire sur le rayon AO; cette perpendi-

OÉOMÉTRIK PI.ANR. 22*7

culaire sera ce que nous avons nommé le sinus de l’angle AO B , ou de l’arc A M B (209). L’aire du triangle

AOB aura pour mesure — . Laire du secteur a

d’ailleurs pour mesure L’aire du segment a

donc pour eipression ' •

AOXAMB AOXBH A0X(*MB— BH)

i ou — ;

c’est-à-dire qu’un segment a pour mesure la moitié du produit du rayon par la différence entre Varc qui lui sert de base et\le sinus de cet arc. '

Remarque. expressidn est relative à un segment moindre qu’un demi-cercle. S’il s’agissait d’un segment plus grand qu’un demi-cercle, ontrouverait qu’il a pour mesure la moitié du produit du rayon par la somme de l’arc et de son sinus.

332. — Si l’on voulait obtenir l’aire de l’espace A BD G ( fig. 96) , comprise entre deux cordes parallèles et les arcs qu’elles interceptent , on remarquerait que cet espace est la différerice entre les deux segments G IDC etAIBA.

333. — La couronne circulaire, comprise entre deux circonférences concentriques O A et O B (fig. 274) est la différence entre les cercles qui ont pour rayon OA et O B. L’expression de son aire est donc

» X ÔT — -îr X ÔB* ou ('ÔÂ’ — OB’),

c’est-à-dire qu’elle a pour mesure le produit du rapport de la circonférence au diamètre par la différence des carrés des rayons des deux cercles.

334. — L’aire du trapèze circulaire ABft a ( fig. 275 ) est susceptible d’une expression remarquable. Concevons l’arc A B divisé en n parties égales assez petites pour que chacune d’elies se confonde avec sa corde. Soit A G Tune de ces parties. Tirons OC; tirons aussi 01, bissectrice de l’angle AOG; cette bissectrice divisera en deux parties égales ciiacun des deux arcs AC et ac. L’arc AG pouvant être considéré comme une ligne

228 PRr.ÀlIKRE PARTIE.

droite, le petit secteur AOC peut être regardé comme un triangle isocèle, et la droite 01 qui joint le sommet au milieu de la ba^e comme une perpendiculaire à cette base. De même le petit secteur aOc-peut être regardé comme un triangle isocèle, et la droite 0/ comme une perpendiculaire à cette base. D’ailleurs les lignes AC et ac divisant proportionnellement les côtés de l’angle AOC, puisqu’on a Oa=; Oc, etOA = OC, ces ligues peuvent être considérées comme parallèles. Le petit trapèze circulaire ACca peutdoiic être regardé comme un trapèze rectiligne dont les bases sont AC et ca, et 1/ comme une perpendiculaire commune à ces deux bases , c’est-à-dire comme la hauteur du trapèze. L’aire de ce petit trapèze a donc pour valeur

I» X (AC •i- ac) a

Mais si par tous les points de division de AC on mène des rayons, les arcs A B et « ô seront tous deux divisés en un même nombi*e de parties égales. Tous les secteurs , tels que AOC, seront égaux entre eux , ainsi que tous les secteurs tels que oOc; il en sera donc de même de tous les petits trapèzes, tels que ACca. La somme de tous ces petits trapèzes, c’est-à-dire le trapèze circulaire ABba, équivaudra donc à n fois le trapèze ACca, et aura conséquemment pour valeur IiX(AC + ac)X" Ii'X (AC X n + of X n) .