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mais A C X c’est A B , et a c X ” c’est a b. D’ailleurs , 1 i est la différence des rayons O I et 0 /, ou , ce qui revient au même, celle des rayons O A et 0 a. L’expression ci-dessus peut donc s’écrire

Aa X:(A B + a6\

c’est-à-dire que taire du trapèze circulaire a pour mesure la moitié du produit de la somme des deux arcs qui lui sa vent de base par la différence de leurs rayons.

Si l’on donne le nom de hauteur du trapèze circulaire à la ligne A<»i on peut dire que taire de ce trapèze

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cÉOMémiE PLArrE. 229

<i pour mesure la moitié du produit de sa hauteur par la somme de ses bases parallèles, ou le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses hases parallèles ^ expression analogue à celle de l'aire du trapèze rectiligne.

335. — On obtient sans difficulté l’aire des figures terminées par des arcs de cercle qui se raccordent. IVous prendrons pour exemple l’ovale (fig. 252). Si l’on fait la somme des aires des trois secteurs AGI, I OH , n D B, et que de cette somme on retranche l’aire du triangle G O D, on aura l’aire de la moitié de l’ovale; en doublant cette valeur on aura l’aire de la figure entière.

Pour avoir l’aire de l’ove (fig. 89) , il faudrait ajouter entre elles les aires du demi-cercle A MB, du quart de cercle DGE, des, deux secteurs ABD etBAE, et retrancher de cette somme l’aire du triangle AG B.

S.3G. — 11 existe un assez grand nombre de figures terminées, soit par une seule et même ligne courbe, soit en partie par des lignes droites et en partie par des lignes courbes, dont on sait évaluer l’aire rigoureusement ; mais les méthodes de calcul employées à cet effet ne sont point du ressort de la Géométrie élémentaire.

On démontre que taire de V ellipse a pour mesure le produit de son demi-grand axe par son demi-petit axe, et par le rapport de la circonférence au diamètre.

Si, par exemple, le grand axe avait 18*“ et le petit axe 10'“, l’aire de l’ellipse équivaudrait à 9 " X S*" X V» c’est-à-dire à 14l'“ ',42.

337. — Pour évaluer pratiquement l’aire d’une figure terminée par une ligne courbe quelconque, on emploie une méthode analogue à celle dont on se sert dans l’arpentage pour mesurer l’aire d’un polygone. On lire une sécante AB (fig. 270) dans.le sens de la plus grande étendue de la figure. Gette sécante ou directrice divise la courbe en deux parties. Sur chacune d’elles on prend une série de points assez rapprochés pour que les arcs qui séparent ces points se confondent sensiblement

230 PRE^lfeRÏ PA.RTIE-'

avec leurs cordes. De tous les points de division on abaisse alors des perpendiculaires sur la directrice; et la figure se trouve décomposée en une série de trapèzes rectangulaires, terminée de part et d’autre par des triangles rectangles.

3.38. — Cette méthode est assez laborieuse, à cause du grand nombre de multiplications qu’elle exige. Mais quand la courbe n’offre pas de changements de courbui*e trop brusques ou trop multipliés, on j)eut employer un moyen plus expéditif, qui réduit toutes les multiplications à une seule.

On divise la directrice en parties égales , et par tous les points de division on lui élève des perpendiculaires terminées de part et d’autre à la courbe. 11 faut que les divisions soient assez nombreuses, pour que les arcs compris entre ces perpendiculaires, ainsi que les arcs extrêmes puissent être considérés comme sensiblement rectilignes.

Pour fixer tes idées , supposons que la directrice A B (fig. 277) ait été divisée en six parties égales. Nommons e l’une de ces parties , et 7ji , 4s , 4,, 4^ , les perpendiculaires élevées sur la directrice par ses points de division et terminées de part et d’autre à la courbe,

On a d’abord à évaluer l’aire d’un triangle mkn;

cette aire a pour valeur * ,

Vient ensuite un trapèze dont l’aire a pour expression

puis successivement trois autres trapèzes ayant respec» * tivement pour mesure

enfin un triangle e B/? dont l’aire a pour valeur-^^— .

Si l’on réunit toutes ces aires, et qu’on nomme A

<Ô1^0MÉT!ttlC PLANE. ’2âl

1*alré totale de la figure , on aura , en observant que e est un facteur commun ,

^ ..1 % *4" A I Ag -4- -f- /ig -4» /<5 + /t^ -4- ^4 H-

ou A *BB e X (A, -f- 4- Aj -4- ^4 -4“ A#) t ,

c’est-à-dire que pour obtenir Faire de la figure, il faut multiplier l’une des parties de ta directrice par la somme de toutes les perpendiculaires que F on a élevées.

*39. — Dans l’Arpentage , quand le terrain Sc trouve terminé par une courbe irrégulière, on emploie une méthode plus prompte encore que celle que nous venons d'indiquer , mais , à la vérité, moins approximative. Elle consiste à couper la, courbe par des droites AB, BC, CD, etc., (fig. 278), de- manière que la .somme des segments qui tombent en dehors du polygone A BCDE F ainsi formé, compense, à vue d’œil, celle des segments qui demeurent au-dedans de ce polygone. On mesure alors l’aire du polygone d’après l’une des méthodes que nous avons données ( 824 , 826), et le résultat exprime l’aire demandée , avec dautent plus d’exactitude que le choix des côtés du polygone a été fait d’une manière plus heureuse , et que l’arpenteur est plus exercé.