CHAPITRE VIII

D« la comparaiion des aires.

840. — TUÉoiUÈMe. Deua rectangles de même kauteut sont entre eux comme leurs bases. On pourrait déduire ce théorème de la mesure du rectangle; mais on peut aiiisi le démontrer directement comme il suit : >

Soient ABCD et EFG H (fig. 279) deux rectangles qui ont même hauteur AD*=*EH. Supposons d’abord que leurs bases aient une commune mesure, qui soit contenue , par exemple , 4 fois dans A B , et 3 fois dans E F. Divisons A B en 4 parties égales , et E F en 3 parties égales; ces diverses parties seront égales entre elles.

232 PREMliiBE PARTIE.

Par tous les points de division, élevons des perpendiculaires à A B ou à E F. Le rectangle A B G D se trouvera partagé en 4 petits rectangles, et le rectangle EFG H en 3 petits rectangles. Tous ces petits rectangles seront égaux entre eux , car ils auront tous pour base la commune mesure entre AB et E F ; et leurs hauteurs seront égales à A D ou à E II , comme parallèles comprises entre parallèles , et par conséquent égales entre elles. Ces petits rectangles seront donc tous superposables, et conséquemment égaux. Il suit de là que les rectangles proposés sont entre eux comme 4 est à 3. Mais leurs bases sont aussi entre elles comme 4 est à 3. A cause de ce rapport commun, ces rectangles sont donc entre eux comme leurs bases , et l’on a

ABCD :EFGn;:AB:EF.

On arriverait au même résultat, quelque petite que fût la commune mesure entre les bases A B et EF. La proportion ci-dessus subsisterait donc encore, si celte commune mesure était intiniincnt petite, c’est-à-dire si les deux bases étaient incommensurables.

ConoLLAiBE. Par un simple changement de noms, on déduit de ce théorème que rectangles de meme

base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Application. Supposons qu’il s’agisse de recouvrir d’une couche de peinture les murs d’un appartement; pour savoir la quantité relative de couleur nécessaire à chacun d’eux, il faudra comparer leurs superficies; et comme ce sont des rectangles de même hauteur, il suffira de comparer leurs bases. Si, par exemple, l’un des murs a 25 pieds de long, et qu’un autre en ait 15, les quantités de couleur nécessaires pour recouvrir ces deux murs seront entre elles comme 25 est à 15 , ou comme 5 est à 3.

341'. — Théobème. Dcuap rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. Appelons B la base du premier rectangle, H sa hauteur, A son aire; b la base du second, h sa hauteur, a son aire. Concevons un troisième rectangle qui ait

C^OMÉTRIE PL ARE. 233

pour base B , la base du premier rectangle , et pour hauteur h , la hauteur du second ; appelons S l’aire de ce troisième rectangle. Le premier et le troisième ayant même base, seront entre eux comme leurs hauteurs, et l’on aura :

Le second et le troisième ayant même hauteur seront entre eux comme leurs bases , et l’on aura

Si l’on multiplie ces deux proportions terme à terme', il vient

S X A:oXS::BXH:*X/*, ou, en supprimant le facteur S, commun aux deux termes du premier rapport ,

A : a : : B X H : ^ X A , ce qui revient à l’énoncé du théorème.

ConoLLxiRE I. Si le second rectangle sc changeait en un carré, ayant pour côté l’unité de longueur; l’aire que nous avons désignée par a serait alors l’iinilé d’aire ; et si l’on nomme u l’unité de longueur, on aurait à la fois et A = et la proportion ci-dessus deviendrait A:a::BXH*"X"*

On tire de là

- = — ou - = ~ X -

« uX» O tt U

Or, J , c’est-à-dire le rapport qui existe entre l’aire du

rectangle et l’unité d’aire , c’est le nombre d’unités d’aire contenues dans l’aire de ce rectangle ; ^ , ou le rappoii; qui

existe entre la base B et l’unité de longueur, c’est le nombre d’unités de longueur contenues dans cette base; de

même -- désigne le nombre d’unités de longueur conte-

nues dansla hauteur H. L’égalité (1) signifie donc que le nombre d’unités d’aire contenues dans l’aire d’un rectan-

gle équivaut au produit du nombre d’unités de longueur contenues dans sa base, par le nombre d’unités de longueur contenues dans sa luiutcur, ou, en d’autres ter-

mes, que Caire tCun rectangle a jiour mesure le jnoduit

234 PREHljcRE PARTUi

de sahase par sa hauteur. Nous retombons ainsi snr te théorème du n® 316.

842. — ÂPPLicATiOKfs. On employait autrefois, et l’on emploie même encore dans quelques circonstances , un mode de subdivision de la toise carrée , différent de celui que nous avons .fait connatlre. Au lieu de subdiviser la toise carrée en 86 carrés d’un pied de côté, c’està-dire en 36 pieds carrés , on la subdivise en 6 rectangles , ayant une toise de hauteur et un pied de base, qui portent le nom de pieds de toise carrée t ou de toise-pieds ^ et se désignent par les initiales T P.

Chaque toise-pied se subdivise en 12 autres rectangles, ayant toujours une toise de hauteur, mais seulement un pouce de base ; ils portent le nom de pouces de toise cariée , ou toise-pouces, et se désignent par les initiales T p.

Chaque toise-pouce se subdivise encore en 12 autres rectangles ayant toujours une toise de hauteur, mais seulement une ligne de base ; ils portent le nom de lignes de toise carrée ou toise-lignes , et se désignent par les initiales T 1.

Afin de mettre de l’analogie dans les signes , on désigne alors les toises carrées par les initiales ï T, qui signifient toise-toise, c’est-à-dire un rectangle ayant une toise de hauteur et une toise de base.

Un rectangle qui aurait une toise de hauteur, et dont là base aurait h-, 5p 7p lli, présenterait, d’après cela , une superficie de 2”5”7t»1U*.

Si l’on compai*e la toise-pied an pied carré, on voit que ces deux rectangles ont un pied pour base , et sont, par conséquent, entre eux comme leurs hauteurs, ou comme la toise est au pied; c’est-à-dire qu’une toise-pied vaut G pieds carrés.

Si l’on compare la toise-ponce z\\ pouce carré, on voit que ces deux rectangles sont entre eux comme la toise est au pouce , ou comme 72 est à 1 ; ainsi , la toise-pouce vaut 72 pouces carrés. Cette valeur revient à la moitié d’un pied carré; car celui-ci vaut 144 pouces carrés; et 144 est le double de 72.

GÉOMl^TRIE PLÂKE. S35

Si l’on compare la toise-ligne h la ligne carrée, on voit que ces deux rectangles sont entre eux comme la toise est à la ligne, ou comme 864 est à 1 ; ainsi la toiseligne vaut 864 lignes carrées. H en résulte que la toiseligne vaut 6 pouces carrés; car le pouce carré vaut 144 lignes carrées , et 6 lois 144 font 864.

Le but de ce mode de subdivision est de simplifier autant que possible le calcul des nombres complexes.

Soit, par exemple, à évaluer l’aire d’un rectangle, ayant 3’’ 2' 7p 6i de base, et 2^ 5' 8p de hauteur; on opérera la multiplication par la méthode des paiiies aliquotes , comme l’indique le tableau suivant; en observant que le produit des toises par les toises exprime des toises carrées, ou toise-toises , que le produit des toises par les pieds exprime des toise-pieds ^ que le produit des toises par les pouces exprime des toise-pouces , et que le produit des toises par les lignes exprime des toise-lignes.

Pour tv . . .

cp. . .

ap...

Torxt

to**. . .

Si l’on veut convertir ce résultat en toises carrées, pieds carrés, et pouces carrés, on aura égard aux rapports énoncés ci-dessus , et l’on trouvera :

Que les f de toise-ligne valent. . .' 5 i>ouces carrés,

8vp 4 pieds can-ési

et que, par conséquent , le résultat qui précède équivaut à 4P** 68Pj*.

Ce mode de subdivisions, quelque commode qu’il puisse paraître, est loin d’offrir la simplicité des mesures métriques, où toutes les convei'sioiis d’unités, soit de longueur, soit de* superficie, s’opèrent par un simple . transport de virgule. Ce système s’est néanmoins conservé dans quelques branches d’industrie, et notamment pour l’évaluation des surfaces de sciage. Le travail du sciage des bois de construction se paie eu raison de l’étendue des surfaces mises au jour par la scie ; les lignes qui terminent ces surfaces continuent, malgré l’adoption des mesures décimales, à s’exprimer le plus souvent en toises, pieds, pouces et lignes ; c’est pour cela que leurs superficies s’évaluent en toise-toises , toise-pieds y toisepouces et toise-lignes. ' <

Dans l’évaluation des surfaces de sciage , la toise carrée prend aussi le nom de brasse.

343. — ÇoROLLiURE II. Deux rectangles sont équivalents loi'sque le produit de leur base par leur hauteur est le même.

Si, quatre longueurs B , H, A, sont en proportion, de manière qu’on ait B : H : : : /e, le rectangle des longueurs extrêmes, c’est-à-dire le rectangle qui aurait pour base B et ix)ur hauteur h , sera équivalent au rectangle des longueui's moyennes , c’est-à-dire au rectangle qui aurait pour base b et pour hauteur H.

Cette considération sert à résoudre les problèmes suivants :

344. — Problème. Étant donné un rectangle ABCD (fig. y construire un rectangle équivalent, dont la base soit une ligne donnée . Cherchez une quatrième proportionnelle (138) aux trois longueurs E F, AB et AD, et donnez au rectangle à construire une hauteur F H égale à cette quatrième proportionnelle ; on aura :

EF : AB:: AD : F H, d’où EFX FH=AB X AD.

Ainsi, la mesure du rectangle EFG H équivaudra à la mesure du rectangle donné ABCD; par conséquent ces rectangles seront équivalents.