Problème, tant donné un rectangle ABCD

Dlqitized by Googlc

Gl^OMKTRlS PLANE. 237

(Jig. 281), construire un carré équivalent. Cherchez une moyenne proportionnelle (1G5) entre la base AB et la hauteur AD du rectangle donné, et construisez un carré E F G H qui ait pour côté cette moyenne proportionnelle. Ou aura

AB ; EF : : EF ; AD , d’où A B X AD =¥f*.

Ainsi la njesure du carré E F G H équivaudra à la mesure du rectangle donné ABCD; ce carré sera donc équivalent à ce rectangle.

Remarque. On nomme en général quadrature le problème qui consiste à chercher un carré équivalent en superficie à une figure donnée. La quadrature d’un rectangle s’obtient, d’après ce qui précède, en cherchant une moyenne proportionnelle entre sa base et sa hauteur.

346. — pROMLÉME. Construire un rectangle équivalent k un carré donné ^ et dont les côtés adjacents fassent une somme égale à une ligne donnée. Sur une droite A B (fig. 282), égale à la ligne donnée, comme diamètre, on on décrit une demi-circonférence. A l’extrémité A de ce diamètre, on élève une perpendiculaire AC égale au côté du carré donné. On mène par le point C une parallèle à A B; cette parallèle rencontre Ja circonférence en un point D. De ce point on abaisse sur le diamètre une perpendiculaire DP. Les deux segments A P' et PB satisfont à la question , car leur somme équivaut à AB, c’est-à-dire à la ligne donnée; et comme DP est moyenne proportionnelle entre ces deux segments (164 , Coroll.) , on a : ,

AP : DP : : DP : PB , d’où AP X PB = DP’ =Tc’,

c’est-à-dire que la mesure du rectangle qui aurait AP pour hauteur et PB pour hase, équivaut à la mesure du carré qui a pour côté AC, c’est-à-dire à la mesure du carré donné. Le rèctangle construit sur AP et P B équivaut donc au carré donné.

Remarque. Soit AC' égal à la moitié du diamètre A B, c’est-à-dire au rayon AO; par le point C' menons une

GÉOMÉTBIE PLANE. 230

On démontrerait absolument de la même manière, que deux parallélogrammes de meme base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Si les bases et les hauteurs sont égales, les parallélo< gi’ammes sont équivalents.

Remarque. La quadrature d’un parallélogramme s’obtient comme celle d’un rectangle en cherchant une moyenne proportionnelle entre la base et la hauteur. Car si B désigne toujours la base, H la hauteur, et que C soit tme moyenne proportionnelle entre B et H, on aura :

B : G : : C : H , d’où'c* = B X H ,

c’est-à-dire que la mesui'e du carré qui a pour côté C , équivaut à la mesure du paraliélogranuike proposé ; et que , par conséquent , ce carré est équivalent à ce parai- . lélogramnie.

848. — Tbëorëme. Tout losange équivaut à la moitié du. rectangle construit sur ses deux diagonales* Car, soit le losange A BCD (fig. 192) ; la diagonale A G le partage en deux triangles isocèles égaux ABC et AD C. Les deux diagonales étant perpendiculaires entre elles (233), et se divisant mutuellement en deux parties égales au point

O, l’aire du triangle ABC a pour mesure ou

La *omme des deux triangles ABC et ADC, c’est-à-dire le losange ABCD, a. donc pour valeur le double de cette expression , ou ^ ^ ' , ou enfin J et équivaut par conséquent à la moitié du

rectangle construit sur les diagonales AC et BD.

CoHOLi.iUBE I. Pour obtenir l’aire d’un losange , on peut donc faire le produit de ses deux diagonales , et diviser ce produit par 2. Si, par exemple, l’une des diagonales a 5® et l’autre 11“,- l’aire du losange vaudra ,

ou 27“ ',50.

CoROLLAiRS II. Four obtenir la quadi*atui% d’un lo»

PREMI^>RB PARTIE.

sange , il suffît de chercher une moyenne proportionnelle entre l’une des diagonales et la moitié de l’autre.

Remarque. Dans le carré qui est aussi un losange, les deux diagonales sont égales; et leur rectangle n’est autre chose que le carré de l’une d’elles. Il résulte par conséquent du théorème précédent qu’un carré est la moitié du carré de sa diagonale.

349. — L’aire d’un trapèze ayant pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases, on obtiendrait le côté d’un carré équivalent en cherchant une moyenne proportionnelle entre la hauteur et la demi-somme des bases, ou, ce qui revient au même, entre la hauteur et la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles (321 , Coroll.}.

850. — Théorème. Deux triangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. En effet, si l’on désigne par A l’aire du premier triangle, par B sa base, par U sa hauteur , et par a, ô, h, les quantités analogues dans le second triangle , on aura (822) :

d’où i*ésulle la proportion identique

ou

B XH :

Corollaire. Si les hauteurs sont égales, les deux triangles sont entre eux comme leurs bases. Si les bases sont égales, ils sont entre eux comme leurs hauteurs. S’ils ont même hauteur et même base, ils sont équivalents : ainsi tous les triangles ACB, A CB, A G' B, AC” B, etc. (fig. 283) , qui ont même base A B, et dont les sommets sont situés sur une même parallèle à la base , a} ant dès lors même hauteur, puisque deux parallèles sont partout également distantes , ces triangles sont tous équivalents entre eux.

Remorque. La quadrature d’un triangle s’obtient en cherchant une moyenne proportionnelle entre sa base et la moitié de sa hauteur, ou entre sa hauteur et la moitié de sa base.

351. — Théorème. Deux trianç'les qui ont un anf^le égal sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle. Soient ABC et DEF (fig. 284) deux triangles qui ont un angle égal , A = D. Prenons A /// = D E , A « = D F , et joignons m n. Les triangles A /n /î et D EF seront égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Cela posé, si l'on tire Cm, les triangles \mn et A //{ C , qui ont même sommet m , et leurs bases A n et A C , sur une même ligne droite , ont nécessairement même hauteur, et sont par conséquent entre eux comme leurs bases ; et Ton a :

Les triangles A /« C et A B C , qui ont même sommet C , et leurs bases A w et A B sur une même ligne droite , ont même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases ; on a donc :

Multiplions ces deux proportions terme à terme , et supprimons le facteur A m C qui deviendrait commun aux deux termes du premier rapport , nous aurons :

Amn:ABC::A/i X AwrACXAB

ou, en remplaçant les quantités Amn, An, Am, par leurs égales DEF, DF, DE,