ABC

c’est-à-dire que l’aire du triangle tracé sur le papier est la millionième partie de celle du triangle trace sur le terrain.

GIiOIMlÎTniE PLANE. 243

Si l’on évalue en millimètres carrés l'aire tlu petit triangle , en multipliant celte aire par 1000000, on aura celle du grand triangle. Remarquons que cette multiplication revient à regarder les millimètres carrés comme des mètres carrés; car un mètre valant 1000 millimètres, un mètre carré vaut 1000 X 1000 millimètres caiTés, ou 1000000 de millimètres carrés.

353. — XiiÉonÉME. Le carré construit sur l’hypothéniise d’un triangle rectangle équivaut a la somme des canvs construits sur les deux autres côtés. Soit ABC ( fig. 285 ) un triangle rectangle en B ; et soient A C F E , C BRI., ABOI , les carrés construits .sur l’hypothénuse et sur les deux autres côtés. Du sommet de l’angle droit abaissons sur l’hypothénuse la perpendiculaire BD, et prolongeons cette perpendiculaire jusqu’en H. Le canx* A CFE .se U*ouvera partagé en deux rectangles A DUE et CD H F.

Le carré A BG I et le rectangle ADH E sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs, et l’on a

ABGl : ADHE :: AI X AB : AE X AD,

ou, en remplaçant AI par son égal AB , et AE par son égal AC,

ABGI : ADHE ::ÂB* : AC X AD . . (1)

Or, la similitude des triangles ABD et ABC ( 510 ) donne la proportion

AC: AB :: AB : AD, d’oùÂl’*=ACX AD.

Dans la proportion (1) les deux termes du second rapport sont donc égaux, et il en résulte que les deux termes du premier le sont aussi|, et que le carré ABGI est équivalent au rectangle ADHE.

On démontrerait de même que le carréBCLK est équivalent au rectangle C D H F. La somme des deux carrés ABGI et BCLR équivaut donc à la somme des rectangles À DH E et CDH F, c’est-à-dire au carré ACF E.

Corollaire. Les rectangles ADHE et CDH F ayant même hauteur DH, .sont. entre eux comme leurs bases

Di:

AD et CD;' mais ces rectangles étant équivalents aux «arrés A B G I et B C L K, il s’ensuit que ces carrés sont «ntre eux comme les segments AD et G Dde l'bypothénuse.

Remarque. Nous avions déjà, au n* 210, démontré le théorème précédent et son corollaire, à l’égard des carrés des côtés supposés réduits en ncunbre. Ces propositions s’étendent, comme on devait s’y attendre, aux superficies elles-mêmes dont les carrés de ces nomln’cts sont la mesure.

Elles fournissent le moyen de résoudre plusieurs pro- . blêmes utiles.

364. -^PaoBLËME. /'’â/re un carré équivalenth la somme de deux carrés donnés. Désignons par M et N les côtés des deux carrés donnés. Sur les côtés d’un angle droit , prenons à part i r du sommet les lougueu rs B A ^ M(fig. i 68) et BC = N; tirons AG, qui sera le côté du carré demandé , car on aura , en vertu du théorème précédent :

' 'ÂC* = BÂ’ -f- BC’ ="M* -hN\

Corollaire. On pourrait, de la même manière, faire un carré équivalent à un nombre quelconque de carrés donnés. Pour cela, soient M, N, P, Q, etc. , les côtés des carrés donnés ; on fera d’abord un carré X* équivalent à la somine des carrés^ et^’; puis un carréT^*, équivalent à la somme des carrés X* et P’ ; puis un cairé équi-

valent à la somme des carresT’ et Q*; et ainsi de suite. On aura évidemment

IL* 4-"N* ; Ÿ’ 4- P’ =*M* -t- N’ -h P* ;

Z’ =*Y’ + Q’ = 4- P’ + Q’ ; et ainsi de suite.

355. — Problème. Faire un carré équivalent à la dif^ férence de deux carrés donnés. Désignons par M et N les côtés des deux carrés donnés; et soit M le plus grand. Sur l’un des côtés d’un angle droit ABC ( fig. 158 } pre>nons,à partir du sommet, une longueur B A = N. Du point A comme centre, avec un rayon égal à M , décrivons un arc de cercle qui coupera l'autre côté de l’angle

GÉOMÉTRIE PLAITE. 246

droit en un point C. La longueur B C sera le côté du carré demandé. (!ar si l’on joint A C, on aura

ÂC’ = B A’ +1ÎC’ , d’oîi BC* =TC’ — "BÂ’ = M’ — ?î’.

356. — PnOBLËME. Faire un carré qui soit à un carré donné comme m est à n. Les quantités m et n peuvent être des lignes ou des nombres; .si ce sont des nonibres , on pourra les remplacer par des lignes qui contiennent chacune une même longueur convenue, autant de fois que ces nombres contiennent d’unités.

Soit donc M le côté du carré donné. Sur une droite indéfinie, prenez une longueur AB (fig. 286) égale à//, et une longueur B C égale à ///. Sur AC comme diamètre décrivez une demi-circonférence. Au point B élevez la perpendiculaire BD. Tirez DA et DC. Prenez sur DA une longueur DE égale à M. ÎBenez EF parallèle à AC; cette parallèle coupera DB en I et D C en F. La longueur DF sera le côté du carré demandé.

En effet, l’angle AD C , inscrit dans un demi-cercle, est droit; d’ailleurs DB est perpendiculaire sur AC et sur sa parallèle EF; on a donc (352, Coroll.) :