AE<AB

S il s agissait de deux arcs pris sur irt même cercle,

26 PKEAllÈltE PAltllE.

on pourrait tracer un cei’cle égal au pi*euiier, et suppo- , ser sur ce cercle un arc égal à l’un des deux arcs donnés ; la proposition se trouverait ramenée au cas précédent , de la même mauièi’e que dans la seconde partie du théorème du n® 27.

Remarque. !Nous avons dit qu’une même corde soustend toujours deux arcs; le théorème précédent suppose qu’il s’agit chi plus petit des deux arcs sous-tendus par chaque corde. S’il s’agissait au contraire du plus grand , il est facile de voir qu’au plus grand arc correspondrait au contraire'la plus petite corde. •

29. — Théorème. Dans des cercles égaux , ou dans le même cercle y h des cordes égales correspondent des arcs

' égaux. Car si les arcs différaient , les cordes différeraient aussi, d’après le théorème précèdent, ce qui est contraire à la supposition. ^

30. — Théorème. Dans des cercles égaux ou dans le même cercle y à une plus grande torde correspond un ■plus grand arc. Considérons en effet deux cordes , dont la première soit plus grande que la .seconde : si les arcs correspondants étaient égaux , les cordes devraient être égales, en vertu du théorème du n" 27; ce qui est contraire à la supposition. Et si l’arc sous-tendu par la première corde était plus petit que l’arc sous-tendu par la seconde, la première devrait être plus grande que la seconde, en vertu du théorème du n® 28, ce qui est également contraire à la supposition. Il faut donc que le premier arc soit plus grand ([ue le second.

Remarque. Ce théorème suppose encore qu’il s'agit du ■plus petit des deux arcs sous-tendus par chaque corde.

31. — Théorème. La plus grande de toutes les corde.s est le diamètre. Par l’extrémité A ((ig. 10) d’une corde quelconque A C, menons le diamètre A B, et tirons le rayon O C. La ligne droite étant le plus court chemin d’un point à un autre, on a A C A O +- O C. Mais on peut remplacer O C j)ar son égal O B , on a alors

A C < A O +- O B ou A C < A B,

donc toute corde est moindre que le diamètre.

GKOMl'fftIE PLANE. 27

32. — Théorème. Tout diamètre A B (fig 10) divise la circonférence eii deux parties égales. Imaginons, eu efiet, que l’on plie la figmv le long de A B, et que la partie A m B vienne s’appliquer sur la partie A C B; ces deux parties devront coïncider dans toute leur étendue; car, dans le cas contraire, il y aurait des points inégalement distants du centre.

Corollaire, llcciproquement : Toute droite qui divise la circonférence en deux j>arties égales est un diamètre. En effet, si, par l’extrémité A d’une corde quelconque A C , différente d’un diamètre , on mène le diamètre A B, les deux parties A m B et A C B de la circonférence seront égales. Les dtuix arcs sous-tendus par la corde A C sont donc nécessairement inégaux; à moins que le point C ne se confonde avec le point B, c’est-à-dire que la corde devienne un diamètre.

33. — On vient de voir que l’égalité des arcs entraîne l’égalité des cordes, et que l’égalité des cordes entraîne, à son tour, l’égalité des arcs. Cette considération permet d’ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser les arcs de la même manière que les lignes droites, pourvu que ces arcs appartiennent à xin même cercle, ou à des cercles égaux.

Pour en donnerun exemple, supposons que l’on veuille obtenir la différence de deux arcs donnés. Sur une circonférence de même rayon, portons une ouverture de compas A B (fig. 12), égale à la corde du plus grand arc. Sur la même circonférence, et dans le même sens, portons une seconde ouverture de compas A E, égale à la corde du plus petit arc. Les arcs A M B et AME seront respectivement égaux aux arcs donnés; la diflérence de ceux-ci sera donc égale à l’arc E B.

Pour diviser les arcs en parties égales avec le moins de tâtonnements possible, on emploiera la même méthode que pour diviser les lignes droites (17). Kous ferons à ce sujet la même observation que pour la division des lignes droites : c’est (jue si le nombre de parties égales que l’on veut obtenir est considérable, et n’e.st point pivinier, en le décomposant en ses divers facteurs, ou

Dk.

28 PREMI^.RK PARTIE- '

ramène la division demandée è une série tk divisions successives , plus faciles à effectuer. S’il s’agit, par exem* pie, de diviser la circonférence entière eu 360 parties égales, on la divise d'abord eu 2 parties égales paruti diamètre ; on divise ensuite chaque demi*circonférencs en 5 parties égales, puis chacune de celles-ci en 3 autres, puis chacune de celles-ci encore en 3 autres, puis ohav cune de celles-ci en 2 autres, et enfin chacune de ces dernières en 2 autres. Le nombre de parties égales ainsi obtenues , sera évidemment 2X5X3X3X2X2ou 360» Pour trouver en nombres le rapport de deux arcs,‘la méthode est absolument la même que pour trouver en nombres lerapport de deux lignes droites. Il suffit depoiv ter sur le plus grand arc une ouverture de compas égales la corde du plus petit, puis de porter sur le plus petit uné ouverture de compas égale à la corde du i*este du plus grand, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste négligeable, ou qui soit contenu dans le prtîcé-» dent un nombre exact de fois. On rapproche ensuite les unes des autres les relations fournies par ces opérations.

, 34. — Il était naturel de chercher à réduire les arcs pn nombres, en les rapportant à une même unité de mesure. Mais il se présente pour les arcs de cercle une difficulté qui n’a pas lieu pour les longueurs rectilignes^ c’est qu’une même unité de mesure ne saurait servir k comparer entre eux des arcs pris sur des cercles de rayons différents. En effet, pour effectuer cette compa« raison , il faudrait porter sur chacun des arcs proposés l’arc pris pour unité , autant de fois que cela serait pos*> sible. Or, on n’a aucun moyen direct de porter un arc sur un autre arc, on u’y parvient, comme nous l'avonii vu ci-dessus , qu’en s'appuyant sur ce que les arcs égaux ont des cardes égales. Mais ce théorème n'est vrai que pour des arcs pris sur des cercles égaux ; car il est facile de voir que dans des cercles inégaux une même corde peut sous-tendre des arcs très-différents. A la seule iii-

GI^OMIÎTRIE PLAÎtE. 29

spection de la figure 13, on reconnaît que l’arc A M B est plus grand que l’arc A /// B, puisqu’il l’enveloppe et a les mêmes extrémités; ces deux arcs sont cependant sous-tendus par une même corde A B. Une même unité de mesure ne |>eut donc pas convenir à des arcs pris sur des cercles inégaux.

Nous verrons par la suite comment on parvient à comparer entre eux des arcs pris sur des cercles différents. Ce que nous allons dire ne s’appliquera qu’à des arcs pris sur un même cercle, ou sur des cercles de même rayon.

3.5. — On pi’end pour principale unité d’arc le quart de la circonférence, que l’on désigne sous le nom de quadrans. On subdivise le quadrans en 90 parties égales , que l’on nomme degrés, chaque degré en 60 minutes , et chaque minute en 60 secondes. ( IJans les calculs astronomiques, on évalue les dixièmes de seconde.) La circonférence entière se trouve ainsi partagée en 360 degrés, ou en 21,600 minutes, ou en 1,296,000 secondes.

Mesurer un arc, c’est chercher le nombre de degrés, de minutes et de secondes {ju’il renferme. Les circonférences dont on compare le plus souvent les arcs ne sont «livisées qu’en degrés ou en demi-degrés. Pour apprécier les minutes, on a recours au vernier circulaire ; c’est une petite règle circulaire (fig. 14) dont l’arc intérieur a précisément le même rayon que la circonférence divisée , et qui est susceptible de gli.sser à frottement doux le long de celte circonférence. La longueur du vernier embra.s.se 29 divisions de la circonférence, et e.st divisée en 30 parties. A l’aide de cet instrument, on peut donc, comme nous l’avons dit au n® 21, apprécier les trentièmes de fune des divi.sions de la circonférence. Si cette circonférence est divist'*e en dt^mi-degrés, le vernier permettra d’apprécier les trentièmes de demi-degré, c’est-à-dire les .soixantièmes de degj’é, ou les minutes; si elle n’est divisée qu’en degrés, le vernier n’indiquera que les trentièmes de degré, c’est-à-dire dos arc.s de 2 minutes. Dans un trè.s-grand nombre de

30 PitEAllÈriK PARTIE..

Cfxs, celle appvoxiumlioti MiHit. Mais dans quelques opérations do géodésie, on a besoin d’une apptx>.xinaation beaucoup plus grande; nous verrons bientôt com* inent on peut apprécier les secondes. Dans les observations astronomiques où une grande approximation est toujours nécessaire, on fait u.sage de microscopes, qui pernaettent de distinguer de très-petits intervalles sur la circonférence divisée ; laquelle, d’ailleurs, a une grandeur convenable pour qu’il soit {mssible d’atteindre à un très-grand degré de précision.

On désigne les degrés par un petit zéro placé à droite et un peu au-dessus du nombre qui les exprime; les minutes se désignent par un accent ' , et les secondes |>ai* deux accents Ainsi U9 degrés âl minutes et 28 secondes s’écrivent 69“ 51' 28 '.

- 86. — Dans le système décimal, le quadrans se divise en 100 grades, chaque grade en 100 minutes, et chaque minute en 100 secondes. Par la nature même de cette «ubdivision , un arc s’exprime immédiatement par un nombre décimal de grades; ainsi 38 grades 16 minutes jet 7,secon<les s’écrivent 38 P , 1607, et il suffit pour réduire un pareil nombre en unités de l'espèce inférieure, de transporter la virgule de deux rangs vers la droite. ■Ainsi 38 1CK)7 équivalent à 3816 xù»-, 07, ou à 381607

secondes. » , *

i. Malgré cet avantage particulier au système décimal , l’ancienne division de la circonférence a prévalu. Plusieurs raisons militent en sa faveur. On a souvent besoin de partager la circonférence en parties aliquotes; or le nombre 360 ayant beaucoup plus de diviseurs que le nombre 400, ces parties aliquotes s’expriment plus frér quemment par un nombre entier de degrés que par un nombre entier de grades.

De plus en adoptant la division nouvelle, il eût fallu mettre à la réforme une quantité innombrable d’instruments d’astronomie, de géométrie et de physique construits d’api*ès la division ancienne, et refaire entièrement les tables astronomiques et les tables de logarithmes calculées d’après cette môme division. ; • > . .

Kieu n'est, du reste, j)lus facile que de convertir l’une dans l’autre les expressious ancienne et nouvelle d'un môme arc. Puisque le quadrans contient 100 grades ou 90 degrés; le grade est les du degré. Pour convertir un nombi'e de grades en degrés, il suffit donc de le multiplier par ; et réciproquement, pour convertir un nombre de degrés en grades, il suffit de le diviser par ou, ce qui revient au même , de le multiplier par -V?.

Par exemple 16 ?»•., 25 multipliés par donnent pour produit 14“, 625 ou i exprimant le quotient

en nombre complexe , 14® 37' 30'. ,

Réciproquement 14® 37' 30" reviennent à 14® 2250"; or comme un degré vaut 60 fois 60 secondes, ou 3600 secondes, chaque seconde vaut un 3600' de degré; les 2250 secondes valent donc de degré, et le nombre proposé revient à 14® ||^ , ou , en réduisant la fraction en décimales, à 14®, 625; ce nombre, multiplié par^, donne pour produit 16 ?>••, 25.

37.,— Les arcs étant traduits en nombres, comme nous venons de l’indiquer, il devient facile de les ajouter, de les soustraire, de les multiplier et de les diviser. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de diviser un arc en 5 parties égales, et que cet arc ait pour valeur 27» 17' 45'; on divisera ce nombre par 5, et le quotient 5° 27 33 ' .sera la valeur de l’une des 5 parties cherchées.

S'agit-il de trouver en nombres le rap|)ort de deux arcs donnés, la question sera inunédiatoinent résolue en cherchant combien de degrés, minutes et secondes, ils contiennent ; et s’ils sont incommensurables , leurs valeurs approchées donneront une approximation suffisante du rapport demandé.