V : P : : AB* : ab^ : : A O’ : « o’ : : O H* :oii
ce qui revient à l’énoncé du théorème.
Remarque. On trouve , par des méthodes trigonométaiques, qu’en prenant pour unité d’aire le carré du côté d’un polygone régulier, l’aire de ce polygone est exprimée par les nombres suivants :
Nombre des cdtrs.
Valeur de l'aire.
. . o,433o > . 1,0000 , . i,7ao5 , . 2,5^8 (
Nombre îles côtés.
PREMIKRE PARTIE.
lO
la
etc.
Y.nlrur de l’.iire.
4,Sa84
. ao.iogS etc.
Pour obtenir à l’aide de cette table l’aire d’un polygone régulier d’espèce déterminée dont le côté est donné, il faut multiplier le carré de ce côté par le nombre que fournit la table. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de mesurer la supertioie d’une pièce d’eau , dont la forme est celle d’un octogone régulier de 3»" de côté. Appelons A l’aire cherchée. L’aire de l’octogone régulier qui a pour côté 1 , est, d’après la table ci-dessus, 4,8284. En vertu du théorème précédent on doit donc avoir
d’où A = 9'“ c X 4,8284 = 43'“ «,45.56.
364. — L’aire d’un polygone régulier ayant pour mesure la moitié du produit de son périmètre par son apothème (326) , on obtiendrait sa quadrature en cherchant une moyenne proportionnelle entre la moitié de son périmètre et son apothème.
365. — Théorème. Les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres. Appelons A et a les aires de deux cercles, R et r leurs rayons , D et d leurs diamètres. ÏNous aurons (327)
A = 'îi- X R® et rt = -T X 11 en résulte la proportion
\ a \ \ T Xi f\* : -TT X ,
OU y en supprimant le facteur , commun aun deux termes du second rapport :
De plus , le diamètre él,ant le double du rajon^ on a évidemment
D : : R : r, d’où D* : ri* : : R* ; r*. • . (2)
à cause du rapport commun entre les proportions (!) et (2) , il vient donc
A : rt : : D* : f/*.
366. — Problème. Décrire un cercle dont l’aire soit à celle d’un cercle donné , dans le rapport dexoà n. Appelons R le rayon du cercle donné, x le rayon du cercle cherché; on devra avoir, en vertu du théorème précédent ,
La question est donc ramenée à trouver le côté d’un carré dont l’aire soit à celle d’un carré donné comme m est à n (?wjez le n“ 356).
367. — Problème. Décrire un cercle dont l’aire soit équivalente à la somme des aires de deux cercles donnés. Placez à angle droit les diamètres A B et B C (fig. 294) des deux cercles donnés, et joignez AC, qui sera le diamètre du cercle demandé. Car, si 0 , 1 , 11 sont les milieux des côtés AB, BC, A C, on aura î
Xc' Tb* 4-"bc\ ou 4. TH’ « 4. TÔ* 4- 4.‘bÏ* ; ou , en divisant de part et d’autre par 4,
AH* =» ÂÜ* -f-¥ï* ;
puis, en multipliant de part et d’autre par w ,
-TT X ÂH* = ^ X TÔ’ 4- ’r X
c’est-à-dire
cercle A II = cercle AO 4- cercle BI.
Remarque. Décrivons les demi-cercles knpC., A NB et BPf:. D’après ce qui précède, l’aire du premier équi-
260 premi^:re partie.
vaudra à la somme des aires des deux autres. Mais le premier demi-cercle a avec les deux autres les parties communes AnBA et B;r?C B : il faut donc que les parties restantes soient égales. Or, ces parties restantes sont , d’une part, le triangle ABC, de l’autre, les lunules ANB«A et BPC/>B. Donc la somme de ces lunules équivaut au triangle ABC.
368. — Problème. Décrire un cercle dont Taire soit équivalente h la différence entre les aires de deux ccr~ des donnés. Plaçons les cercles donnés de manière que leurs centres coïncident. Soit O (fig. 295) ce centre. Par un point quelconque A de la circonférence extérieure , menons une tangente A T à la circonférence intérieure : cette tangente sera le rayon d’un cercle équivalent à la différence des cercles donnés , c’est-à-dire à l’aire de la couronne circulaire comprise entre leurs circonférences. Car, si l’on tire les rayons OA et OT, le triangle ATO étant rectangle en T (101) , on aura :
ÂÔ* =ÂT’ -Tôt’ , d’où Aï’ = ÂÔ’ — ÏÏï’ ; ou , en multipliant de part et d’autre par nt ,
^ x'ÂT’ = xXô’ — ^ x’TTr’,
c’est-à-dire
cercle AT = cercle AO — cercle O T.
369. — Le problème de la quadrature du cercle a eu jadis une grande célébrité. Ce problème est au fond le même que celui de la rectification de la circonférence y car si l’on savait trouver rigoureusement une droite de môme longueur que la circonférence, en cherchant une moyenne proportionnelle entre celte droite et la moitié du rayon, on aurait le côté du carré équivalent à l’aire du cercle. En effet, soit c cette moyenne proportionnelle, et R le rayon du cercle , on aurait
2 ■a' X R : c : : c : —, d’où c* = 2 -a- x 1^ X —,
ou c* == w X R*,
c’est-à-dire que le carré qui aurait pour côté c éqqivaudrait à l’aire du cercle qui a pour rayon R.
On démontre que la rectification de la circonférence ne peut s’effectuer par aucune opération graphique rigoureuse. La quadrature du cercle est donc désormais une question oiseuse. En supposant d’ailleui*s sa solution rigoureuse possible, elle ne conduirait pas dans la pratique, vu les erreurs' graphiques inévitables, à une approximation plus grande que celle à laquelle on peut parvenir.
En effet , la relation
c*= 'îtXR* ou c*=« R* X donne c = R X “v»
ouc = R X V^3.141592653589... c=R X 1J724588...
Pour obtenir dans chaque cas le côté du carré équivalent à un cercle, il faut donc multiplier son rayon par le nombre constant 1,7724538... Si, par exemple, le rayon a 10 mètres, le côté du carré cherché aura 10“ X 1,7724538... ou 17“, 724538... c’est-à-dire 17“,724 environ.
370. — A défaut d’une solution graphique rigoureuse de la question , on a cherché des solutions approchées qui permissent , en cas de besoin, d’éviter de recourir aux mesures. On a proposé à cet effet différentes constructions qui fournissent un résultat plus ou moins approché. Nous proposerons la suivante qui conduit à une approximation plus que suffisante.
Soit AMBN (fig. 296) un cercle, AB un diamètre, AT une tangente indéfinie menée à l’extrémité du diamètre. Prenons O I égal à la sixième partie du rayon OB; du point I comme centre , avec une ouverture de compas égale au double du diamètre AB , décrivons un arc de cercle qui coupera la tangente en un point T; joignons TB qui coupera le demi-cercle en un point M : là corde AM sera le côté du carré équivalent au cercle, à moins d’une demi-unité du cinquième ordre décimal.
En effet, pour plus de simplicité prenons le rayon pour unité , nous aurons
