CHAPITRE III

Des angles.

38. — Nous avons vu que deux droites ne i>euveat avoir deux points communs sans coïncider. Lorsque

deux droites ont seulement un point commun, on dit qu’elles se rencontrent , qu’elles concourent , qu’elles se coupent ; et le point commun se nomme leur point de rencontre, de concours, ou d’intersection.

- Deux droites tracées .sur le papier ou sur un tableau peuvent concourir , bien que leur rencontre n’ait pâs lieu par le fait, dans l’étendue de ce tableau; il faut concevoir alors qu’elles se rencontreraient si elles étaient suffisamment prolongées.

I Quand la rencontre a lieu dans l’étendue du tableau , le point de concours se trouve immédiatement déterminé. Il n’en est jamais ainsi pour les droites tracées par alignement sur le terrain ; il est toujours nécessaii'e de marquer par un jalon le point où elles se rencontrent.

■ Soient A B et C D (fig. 15) , deux droites jalonnées; on marche dans la direction de l’une d’elles, de A B par exemple , jusqu'à ce qu’on se trouve en même temps à peu près dans la direction de l’autre; et à l’aide d’un tâtonnement que l'habitude abrège, on parvient facilement à planter un jalon O , tel qu’en regardant derrière ce jalon dans la direction O B , il cache tous ceux qui sont situés sur cette direction; et qu’en regardant derrière ce même jalon dans la direction ÔD, il cache également tous ceux qui sont situés de O en D. Le point O ainsi déterminé est le point d’intersection des droites jalonnées A B et C D.

39. — Deux droites AB, AC (fig. 16), qui se rencontrent en un point A , peuvent s’écarter plus ou moins l’une de l’autre. Ce plus ou moins d’écart est ce qu’on nomme Yan^le des deux droites ; chacune d’elles forme un côté de l’angle , et le point commun A en est le.jowmet.

Pour désigner un angle, on se contente quelquefois de nommer son sommet; on dirait ainsi l’angle Av Mais comme il arrive fréquemment que plusieurs angles ont le môme sommet , on convient de désigner chaque angle par trois lettres, dont l’une est celle du sommet, et dont les deux autres sont prises sur ses côtés; mais on a soin que

colle du sommet soit nommée entre les deux autres. On dira ainsi l’angle B AC ou l'angle CAB indifféi’emment.

Il est important de remarquer que dans la considération des angles on n'a aucun égard à longueur des côtés. Ainsi BAC, D A C, B AE , DAE ne désignent qu’un seul et même angle. Un angle ne varie que lorsqu’on niodiûe la direction de ses côtés.

40. — Deux angles sont égaux loi*squ’ils peuvent être placés de manière à coïncider, c'est-à-dire à avoir même sommet et leurs côtés respectivement dirigés suivant les mêmes droites et dans le même sens.

Si deux angles BOA, B OC (lig. 17) .sont placés comme l’indique la ligure, de manière à avoir même .sommet O, un côté commun O B , et leurs autres côtés situés de part et d’autrodu côté commun , l’angle CO A formé par les côtés OC et OA, est évidemment la somme des angles BOAetBOC.

On voit aussi que l’angle BOA est la différence des angles C O A et B O C.

Imaginons que par le point O (fig. 18) on mène des droites OA, OB-, OC, OD, etc., faisant entre elles des angles égaux BOA, COB, DOC, etc. L’angle C O A sera le double de l’angle BOA; l’angle DO A en sera le triple, et ainsi de suite. L’angle BOA, à son tour, sera donc la moitié de l’angle C O A , le tiers de l’angle D O A , et ainsi de suite.

On voit que les angles sont des quantités susceptibles d’être ajoutées , .soustraites , multipliées et divisées , comme les autres quantités. Mais pour les comparer plus commodément, on emprunte le secours des arcs de cercle, comme nous allons le faire voir.

41. — TuÉonùME. Deux angles- quelconques A O B, DCE (lig. 19) , sont entre eux comme les arcs A B et DE, décrits de leur sommet comme centre avec un meme rayon.

Suppo.sons d’aboixl que les arcs AB et DE aient une commune mesure , et qu’elle soit contenue, par exemple, 4 fois dans AB et 3 fois dans DE. Partageons l’arc A B en 4 parties égales, et l'ai'c DE en 3 parties égales.

34 PREMIÈRE partie!

Par tous les points de division >/i ,n,p,r, s, ‘menons des , rayons. .Te dis d’abord que tous les angles kOm ,niOn, nOp, /?OB, DC/-, / Cr,.vCE, seront (‘gaux entre eux. Considérons en effet les deux angles mOn, et rC.f. Si l’on fait coïncider les circonférences O et C, et qu’on les fasse tourner dans leur plan autour de leur centre devenu commun, jusqu’à ce que les arc» (‘gaux mn et rs coïncident ; il est évident que les rayons qui abouti.ssent aux extrémités de ces arcs coïncideront au-ssi, pui.squ’ils auront respectivement deux points communs; donc les angles mOn et rC ^ coïncideront. On démontrerait de même que l’angle m O n est égal à l’angle DCr; ou que l’angle rC .» est égal à l’angle u O p; et ainsi des autres. Donc tous ces angles .sont égaux.

Or, l’angle A O B contient 4 de ces angles; l’angle DCE en contient 3. Ces deux angles sont donc entre eux comme 4 est à 3. Mais les arcs A B et DE sont aussi entre eux comme 4 est à 3. Les angles sont donc entre eux comme les arcs, et l’on a la proportion.

AOB:DCE::AB:DE.

’ On arriverait à la même conclusion, quelque petite que l’on supposât la commune mesure des arcs A B et DE. Cette conclusion subsiste donc encore si l’on suppose que cette commune mesure soit infiniment petite, c’est-à-dire que les arcs A B et DE soient incommensurables. Ainsi la proportion ci-dessus a lieu quels que soient ces arc.s.

Remarque. Les angles tels que A O B et D C E , qui ont leur sommet au centre d’une circonférence, sont nommés pour cette raison angles au centre ; et le théorème qui précède peut s’énoncer ainsi : Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les angles au centre sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côtés. •

42. — 11 résulte du théorème précédent qu’ô des angles au centre égaux correspondent des arcs égaux, et récipro que ment.

43. — Il résulte du même théorème , que les ai*cs de cercle peuvent éti*e employés à me.surer les angles. Car

GliOMÉ'J’itlJ-: l’LAXE. 35

.si Ton prend pour unité d’angle , l’angle au centre qui conij)rend entre ses côtés l’unité d’arc, de la proportionalité démontrée on pourra conclure qu’un angle au centre quelconque est à l’unité d’angle, comme l’arc compris entre ses côtés est à l'unité d’arc. C’est dans ce sens qu’il faut entendre ce principe : Tout angle au centre a pour mesure Carc compris entre ses côtés.

44. — Kous reviendrons tout à l’heure sur la mesure effective des angles; nous ferons reniarquer auparavant <iue si l’on décrit des arcs de cercle du sommet de différents angles comme centre , avec un même rayon, les opérations à effectuer sur ces angles pourront s'effectuer sur les arcs compris entre leurs côtés , ainsi qu'on va le voir.

4.5. — PnoBLÉMK. Faire un angle égal à un angle donné. Soit DIE (tig. 20) l'angle donné; et supposons qu’il s’agisse de faire en un point O d'une droite donnée X Y un angle égal à DI E. Du point I comme centre, avec un rayon arbitraire, décrivons l’arc de cercle DE. Du point O comme centre, avec le même rayon , décrivons l’arc indéfini AC. Sur cet arc, à partir du point A, portons une ouverture de compas AB égale à la corde de l’arc DE; joignons OB, l’angle BOA sera l’angle demandé. Car les arcs D E et A B ayant des cordes égales sont égaux puisqu’ils sont d’ailleurs décrits du même rayon; les angles au centre DIE et BOA correspondants à ces arcs sont donc égaux aussi.

46. — PnoBLÉviE. Faire un angle égal h la somme de deux angles donnés. Au moyen de la construction précédente, faisons un angle BOA (fig. 17) égal à l’un des angles donnés , puis un angle COB égal à l’autre angle donné. L’angle C O A sera la somme des angles B O A et COB, ou, ce qui revient au même, la somme des deux angles donnés.

Remarque. On pourrait, par les mêmes moyens, faire un angle double, triple d’un angle donné, etc.

47. — PnoBT.ËME. Faire un angle égal h la différence de deux angles donnés, f'aisons un angle CO A (fig. 17) égal au plus grand des deux angles donnés, puis un

3G PUKiMlKHE PARTIE.

angle BOA égal au plus petit , l’angle COB sera égal h leur différence.

48. — Pnoni.ÉME. Divixcr un an^lc donné CO.\ 18) en deux parties éf^alcs. Du point O comme centre, avec un rayon arbitraire, décrivons l’arc de cercle abh' ; divisons cet arc au point h en deux parties égales, et joignons Ob ; les angles au centre b'Ob et bOa seront égaux, puiscpie les arcs bb' eiab compris entre leurs côtés sont égaux.

Remarque I. La droite O B qui divi.se l’angle CO.V en deux parties égales .se nomme la bissectrice de cet angle.

Remarque II. Pour diviser un angle en un nombre quelconque de parties égales, il suffirait de même de diviser l’arc décrit de son soiuniet coimne centre et compris entre .scs côtés.

49. — PnoBLÈME. Trouver en nombres le rapport de deux angles donnés. Du sommet de ces angles comme centre , avec un même rayon , décrivons des arcs de cercle ; cherchons en nombres le rapport de ces arcs (37) ; ce rapport sera celui des angles au centre qui leur correspondent, c’est-à-dire le rapport des deux angles donnés.

De la mesure des angles,

50. — Les problèmes précédents se réduisent à des questions d’arithmétique, lorsqu’on traduit les angles en nombres en les rapportant à une unité de mesure. Pour cela on n’a qu’à étendre aux angles le système de subdivision adopté pour les arcs.

L’angle au centre qui correspond au quadrans sert d’unité principale pour les angles, comme le quadrans .sert d’unité principale pour les arcs. On le désigne sous le nom éé angle droit.

L’angle au centre qui correspond à l'arc d'un degré est évidemment la 90* partie de l’angle droit (41); l'angle au centre qui correspond à un arc d’une minute est la CO® partie de celui qui correspond à l’arc d’un degré, et l’angle au centre qui correspond à l'arc d’une seconde est la 60* partie de celui qui correspond à Tare d’une

CÊ03IÉTRU-; PLANE. 3T

minute. On ne donne point de noms particuliers à ce.s angles, et on les désigne par le nom de l’arc auquel ils ' correspondent : on dit ainsi un angle d’un degré, un angle d’une minute, un angle d’une seconde. On dira de môme un angle de 40“ 17 28*, pour désigner l’angle au centre qui correspond à un arc de 40“ 17' 28”, et ainsi des autres. 11 suit de là que la mesure d'un angle se réduit à celle de l’arc qui lui correspond; mais il est nécessaire d’entrer à ce sujet dans de nouveaux détails.

51. — Pour mesurer les angles sur le papier, on emploie un instrument auquel on a donné le nom de rapporteur. 11 se compose d’un demi-cercle en corne ou eu cuivre(fig. 21), dont la circonférence, nommée limbey est divisée en degrés; cette division suffit dans les opérations de peu d’étendue. Les traits de division sont numérotés de 10 eu 10, ou de 5 en 5, depuis 0 jusqu’à 180“ , tant dans le .sens AM B que dans le sens B MA.

Soit XOY l’angle à mesurer. On porte l’instrument sur cet angle, de manière que son centre tombe au sommet O, et que le diamètre AB coïncide a\ec la direction de l’un des côtés O Y. Le côté O X vient alors couper la circonférence extérieure du rapporteur en un certain point M , et l’on note le nombre de degrés compris entre les points A et M. Ce nombre de degrés est la mesure de l’arc A M, et par conséquent celle de l’angle propo.sé.

S’il s’agit, au contraire, de faire en un point ü d’une droite donnée B Y un angle égal à un angle donné, après avoir mesuré l’angle donné comme nous venons de le dire, on place le diamètre de rinstrument sur la droite B Y, de manière que le centre tombe au point O, qui doit être le sommet de l’angle demandé. On marque sur le plan un point M vis-à-vis de la division du rapporteur qui correspond au nombre de degrés trouvés; on lire OM, et l’angle MO Y est l’angle que l’on demande, puisqu'il a la même mesure cpie l’angle donné.

Quand le rapporteur est en cuivre, la partie intérieure e.st évidée à partir du diamètre jusqu’à une certaine distance du bord , afin que l’on pui.s.se apercevoir les droites sur lesquelles on opère, et au centre de la denii-circon-

Di^ : bv v^ooglc

38 PREMliîRE PARTIE.

fërence se trouve une petite coche qui permet de distinfçuer le point sur lequel on veut placer ce centre.

J Un rapporteur d’un plus grand rayon peut servir à mesurer et à tracer les angles sur les surfaces planes plus étendues , telles qu’un parquet , un mur, etc.

Sur le terrain , on fait usage d’un grand rapporteur qui poiHe le nom de graphomètre (fig. 22). 11 se compose d’un demi-cercle divisé en degrés et demi-degrés ; 1^ traits de division sont numérotés dai^ deux sens comme pour le rapporteur. Ce demi-cercle repose sur un support à trois branches, auquel il est articulé au moyen d’un genou, ce qui ))ennet de donner au limbe de l’instrument telle position qu’on déure par rapport au support. La position convenable dépend de éertairtes conditions que nous n’indiquerons que par la suite, parce qu’il nous serait impossible d’en rendre compte pour le moment d’une manière complète.

' Le diamètre AB du demi-cercle, que l’on nomme la digne de foi, est muni à ses extrémités de deux petites fenêtres appelées pinnules , qui sont partagées dans le sens de leur hauteur par un fil très-fm.

' Lorsqu’on veut établir le graphomètre sur une droite jalonnée, de telle sorte que la ligne de foi soit dans la direction de cette droite , il faut plaoer l'instrument de manière qu’en regardant par la pinnule A au travers de la pinnule B, ou vice vend, le premier jalon visible cache les suhants, et soit coupé lui-môme dans le sens de sa hauteur par les deux ftls des pinnules réunis.

Au centre 0 du demi-cercle est un pivot autour duquel tourne à frottement doux une règle CD, entièrement semblable à la règle AB, et munie comme elle de deux pinnules. Cette règle se nomme alulade; elle porte à l’extrémité C un vernier circulaire qui s’applique exactement' contre le limbe dans toutes les positions de l’alidade.

l’our mesurer à l’aide du graphomètre l’ai^'le formé par deux directions M N , M P ( fig. 23) , il suffit de connaître le sommet M de cet angle , et un point sur chacun de ses côtés. On fait planter en ces points Pi et P deux

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jalons, si toutefois il u'existe sur la direction des droites données aucun objet remarquable qui puisse servir de point de mire. On place l’instrument de manière que le centre du demi-cercle soit précisément au-dessus du sommet M (on verra plus tard comment on peut y parvenir) ; ou dirige la ligne de foi dans le sens de >l N , comme nous l’avons indiqué ci-dessus; on fait ensuite tourner l’alidade jusqu’à ce qu’en regardant par la pinnule D au travers de la pinnule C, on aperçoive le jalon P coupé dans le sens de sa longueur par les fils des deux pinnules réunis. L’arc CB, qu’on peut lire sur le limbe à moins d’une minute près avec le secours du vernier, donne la mesure de l’angle cherché.

Si l’on voulait, au contraire, faire en un point M d’une droite donnée I\1 K un angle égal à un angle donné, on ferait d’abord planter un jalon !N sur la direction de la droite donnée; on placerait, comme ci-des.sus, le graphomètre de telle sorte que son centre se trouvât au-dessus du point M, et que la ligne de foi fût dirigée suivant MN. On ferait alors tourner l’alidade jusqu’à ce que l’arc CB exprimât à moins d'une minute près la mesure de l’angle donné; puis, eq regardant par les pinnules D et C, on ferait planter un jalon sur la direction DC, en faisant varier sa position jnsqu’à ce qu'il se trouvât coupé dans le sens de sa longueur par les fils réunis des deux pinnules. La direction M P formerait avec la droite donnée M W un angle égal à l’angle donné.

Quand on doit opérer sur une grande étendue de terrain, on remplace les pinnules par deux lunettes, dont lune, dirigée suivant l’alidade, se meut avec elle, et dont l’autre reste dirigée suivant la ligne de foi. L’objectif de chaque lunette est garni d’un fil placé comme ceux des pinnules. Kous aurons occasion de revenir sur ce sujet et de parier, d’une auti'e disposition relative à ces lunettes.

53. — L’emploi du graphomètre ne donne la mesure des angles qu’à moins d’une minute, et l’on a quelquefois besoin d’une approximation plus grande; on a recours alors à uæ disposition différente»

Au üeu de ne donner à rinstrimient qu’une demi'-circanférence, on lui donne une circonférence entière, qui est mobile dans son plan autour de son centre. L’alidade petit être fixée au cercle dans une position quelconque , à l’aide d’une vis de pression. Soit X O Y (fig. 24) l’angle à mesurer. Après avoir dirigé la ligne de foi suivant O Y et l’alidade suivant OX, on fixe l’alidade sur le cercle , et on fait tourner celui-ci dans le sens B B jusqu’à ce que l'alidade vienne prendre la direction O Y. La ligne de foi OB a pri.s alore la position OB', et l’arc B B ' est évidemment égal à l’arc G B ; car, dans ce mouvement du limbe , tous les points de la circonférence ont marché de quantités égales. On fixe le cercle dans sa nouvelle position , et l’on ramène l’alidade dans la direction OX; l’angle B G est évidemment le double de l’arc G B. On fixe de nouveau l’alidade sur le cercle , et l’on fait tourner celui-ci dans le même sens que tout à l’heure, jusqu’à ce que l'alidade soit revenue à la direction O Y. La ligne de foi a pris alors la nouvelle position’ OB'; l’angle B' B' est égal à l’arc G B. On ramène l’alidade dans la direction O X , et l’arc B ' G est évidemment le triple de l’arc G B.

En répétant cette opération un nombre suffisant de'

fois, on peut obtenir un arc 10 fois, 20 fois, 60 fois

plus grand que l’arc G B. Le multiple qn’on obtient ainsi est ordinairement composé de plusieurs fois la circonférence, plus une portion de circonféi*ence; et l’on* voit pourquoi le demi-cercle du gi’aphomètre n’aurait pu suifire. Suppo.sons que l’opération ait été répétée 60 fois,* et qu’on ait obtenu un arc total de 4 circonférences, 159 degrés et 17 minutes, que l’on peut apprécier avec' le secoui's du vernier, à moins d'une minute près. Get arc revient à 1599" 17 ; et l’erreur est moindre qu’une minute. Si donc on en prend la 60" partie , on aura l’arc demandé à moins de la 60* partie d’une minute, c’est-à- ‘ dire à moins d'une seconde. On trouverait ainsi que l'arc cherché est de 26" 39' 17', à moins d’une seconde' près.

L’insUniment à l’aide duquel on répète ainsi les angles

prend le nom de r.erc.lç- t^-pctitcnr. Comme son emploi est surtout nécessaire quand on opère sur une grande étendue, l'alidade et la ligne de foi sont toujours munies de lunettes, placées, l'une au-dessus du cercle, et l’autre au-dessous.

54. — Dans les opérations qui réclament de la promptitude et n’exigent pas une grande précision, on peut encore obtenir la mesure des angles, au moyen de la boussole. Nous reviendrons bientôt sur ce moyen.

De quelques propriétés des angles qui ont même sommet.

55. — Lorsqu’une droite O C (fig. 25) en l’encontre une autre A B, de manière à faire avec cette droite, et d’un même côté, deux angles A O G, B OC, ces angles se nomment adjacents.

L’un de ces angles est généralement plus grand que l’autre. Lorsqu’ils sont égaux , ce sont des angles droits. Car, soient les deux angles adjacents égaux A O D, B O D (fig. 25). De leur sommet O comme centre, axec un rayon arbitraire, décrivons une demi -circonférence A D B : les angles A O D, B O D étant égaux , les arcs A D et B D le seront aussi. Chacun d’eux est donc le quart de la circonférence, c'est-à-dire un quadi’ans. Donc les angles A O D et B O D sont droits.

Tout angle, tel que A OC, plus grand qu'un angle droit, est ce qu’on nomme un angle obtus. Tout angle, tel que BO C, moindre qu’un angle droit , est ce qu’on nomme un angle aigu. Quand deux angles adjacents sont inégaux , l'un est obtus et l'autre aigu.

56. — TiiÉonÊME. Im somme de deux angles adjacents A 0 C , B O C ( lig. 25 ) est égale h deux angles droits. En effet, du sommet O de ces angles, avec un rayon arbitraire, décrivons une demi-circonférence A C B : ces angles auront |X)ur mesure les arcs AC et B C, dont la somme équivaut à une demi-circonférence, ou à deux quadrans. La somme des deux angles proposés équivaut donc à deux angles droits.

Remarque. Deux angles dont la somme est égale à deux

42 PREUIKRR PARTIR,

animes droits , sont dits supplément ai tvs ; et t;hàt^tin «feUk est ie supplément de l'autre. D'après le thëor(*tne prtîoédent , deux angles adjacents sont toujours suppléfnen* taires. ’

L’un d'eux étant connu , on en déduit surde-chaïup l’autre. Si, par exemple, on demandait le supplément de l’angle COB, il suffirait de prolonger B 0 ; et l’iangle C 0 A serait le supplément demandé. Si c'est la mesure de l’un de ces deux angles qui est donnée, on en déduit la mesure de l'autre, en retranchant celle du premier de 180°, qui forment la mesure de deux angles droihi. Si l'un de ces angles était, par exemple , de 32“ 47 , l’autre aurait pour valeur ISO’moins 82*47', c’est-à-dire 147* 13'.

57. — Théorème. .S> fieux angles A O C , BO C (fig- 25), oÿ'anl même sommet et' un côté commun OC, valent eit somme deux angles droits, leurs côtés extérieuri A OetBO sonten ligne droite. Car, si du point Ocommeocntre, avec UQ rayon quelconque, on décrit un arc A CR, cet are i^uiyaiictra/ à deux qiiadrans; donc ce sera nnedemii^irconférence ; donc A O B sera un diamètre (82 , coi’oU.) ; par conséquent, A O et B O sont en ligne droite.

, 58. — Théorème. La somme de tous les angles A O R, BOC, COD, DOE (fig. 26), /brméf d'un même côté d'un^ droite A E , <•/ ayant pour sommet un même point de cette droite , est égale h deux angles d/vitSi Car, si dtl pqiut O comme centre, avec nn rayon arbitraire, ou décrit une demi -circonférence ABCDE, les angles AÔB, BOC, COD, DOE, auront respectivement pour mesure les arcs A B, B C , C D, D K , dont la somme équS«vant à deux quadrans. La somme de ces angles équivaut donc à deux angles droits. .

59. — Théorème. La somme de tous les angles AOB, BOC, COD, DOE, EOA( fig. 27 ) formés autour d’un même point O, éqtdvaut à quatée angles droits. Car, si' du point O comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit une circonférence, ces angles auront respectivement pour mesure les arcs A B, B C , C D, D B , E A , dont la somme équivaut à quatre quadrans. La somme de ces angles équivaut donc à quatre angles droits.

GÉOMÉTRIE PLAXE. 43

60. — Théobéme. Lorsque deux droites A B, C D(fig. 28) se coupent mutuellement, les angles opposés pat le som^ met sont égaux. En effet, la somme des angles AOC et COB équivaut à deux angles droits (56); il en est de même de la somme des angles CO B et BOD. Ces deux sommes sont donc égales, et l’on a

AOC-l-COB = COB-hBOn;

et en retranchant de part et d’autre COB, il reste A O C = BO D. On démontrerait de même que COB égale AOD.