Problème. J)' un point donné hors d’un plan

abaisser une perpendiculaire sur ce plan. Il serait possible de résoudre pratiquement ce problème avec la double équerre, si lecôté A O (fig. 334) était suffisamment élevé. 11 suffirait pour cela de poser les côtés O B et OC sur le plan donné, et de faire glis.ser l’instrument sur le plan, jusqu’à ce que le côté O A vint passer par le point donné ; ce côté O A serait alors la perpendiculaire demandée. Mais s’il y a impossibilité à se servir de l’instrument, on pourra recourir au procédé qui suit. Soit 31 N (fig. 333) le plan donné, et A le point donné hors de ce plan (il faut suppo.ser que ce point appartienne à un système .solide, et que sa po.silion soit invariable dans l’espace). Fixez au point A l’extrémité d’un cordeau de longueur déterminée, armé à son autre extrémité d’une pointe à tracer. Faites mouvoir ce cordeau tendu , de manière à décrire sur le plan donné la circonférence BCD, ou du moins une partie de cette circonférence. Cberchez-en le centre O; ce point .sera le pied de la perpendiculaire demandée (408 , Rem.). À

Au lieu d’un cordeau, on pourrait employer une perche, une règle, ou même un compas, suivant la distance du point donné au plan donné.

411. — Problème. Par un point O, donné sur une\droite AA' (fig. 330), mener un plan perpendiculaire a cette droite. Suivant la droite donnée, conduisez deux plans quelconques. Dans l’un de ces plans , menez O B perpendiculaire à AA', et dans l’autre, menez OC, également perpendiculaire à AA'. Par les droites OB et OC, faites pa.sser un plan , ce plan sera perpendiculaire à la droite donnée AA', puisqu’il contient deux perpendiculaires OB et OC menées à cette droite par un même point O (401 , Coroll.).

Applications. Ce procédé est précisément celui que les charpentiers emploient pour couper une pièce de bois, i>erpendiculairement à rintei*seclion de deux de

298 SECONDS PAUTIli. r

ses faces planes latérales. Soit AD (fig. 337) cfette Intersection ; par le point O donné sur cette droite , l’oilvrier élève, dans l’iine des faces de la pièce, O B perpendicn- laireà AD; il élève de même, dans l’autre face, OC perpendicidaireà AD. 11 donne alors un trait de scie suivanl les droites O B et OC; le plan déterminé par la scie esl perpendiculaire à A D.

Remartjuons que les plans à conduire suivant AO , d’après la construction ci-dessus indiquée^ se trouvent tout conduits dans l’exemple que nous venons de choisir : ce sont les faces mêmes de la pièce de bois.

Le même procédé est mis en pratique dans la coupé des pierres.

412. — Pruuléme. Par un point B (fig. 336) donné hors d'une droite A A', mener un plan perpendiculaire à cette droite. Par le point B et par la droite AA' conduisez un plan; dans ce plan, abaissez BO perpendiculaii'e sur AA'; suivant cette droite, condui.sez un second plan quelconque, et dans ce plan élevez OC perpendiculaire à AA'. Suivant les droites BO et OC faites passer un plan ; ce sera le plan demandé; car il contient BOet OC toutes deux perpendiculaires à A A’ (401 * Coroll.).

AppLic.iTio:\8. Ce procédé est encore celui que les charpentiers emploient. Supposons que par le point B (fig. 337) il s’agisse de mener un plan perpendiculaire à l’inter-section Al) de deux faces planes contiguës d’une pièce de bois. L’ouvrier abaksse tlu point B sur AD une perpendiculaire B O; puis, au point O, dans la facecoiptiguë , il élève la perpendiculaire OC. 11 donne alors un trait de .scie suivant les droites O B et OC ; le plan déterminé par la scie est perpendiculaire à AD.

Les deux premiers plans à conduire, d’après l’énoncé «le la construction ci-dessus indiquée, se trouvent ici tout conduits.

La même construction est pratiquée dans la coupe des pierres.

413. — Théorème. Si par le pied O (fig. 338) d’une droite A O perpendiculaire à un plan M N , on abaissé O D perpendiculaire à une droite quelconque B C menée

GÉOAIKTRIE DAK8 l'eSPACI;. 299

dans ce plan , et qu’on joigne A D , /a droite A I> sera perpendiculaire à BC. En effet, prenons sur la droite BC un point quelconque B; joignons O B et A B. Par supposition, les triangles AOD, AOB et ODB seront rectangles, et l’on aura :

AD’ = ÂÔ’ -h ÔD’

ÔB’ = ÔD’ + DB’

AB’ = AÔ’ + Wb\

Si l’on ajoute membre à membre les deux dernières égalités, et qu’on en retranche la première , on obtient

ÂB’4-ÔB’-lü5’=liO’-hÔB’-4-ÔD’+DB’— ÂÔ’~ ÔD égalité qui se réduit à

TB’— "ÂD’=ÔD’, . {

d’où

AB’=ÔD’-f-ÂD’, - ••

c’est-à-diro que le triangle AD B est rectangle en D, et que par conséquent AD est perpendiculaire à BC. ,

. 414, — Réciproquement : soit CB (fig. 338) une droite quelconque, tracée dans un plan iMN , et DO une perpendiculaire menée à cette droite dans ce plan. Suivant BC, conduisons un plan quelconque; dans ce plan élevons DA perpendiculaire à BC. Suivant DA et DO conduisons un plan; et dans ce plan élevons au point O, ou abaissons du point A, la droite AO, perpendiculaire sur DO. Je dis que cette droite AO sera perpendiculaire au plan M N. ^

En effet, prenons sur BC un point B quelconque;

joignons B O et B A. D’après la construction, les triangles ODB, ADB et AOD sont rectangles, et l’on a ,

OB’=ÔD’-t-^’, ■

XB’=è.ÂD^H-'DB% - - ' '

‘ , Xd’ =Tô’ +ÔD’. f

3(X) SFCOWDE PARTfE.

Si l’on ajoute membre h membre les deux dernières égalités, et qu’on en retranche la première, il vient:

égalité qui se réduit à

■aB*— “OB*=XÔ%

d’où