CHAPITRE III

Des droites parallèles entre elles dans l’espace , et des droites parallèles à des plans.

‘415. — Théorème. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles entre elles. Soient AO et ED (fig. 339) deux perpendiculaires à un même plan MN; je dis que ces droites sont situées dans un même plan et ne sauraient se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge, c’est-à-dire que ces droites sont parallèles.

Pour le prouver, joignons OD; menons, dans le plan MN, la droite BC, perpendiculaire à OD; et joignons le point D à un point quelconque A de la droite AO. En •vertu du théorème du n® 413, AD sera perpendiculaire

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sur BC. Mais BC est aussi perpendiculaire sur OD par construction, et à ED puisque cette dernière est perpendiculaire au plan M IV (401). Or, les trois droites ]) O, D A , DE , menées par un même point D de la droite B G, perpendiculairement à cette droite, sont dans un même plan (401 , (]oroll.) , et la droite AO est aussi dans ce plan , puisqu’elle y a deux points A et O.

Maintenant les droites AO et ED, qui sont dans un même jdan, comme nous venons de le démontrer, ne peuvent se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge, puisqu’elles sont toutes deux perpendiculaires à une même droite 01). Ces droites sont donc parallèles.

416. — Théorème. Si deux droites sont parallèles , tout plan perpendirAilaire à l’une est aussi perpendiculaire a l’autre. Soient AO et ED (lig. 339) deux droites parallèles , et soient M N un plan perpendiculaire à A O ; je dis qu’il sera aussi perpendiculaire à ED.

Pour le prouver, joignons O D; menons, dans le plan M N, la droite B C , perpendiculaire à O D ; et tirons A D, En vertu du théorème du n° 413, AD sera perpendiculaire à BC; mais déjà BC est perpendiculaire à OD; la droite BC sera donc perpendiculaire au plan des droites AD et OD. Or, les droites AO et ED étant parallèles, sont dans un même plan (399), et ce plan coïncide avec le plan des droites AO et OD, puisqu’ils ont trois points communs A ,0, D. Donc BC est au.ssi perpendiculaire à ED.

iNIais, dans le plan A ODE, la droite OD, perpendiculaire à AO, est aussi perpendiculaire à sa parallèle ED. 11 en résulte que ED est perpendiculaire à la fois aux deux droites ODetDC, qui passent par son pied dans le plan MA' ; donc elle est perpendiculaire à ce plan.

Applicatio.v. Si une pièce de bois offre une face plane AB CD (lig. 340) , terminée par des bords parallèles AB et CD, et que cette pièce de bois ait été coupée au point!), perpendiculairement à la ligne CD (nous avons vu plus iiaut(4! I) comment cette section s’opère), le plan DBEF étant perpendiculaire à CD, sera aussi perpendiculaire à sa parallèle AB. Ainsi les angles ABD et ABE seront droits.

«ECOîfDE PARTIE.

417. — Théorème. Deux droites AO, ED (fig. 339) parallèles à une troisième FG, sont parallèles entre elles. Car, si l’on mène un plan MN perpendiculaire à FG, il sera aus.si perpendiculaire à ses parallèles AO et E D (416). Mais deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèle» entre elles (41S); donc AO et ED sont parallèles.

418. — ThéÔréme. Par un point O (fig. 841 ) pris hors d une droite CE , on ne peut lui mener qu’une seule parallèle OA. Supposons, en effet, qu’on puisse mener par le point O une seconde droite OB parallèle à C-E. Par le point O , menons un plan M M perpendiculaire à CE ;

' ce plan sera en même temps perpendiculaire à ses parallèles O A et O B. Or, par un point O, pris sur un plan M N , on ne peut lui élever qu’une seule perpendiculaire. 11 est donc absurde de sup|x»scr que O B puisse être parallèle à CE.

419. — Problème. Par un point donnée mener une parallèle à une droite donnée. La solution de ce problème se réduit à conduire un plan par le point et la droite donnés, et à mener ensuite dans ce plan une parallèle à cette droite par le point donné, à l’aide de l’un des procédés indiqués dans la Première Partie.

Dans la pratique , le point donné est presque toujours situé sur une surface plane qui doit contenir la parallèle cherchée , et qui offre , en outre , avec la surface où se trouve la droite donnée , des relations de position qui permettent de résoudre le problème sans être obligé de conduii’e un plan par le point et la droite donnés. Nous rencontrerons, par la suite, plusieurs questions où cette circonstance se présente.

420. — Théorème. Une droite (fig. 842) parallèle à une autre droite CD> menée dans un plan MN,’ ne peut rencontrer ce plan quelque loin qu’on les prolonge. Ces deux droites étant parallèles, sont dans un même plan, qui coupe le plan MN suivant la droite CD. Bi donc la ligne AB , qui appartient au pian A B CD, rencontrait le plan M N , ce ne pourrait être qu’en un point commun à ces deux plans, c’est-à-dire en un point de

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leur intersection CD. Or AB ne peut rencontrer CD, puisque ces droites sont parallèles; donc AB Pe peut* rencontrer le plan M N. j, j

Remarque. Lorsqu’une droite et un plan sont situés de telle sorte qu'ils ne puissent se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge , la droite est dite parallèle au plan, et le plan parallèle à la droite. Le théorème précédent peut alors s’exprimer ainsi ; Toute parallèle à une droite menée dans un plan , est parallèle à ce plan.

Corollaire. Celte proposition conduit à la suivante, qui n’en diffère que par la forme : Lorsque deux droites sont parallèles , tout plan mené suivant l’une d’elles est parallèle à l’autre.

431. — Théorème. Si une droite AB (fig. 842) est parallèle il un plan M N , ci que par cette droite on mène un second plan qui coupe le premier^ leur intersection sera une droite CD, parallèle à AB. Car si les droites AB et CD, qui sont dans un même pian, avaient un point commun , ce point , appartenant à CD, appartiendrait au plan MN qui contient CD. La droite AB et le plan MN auraient donc un point commuu, ce qui est contraire à la supposition. üi

Applications. I. Si l’on dispose le bord AB d’une table (fig. 343) supposé rectiligne, parallèlement à une des lignes de la bordure de la tapisserie, et qu’on place Rur cette table une bougie allumée , de telle façon que l’ombre de la table se projette sur la muraille, la ligne de séparation ab, entre l’ombre et la partie éclairée, sera, d’après le théorème précédent, une droite parallèle au bord de la table; et , comme ce bord est aussi parallèle à T une des lignes de la bordure, celle-ci sera parallèle kab (417), et c’est ce qu’on observe , en effet.

II. Deux droites A B, CD (fig. 344), parallèles entre elles et au plan du tableau MN, restent parallèles en perspective. Car le plan des rayons visuels, menés aux différents poipts de AB , coupe le plan M N , suivant une droite a parallèle à AB. De même le plan des rayons visuels, menés aux différents points de CD, coupe le plau du tableau, suivant une droite cd parallèle à CD.

Doue cd est aussi parallèle à AB, et par conséquent * à «6 (417).

422. — Théorème. Si une droite AB (fig. 342) est parallèle à un plan MN, toute droite E F parallèle à A B est aussi parallèle au plan MN. En effet, si l’on mène suivant AB un plan quelconqué, il coupera le plan M N suivant une droite CD parallèle à AB (421). Les droites EF et CD, toutes deux parallèles à AB , sont donc parallèles entre elles (417). La droite EF étant parallèle à une droite CD menée dans le plan MN, est donc parallèle à ce'plan (420).

CoRoixAiRE I. De celte proposition résulte la suivante , qui n’en diffère que par la forme ; Si deux droites sont parallèles , tout plan parallèle à Vune est en même ' temps parallèle a l'autre,

CoROr.EAiRE II. Si un plan est rencontré par une droite y il est rencontré également par toutes les parallèles h cette 'droite. Car si l’une d’elles ne le rencontrait pas, elle lui serait parallèle; il en serait donc de même de toutes les autres, d’après le théorème ci-dessus, et en particulier de la droite donnée elle-même , ce qui est contraire à la supposition.

423. — Application. Les propositions qui précèdent servent à démontrer le principe fondamental de la perspective, savoir, que : deux droites parallèles entre elles y mais qui ne sont point parallèles au plan du tableau, ^concourent en perspective.

Soient, en effet, AB et CD (fig. 345) deux droites parallèles entre elles, mais qui ne sont point parallèles au plan du tableau MN, et soit O l’œil du spectateur. Par le point O, menons une parallèle à AB; puisque AB n’est point parallèle au'plan MN, sa parallèle, menée par le point O, ne sera pas non plus parallèle à ce plan (422, Coroll. II), et le rencontrera en un certain point P.

Les parallèles AB et OP déterminent un plan, qui coupe le plan MN suivant une droite 6P. Les rayons visuels menés du point O aux différents points de A B, étant tous contenus dans le plan A B OP, puisque eha-

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cun d’eux y a deux points, ne peuvent rencontrer le plan M N cfu’en quelque point de la droite bP; celte droite est donc la perspective de la droite AB. On démontrerait de la même manière que la perspective de CD est une droite dP. Ainsi les perpectivcs des deux droites parallèles AB et CD concourent au point P.

On voit en même temps que pour obtenir le point de concours P, il suffit de mener, par l’œil du spectateur, une parallèle aux droites proposées; le point où celle parallèle rencontre le plan du tableau est le point de concours demandé.

424. — Théorème. Si une droite A B (fig. 342 ) est parallèle à un plan M N , toute ligne C D , menée par un point C de ce plan, parallèlement « A B , est contenue tout entière. Car, si par la droite AB et le point C on conduisait un plan, il couperait le plan MIV suivant une parallèle à AB (421). Or, par un point pris hors d’une droite, on ne peut lui mener qu’une seule parallèle. Il faut donc que CD soit tout entière dans le plan M N.

42.5. — Théorème. Toute droite A B (fig. 340) parallèle à deux plans MN er P Q qui se coupent, est parallèle à leur intersection CD. Car, si par le point C on menait une parallèle à A B, en vertu du théorème précédent, elle serait contenue tout entière dans le plan IM N et dans le plan PQ. Cette parallèle n’est donc autre chose que l’intersection C D des deux plans.

426. — Théorème. lorsqu’une droite A B ( fig. 342) est parallèle h un plan M N , tous les points de cette droite sont à égale distance de ce plan. Car, soient A C et B D les perpendiculaires abaissées des points A et B sur le plan MPi. Ces droites, perpendiculaires à un même plan, sont parallèles (415), et déterminent un plan , qui contient AB, puisque cette droite y a deux points; et qui coupe le plan MN suivant une droite CD parallèle à A B <421). La figure AB CD est donc un parallélogramme rectangle, et l’on a AC = BD.

Remarque. La véritable distance d’une droite à un plan qui lui est parallèle est la longueur de la perpen-

; 306 StCONÔE t>AfttiE.

plan; car celte distance est la mf*me pour tous les points de la droite ; et d’ailleurs 'toute oblique serait plus longue.

427. — Problème. Trouver la plus courte distance dé deux droites qui ne sont point dans un même plan. Soient A B et Cl> ( fig. 847) les deux droites proposées. Par un point quelconque E de la droite CD, menons une pa-* rallèle FG à la droite AB. Les droites C D et F G , qui se coupent, détermineront un plan MIN. D’un point quel-i conque H, de la droite AB, abaissons HI perpendicu-* laire sur ce plan. Par le pied 1 de celte perpendiculaire, menons 1 K parallèle à F G , et par conséquent aussi à A B. La droite IK rencontrera CD en un point L, sans quoi AB et CD seraient parallèles. Les droites A B et 1 K étant parallèles, sont dans un même plan, qui contient la droite H I ; si donc > dans ce plan , on élève au point L une perpendiculaire à IK, cette perpendiculaire rencontrera la droite A B en un certain point P. Je dis qu6 la droite LP sera la plus courte distance demandée.

En effet, H I, perpendiculaire au plan MK, est perpendiculaire à la droite IK, menée par son pied dans ce plan. Les droites HI et PL, situées dans un même plan, et perpendiculaires toutes deux à une même droite IK, sont donc parallèles entre elles. La figure II IL P est donc un rectangle, et PL est perpendiculaire à AB. La droite H I étant d’ailleurs perpendiculaire au plan MN, sa parallèle PL est aussi perpendiculaire à ce plan, et par conséquent à la droite CD^ qui passe par son pied dans ce plan. Ainsi PL est perpendiculaire à la fois aux deux droites données AB et CD.

Cela posé , je dis que toute autre droite Cm, qui join^ drail deux points C et m , pris sur les droites proposées , serait plus longue que PL; car, si dans le plan on abaisse mn perpendiculaire sur IK, cette droite, parallèle à H I , sera perpendiculaire au plan M N , et plits courte par conséquent que l’oblique C m. Or, m n — PT. , comme ])arallèles comprises entre parallèles; donc PL est moindre (pie C m.

GÉOMIÎTRIE DAirS tfPMPACF.. âOt

La droite PL est donc la plus courtè distdnce de^ deux droites AB et Cl).

Remarque. La plus courte distance de deux droites est, connue on pouvait s’y attendre ^ leur perpendiculaire commune; et l’on voit que, quelle que soit la position des droites données , on peut toujours déterminer celte perpendiculaire.