CHAPITRE V

Des angles dièdres. ■ ■

431. — Lorsque deux plans se rencontrent, ils peu- Tent s’écarter plus ou moins l’un de l’autre. Ce plus ou moins d’écart est ce que l’on nomme l’angle de ces deux plans. Mais pour distinguer les angles de cetlc espèce, de ceux que forment les droites entre elles, on donne aux premiers le nom à' angles diètlres , et l’on affecte aux angles formés par les droites qui se rencontrent , la dénomination à'angles plans.

La considération des angles dièdres joue un rôle aiis.si important dans la forme des corps terminés par dos surfaces planes , que celle des angles plans dans la forme

des polj^gones. Ofi Irpuve une preuve frappante de son importance dans la ci'istaliugrapUie , c'est-à-dire dans la science qui enseigne à classer les suMances minérales d’après les formes géopiétriques qu’elles affectent. Toujours les mêmes substances se présentent ou avec des formes identiques, ou avec des formes liées entre elles par des rapimrts déterminés, et danscbaçune desquelles les angles dièdres sont constants. En sorte qu’il suffit de la mesure de ces angles pour décider à quel système crisr tallin on doit rapporter une substance donnée; et en s’aidantd’un petit nombre d’autres caractères physiques, on détermine bientôt l'espèce minérale à laquelle apparr tient le cristal qu’on examine.

432. — Eorscjae deux plans forment un angle dièdre , cliacun d’eux est ce que l’on nomme l’une des faces de l’angle dièdre ; et la ligne d’intersection des deux plans est V arête de cet angle. " ’-l

Pour désigner nu angle dièdre, on emploie ordinairement quatres lettres , dont les deux moyennes sont prises sur son arête, €ît les deux extrêmes sur chacune dè ses faces. Ainsi l’angle dièdre que représente lafigure 850 pourrait être désigné de l’une quatre manières suivantes ; ' ■ '^1 ''i

ADC F, FCDA, 3CDE, EDCB.

La grandeur des faces d’un angle dièdre n’influe en rien sur la valeur de cet angle; de même que la longueur des côtés d’un angle plan n’influe en rien sur sa valeur.

4S3. — La mesure d’un angle dièdre se ramène faciles ment à celle d’un angle plan. Pour cela , par un point de son arête, on élève, dans chacune de ses faces, une tierpendiculaire à cette arête : l’angle que forment eqr tre elles ces deux perpendiculaires peut servir de mesure à l’angle dièdre. Si l’on suppose, par exemple, que DA et DE (fig. 350) soient toutes deux perpendiculiares à CD, l'angle A DE servira de mesure à l’angle dièdre A D C F , et ce sera ce qu’on appelle , pour abrégefi son ftngle plan.

GÉOAIÉTRIJÎ DAJV8 LJÏJiPACE. 311

Voici luaimlenaut sui’ quoi se fonde ce mode de mesure.

4" 4. — JVabüi'd , quelque point de l’arête que l’on choisis.se j)our lui élever une peri)eiuliculaire dans chacune des faces de l’angle dièdre, l’angle de ces perpendiculaires sera toujours le même; car, si CB et CF sont deux autres perpendiculaires à CD, les droites DA et C B étant parallèles entre elles , puisqu'elles sont situées dans un même plan et perpendiculaires à une même droite C D ; et les droites D£ et CF étant aussi parallèles entre elles par la même raison , il en résulte que les angles ADE et BCF sont égaux (428).

En second lieu , l’égalité de deux angles dièdres entraîne celle de leurs angles plans, et réciproquement. En effet, soient deux angles dièdres MCDN, medn (fig. 3Ô1) , et soient A OB, aob leurs angles plans , c’e.stà-dire, suj)posons queO A soit mené dans la face DM et O B dans la face C N, toutes deux perpendiculairement à CD ; et que ao soit mené dans la face d w , ci ob dans la facec«, toutes deux i)erpendiculairement à cd. (Il a fallu , dans la figure , donner une grandeur limitée aux faces des deux angles dièdres; mais il ne faut pas perdre de vue (jue ces faces j)euvent être j)rolongées par la pensée autant qu’on le voudra, sans rien changer aux raisonnements qui suivent. )

.Te dis, 1”, que si les angles dièdres MCDN, medn sont égaux, les angles j)lans AOB et aob sont égaux aussi.

Pour le prouver, transportons l’angle dièdre medn sur l’angle dièdre MCDN, de manière que leurs arêtes cd et CD coïncident, et que le point o tombe sur le point O , ce qui sera toujours j)ossible. Faisons ensuite tourner l'angle dièdre medn autour de son arête jusqu’à ce (jue la face dm vienne coïncider avec la face DM. Les droites ao et AO seront dans un même plan , et toutes deux perpendiculaires en O à l’arête C D deve-» nue commune ; ces deux droites coïncideront par conséquent. Mais puisque les deux angles dièdres sont égaux, que leurs arêtes et deux de leurs faces coïncident, et

que d’ailleurs on les suppose semblablement placés ^ il faut que les deux autres faces coïncident aussi. Les droites O A et O B sont donc dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires en O à l’arête coninuine CD ; donc ces deux droites coïncident. Par conséquent les angles plans aob et AOB coïncident, et sont égaux.

.Te dis, 2", que si les angles plans aob et AOB sont égaux, les angles dièdres medn^ MCDN sont égaux aussi.

Pour le prouver, plaçons, comme ci-dessus , l’angle dièdre medn sur l’angle MCDN, de manière que les arêtes cd et(^D coïncident, ainsi que les faces et M D , et que le point o tombe au point O; les droites oa et O A coïncideront comme nous l’avons prouvé. IMais les quatre droites O A , OB ,o a-,ob, toutes quatre perpendiculaires à l’arête CD devenue commune, sont dans un même plan perpendiculaire à celte arête (401 , Coroll.). Or, puisque les angles « o et AO B , qui sont dans le même plan , semblablement placés, et ont même sommet et un côté commun OA, .sont égaux, il faut que les côtés o ô et O B coïncident. Les faces en et CN ont donc deux droites communes, O B et OC, qui se coupent; donc ces faces coïncident, puisque deux droites qui se coupent déterminent un plan. Donc les angles dièdres m cdn et MCDN coïncident , et sont égaux-

Enfm :

435. — Théorème. Deux angles dièdres quelconques sont entre eux comme leurs angles plans. En effet , quels que soient les angles dièdres proposés , on peut toujours , en transportant convenablement l’un d’eux, ainsique nous l’avons fait tout à l’heure, les amener à avoir même arête , et une face commune. Soient MDEN et 1\IDEP (fig. 3Ô2) les deux angles dièdres proposés ainsi placés.

Par un point O de l’arête commune D E , élevons dansles faces ME, DN, DP, les perpendiculaires OA, OB, OC. Les angles AOB, A OC seront les angles plans cor-respondanls aux angles dièdres proposés. Dans le plan des perpendiculaires O A ,0 B, OC, décrivons, du point

GÉOMl^TRIE DANS i/eSPACE. 343

O comme centre, avec un rayon arbitraire, l’arc de cerfcle abc. Supposons que les arcs abç\. ac aient une commune mesure, qui soit contenue, par exemple, 3 fois dans a 6 et 5 fois dans ac.

Divisons ac en 5 parties égales, a b contiendra 3 de ces parties. Par tous les points de division menons des droites au point O ; ces rayons partageront l’angle «Oc en 5 angles égaux, puisqu’ils auront même mesure; l’angle aO A en contiendra 3. Enfin par tous ces rayons et par l’arête DJi faisons passer des plans; ces plans parlagoront l’angle dièdre MDEP en 5 angles dièdres égaux , puisque leurs angles {dans seront égaux ; l’angle dièdre MDEIV en contiendra S. Les angles dièdres proposés MDEN et MDEP sont donc entre eux comme 3 est à 5; mais les angles aOb et aOo sont aussi entre eux comme 3 est à 5; à cause de ce rapport commun , les angles dièdres sont donc entre eux comme les angles plans, et l’on a la proportion

MD EN : MDEP:: AOB: AOC.

Ces raisonnements ne sont pas particuliers aux nombres 3 et 5 , et la proj>ortion subsisterait, quelque petite qqe l’on supposât la commune mesure entre les arcs ab et ne. Cette {îroportion subsistera donc encore si l’on sup|)ose cette commune mesure infiniment petite, c’està-dire si l’on su|>pose que les arcs ab etac soient incommensurables. Ainsi le théorème est général,

436. — Lorsque deux plaps MR, N S (fig. 353) se traversent mutuellement, ils forment quatre angles dièdi •es , qui ont pour arête commune la droite d’intersection EF, savoir :

N EF P, PFEQ, QEFM, MF EN.

Si par un point O de l’arête commune on élève dqns le, s différentes faces de ces angles dièdres les perpendiculairesOA, OB,OC, OD,ces |)er|)endiculaires seront dans un même |)lan, et les quatre angles dièdres seront mesurés par les quatre angles plans AOB,BOC, COD, DOA.

Si les quatre angles plans sont égaux , les quatre an»

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glcs dièdres le sont aussi. Dans ce cas les angles plans sont droits, et les angles dièdres correspondants se nomment aussi des angles dièdres droits.

L’angle dièdre droit sert d'unité d’angle dièdre, comme l’angle droit ordinaire sert d’unité d’angle plan, ou comme le quadrans sert d’unité d’arc.

L’angle plan qui sert de mesure à un angle dièdre , ou plutôt l’arc de cercle qui sert de mesure à l’angle plan, pouvant s’exprimer en degrés , minutes et secondes , rien n’empêche de prendre cette expression pour la mesure même de l’angle dièdre. Mais il faut avoir soin de se souvenir qu’elle n’exprime qu’une simple proportionnalité. Dire , par exemple , que la valeur d’un angle dièdre est de 40”! 7', c’est dire que cet angle dièdre est à l’angle dièdre droit comme l’arc de 40° ,17 est à l’arc de 90° , ou au quadrans.

437. — Les quatre perpendiculaires OA, OB, OC, OD , étant dans un même plan , on peut appliquer aux quatre angles dièdres tout ce que nous avons dit des angles formés par deux droites qui se coupent. Ainsi :

Les angles dièdres adjacents y c’est-à-dire formés par l’un des deux plans d’un même côté de l’autre, comme MF EN et NÉFP, valent en somme deux angles dièdres droits.

Les angles dièdres opposés par le sommet, tels que M F E N et P F E Q , sont égaux.

On démontrerait sans peine que la somme totale de tous les angles dièdres que l’on peut f ormer autour d’ une même arête , équivaut h 4 angles dièdres droits;

Que si deux angles dièdres , qui ont une même arête etune face commune , valenten somme , deux angles dièdres droits, leurs faces extérieures sont dans un même plan , etc. , etc.

Mesure des angles dièdres. .

: 438. — Pour mesurer les angles dièdres , on emploie dans les arts un instrument auquel on donne le nom de fausse-équerre. U se compose de deux règles , A B et

GÉOMÉTRIE DANS l’kSPACE. 315'

AC (fig. 354), réunies à l’une de leurs extrémités par un axe ou pivot autour diupiel elles peuvent tourner à frottement doux , de manière que leurs arêtes extérieures AB et A'C, et leurs arêtes intérieures ab c\.ac qui sont parallèles aux premières, puissent prendre l’une à l’égard de l’autre toutes les inclinaisons possibles. Pour se servir de cet instrument , on trace sur chacune des deux faces de l’angle dièdre à mesurer, à partir d’un même point de son arête, une perpendiculaire à cette arête. On pose ensuite la fausse-équerre achevai sur l’arête en question, de façon que les bords intérieurs «Z» et «c coïncident avec les perpendiculaires tracées. L’angle de ces droites ah et^c est la mesure de l’angle dièdre proposé : il ne s’agit plus que de rapporter cet angle sur ce plan, pour pouvoir le mesurer au rapporteur.

A cet effet , on choisit une surface parfaitement plane , terminée par un bord rectiligne solide, une table, par exemple. On applique exactement l’arête intérieure a b de la fausse-équerre contre le bord de la table , et l’on fait coïncider la règle A'C (fig. 355) avec le plan de cette table. On fait alors glisser une pointe à tracer le long de l’arête «c; l’angle que forme la droite tracée avec le bord de la table, est l’angle qui sert de mesure à l’angle dièdre; et il peut être évalué à l’aide du rapporteur.

Il peut arriver qu’on ait à mesurer un angle dièdre dont les faces ne soient accessibles que par leur superficie interne ; tels sont les angles dièdres formés par la surface interne des murs d’un appariement. Dans ce cas, on ne peut plus mettre la fausse-équerre à cheval sur l’arête de l’angle à mesurer. Mais alors, après avoir tracé, comme précédemment, sur deux faces de l’angle dièdre , et par un même point de son arête, deux perpendiculaires à celte arête, on fait coïncider avec ces perpendiculaires les bords extérieurs A B et A'C (fig, 350) de la fausse-équerre. On transporte ensuite l’instrument sur une surface plane, comme nous l’avons indiqué tout à l’heure, pour obtenir la mesure de l’angle formé par

les arêtes intérieures a b et a c .• cet angle est évldeni"» ment le même que l’angle formé par les arêtes extérieures AB et A'G, car AB et ai sont parallèles, ainsi que A'C et ac. Or l’angle des droites AB et A'G est précisément la mesure de l’angle dièdre proposé.

Remarque. On se sert quelquefois de la fausse-ëquerré pour tracer des parallèles , en s’appuyant sur la propriété des angles correspondants (92). L’inspection de la figure 855 suffira pour faire comprendre comment on doit opérer.

439. — Les angles dièdres des substances cristallisées se mesurent avec une sorte de fausse-équerre, munie’ d’un rapporteur , à laquelle on donne le nom de goniomètt'e (fig. 357). Le demi-cercle de ce rapporteur ii’est pas, comme à l’ordinaire , entièrement fermé par le diamètre ; celui-ci ne se prolonge que de D en O ( il est caché dans la figure)^ Au point 0, centre du rapporteur, se trouve un axe autour duquel se meut une alidade mobile cTim La branche ac de cette alidade mobile peut s’allonger ou se raccourcir à volonté, au moyen d’une rainure qui y est pratiquée , et dans laquelle s’engage l’axe placé en O. Sur le diamètre , ou plutôt sur le rayon Ô D , se trouve appliquée une autre alidade , percée également d’une rainure dans laquelle s’engagent l’axe O et un autre axé placé en L. Cette disposition permet d’allonger ou de raccourcir à volonté la branche ab de cette alidade suivant la grandeur du cristal. La ligne de foi Op du rapporteur passe par les deux axes O et D; et l’aréte mn de l’alidade mobile passe également par le centre

Pour se servir de cet instrument, on applique le» branches a b et ac des alidades à cheval sur l’arête de - l’angle dièdre à mesurer, et l’on fait coïncider les bords ab et ac avec les faces de cet angle , en ayant soin de maintenir ces bords perpendiculairement à l’arête^ L’angle bac est alors la mesure de l’angle cherché; et d’après la disposition de l’instrument, il est facile de voir que l’angle des droites mn et Op, c’est-à- direj l’angle dont on peut lire la valeur sur le limbe, est égal à l’angle

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hac; car mn est parallèle à ac, etO/^pai’allèlehftfe; ces deux angles ont donc leurs côtés parallèles chacun à chacun et dirigés en sens contraire (94).

Il arrive souvent que, le cristal se trouvant engagé avec d’autres substances, l’extrémité 2 du demi-cercle, gêne l’application des alidades sur les faces de l’angle dièdre. Pour remédier à cet inconvénient, le demicercle est brisé à charnière en y, en .sorte que la partie y Z peut se replier sur la partie jD. La branche Oj:, qui .sert à assurer la solidité du système, se décroche et se ramène en arrière par un mouvement de rotation autour du point O. Dès que les alidades ont été appliquées sur le cristal , on remet le demi-cercle en place pour pouvoir lire sur le limbe la valeur de l’angle cherché.

La difficulté d’appliquer les alidades bien perpendiculairement à l’arête de l’angle dièdre nuit beaucoup à l’exactitude des résultats. Aussi n’emploie-t-on le goniomètre dont nous venons de parler que lorsqu’on veut une mesure prompte et qu’on ne désire pas une grande rigueur. Dans le cas contraire, on a recours a un autre mode de mesure , fondé sur la réflexion de la lumière, et <lont nous parlerons dans un prochain chapitre.

440. — Applications. I. L’égalité des angles dièdres est indispensable à ob.server dans les assemblages de charpente ou de menuiserie. Il faut que les angles dièdres saillants de chacune des deux pièces à assembler soient égaux aux angles dièdres rentrants qui doivent les recevoir. C’est ce qu’on peut ob-server dans les assemblages par simple entaille (fig. 358) et dans les assemblages à trait de Jupiter (fig. 359).

Dans ce dernier mode d’assemblage, les pièces M et N laih.senl entre elles un espace vide où l’on introduit de force une sorte de coin ou de clef qui sert à consolider le système.

IL Dans l’art du galnier, l’égalité des angles dièdre.s trouve aussi son application : il faut que les angles dièdres qui sont en .saillie sur l’objet pour lequel on confectionne un étui, soient reproduits fidèlement en creux

Di. -

dans cet éini ^ afin que l’objet puisse y être introdail avec exactitude.

441. — Théobëme. Si par un point de V arête dun ah* dièdre on élève iles perperidiculaires à ses fstces , l'angle de ces perpendiculaires est le supplément de célui qui mesure C angle dièdre. Soit MOEF (fig. 860) uil angle dièdre quelconque. Par un point quelconque B de l’arété O £ menons B P et B 11 respectiVemeilt perpeddiculàireâ aux faces OD et O F de l’angle dièdre. Par le point B menons en oütre dans chacune de Ces faces les droite» B A et BC perpendiculaires à l’aréte 0£) l’angle ABG sera celui qui mesure l’angle dièdre MOEF.

La droite BP, étant perpendiculaire au plan OD/ est perpendiculaire à la droite OE qui passe par son pied dans ce plan< Par une raison semblable, BR est perpendiculaii'e à OE. D’ailleurs BA et BG sont aussi perpendiculaires à OE ; les droites OA, OB^ OR, OP sont donc dans un même plan (401 , Coroll.). La somme des quatre angles ABC, GBR , RB P, PBA équivaut donc à quatre angles droits. Mais l’angle PBA t%t droit puisque B P est perpendiculaire au plan O D ; de même l’angle C B R est droit puisque B R est perpendiculaire au plan O F. Il faut donc que la somme des deux autres angles ABC et RB P soit équivalente à deux angle.s droits; c’est-à-dire que l’aügle R Bf* soit le supplément de ABC.^