Lorsque l’angle dièdre formé par deux plàns

qui se rencontrent est droit , ces plans sont dits perpendiculaires entre eux. Telle est ordinairement la positloti mutuelle du plancher et des murs d’un appartement; ces murs eux-mêmes sont le plus souvent perpendicu-^ laires entre eux deux à detix. Il en est de même des parois internes de la plupart des boites et des cais^s j soif entre elles, soit par rapport atl fond. ,

‘ 448. — TnËORËxfE. Lorsque deux plans M N, OP

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GÉOMJÉTRIE DANS LESPACE. 319

(fig. SGi) sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB, menée dans l'un de ces plans perpendiculairement à leur intersection commune OD, est perpendiculaire ii l’autre plan. Car, si l’on mène, dans le plan MJN j la droite BC perpendiculaire à OD, l’angle ABC sera la mesure de l’angle des deux plans, et sera par conséquent droit, puisque ces deux plans sont perpendiculaires entre eux. Mais déjà l’angle ABO est droit; la droite AB est donc perpendiculaire à deux droites B O et BC, qui passent par son j)ied B dans le plan M IV; elle est donc perpendiculaire à ce plan (401).

ConoLivAiiiE I. Si par un point de l’intersection commune üDon élevait une perpendiculaire au plan MN, ■elle serait contenue tout entière dans le plan ÜP. Car soit B ce point; si dans le plan OP on mène B A perpendiculaire à OD, cette droite, en vertu du théorème précédent^ sera perpendiculaire au plan MJV. Or, par un point pris sur un plan, on ne peut lui élever qu’une .seule perpendiculaire.

Corollaire II. Si , par un point quelconque du plan OP, on abaissait une perpendiculaire .sur le plan M cette perpendiculaire serait contenue tout entière dans le plan OP^ Car soit A ce point; si dans le plan OP on mène A B perpendiculaire à 0 1) , cette droite , en vertu du théorème précédent, sera perpendiculaire au plan MNi Or , pàr un point pris hors d’un plan, on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire sur ce plan.

Corollaire III. Pour mener une perpendiculaire à un plan MN, par un point A ou B appartenant à un plan OP perpendiculaire au premier, il suffit de mener par ce point, dans le plan OP, une perpendiculaire AB à l’intersection commune des deux plans.

444. — TiiÉoiiËME. Lorsqu'une droite AB (fig. 861) est perpendiculaire à un plan IM N, tout plan O P passant par cette droite est perpendiculaire au premier. Car ^ si l’on mène dans le plan MN la droite BC perpendiculaire à l’intersection OD des deux plans, l’angle ABC .sera droit ainsi que l’angle ABO, pui.sque A B , perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à toutes les

droites qui passent par son pied dans ce plan. Or l’angle ABC, formé par deux droites AB, BC élevées dans chacun des plans OP etMN perpendiculairement à leur intersection commune OD, mesure l’angle de ces deux plans ; donc cet angle est droit , et les deux plans sont perpendiculaires entre eux.-, 1 *b

CoBOLLAiRE I. Ce théorème peut encore s’énoncer de la manière siiWante : Tout plan M N , perpendiculeùre à une droite AB menée dans un plan OP, est perpendiculaire à ce plan. , f> ni i

Cette proposition fournit un moyen de mener par un point donné un plan perpendiculaire à un plan donné. Il suffit pour cela de tracer dans le plan donné une droite quelconque , et de mener par le point donné um plan perpendiculaire à cette droite (412). On voit que le problème est indéterminé. '» i

Nous avons déjà résolu ce problème indirectement. Supposons que par un point B (fig. 33*7) d’une (nèce de bois qui offre deux faces planes consécutives, ayant pour intersection commune AD, on veuille mener un plan perpendiculaire à la face DC; la droite AD étant toute tracée dans cette face , il ne restera plus qu’à mener par le point B un plan perpendiculaire à AD. Or nous avons vu qu’il suffit pour cela de mener B O perpendiculaire sur AD, et OC perpendiculaire sur la même droite : le plan des droites B O et OC est le plan

cherché. f.

i ConoLLAiHE II. Le théorème précédent fournit aussi le moyen de mener par une droite donnée un plan perpendiculaire à un plan donné MN (fig. 361). Si AP est la droite donnée , abaissez d’un point quelconque A de cette droite une perpendiculaire AB sur le plan donné M N , le plan des droites AP et AB sera le plan cherché ; car il contiendra la droite donnée AP, et il sera perpendiculaire au planMN, puisqu’il contiendra une droite A P perpendiculaire à ce plan. ‘ n u

Le problème n’est susceptible que d’une seule -solution; car nous avons vu plus haut (430) que toutes les perpendiculaires abaissées sur un même plan des dif.*

GÉOMÉTKtIî DANS t’«SI»ACE. 321

féf«*ht.s points d’une droite forment avec cette droite un seul et même plan.

Application. Soit MNP (fig. 362) un bloc de pierre dont les trois faces OM, ON, OP soient planes, et supposons (pie, par une droite A B tracée sur la face OM, on veuille mener un plan perpendiculaire à la face ON. Par le point B on pourra toujours mener un plan perpendiculaire à l’arête AO (412), et par consétpient à la lace O N (pii contient cette arête. Pour ne pas compli(pier la figure, admettons que la face OP soit elle-mêim* ce plan. Dans cette face menez BC perpendiculaire à l’arête OC, et par suite à la face ON (443, Coroll. III), le plan des droites AB et B Osera le plan demandé; car, d’abord , il (contient la droite A B ; en second lieu , il (*st perpendiculaire sur la face ON, puisqu’il œntient la droite B C perpendiculaire elle-même à cette face.

445. — Théorëme. Si deux plans OP, QR (fig. 963) sont perpendiculaires à un troisième plan'Mia , l’intersection AB des deux premiers est aussi perpendiculaire au troisième. Car , si par le point B commun aux trois plans on élevait une perpendiculaire au plan M N < en vertu du premier corollaire du n“ 443 cette perpendiculaire serait contenue tout entière dans le plan OP, ainsi (jue dans le plan QR. Cette perpendiculaire n’est donc autre chose que l’intersectisn AB de ces deux plans.

CunoLLAiRE. Réciproquement , si un plan MN (fig. 863) est perpendiculaire à l’intersection AB de deux plans OP et QR, il est |)erpendiculaire à chacun de ces plans; car A B étant perpendiculaire à MN, les deux plans OP èt QR (jui contiennent AB sont perpendiculaires à ftl N (444)*

Applications. Lorsque les murs d’un appartement sont perpendiculaires au plancher, les arêtes des angles dièdres formés par les faces contiguës de ces murs sont aussi perpendiculaires au plancher. Si deux murs sont perpendiculaires entre eux et au plancher, l'arête de l’angle dièdre formé par le plancher et l’un de ces deux murs est perpendiculaire à l’autre.

Les plans perpendiculaires entre eux sont très-fré-

quemmeDt employés dans les arts; et dans les construc-j lions on choisit d’ordinaire cette disposition mutuelle des plans, préférablement à toute autre, en raison de la régularité et de la stabilité qui en résultent.