Théorème. Lorsque deux plans, MN, PQ

(fig. 364) sont perpendiculaires à une même droite AB, ils ne peuvent se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge. Car, s’ils pouvaient avoir un point commun , que nous désignerons par O; soient AC et BD les droites menées de ce point O aux points A et B : les angles BAC et AB D seraient droits, puisque la droite A B est perpendiculaire aux deux plans (401); dans le triangle formé par les droites ACO, BDOetAB,ily aurait donc deux angles droits , ce qui est impossible. ^

Remarque. Lorsque deux plans ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge, ces plans sont dits parallèles entre eux. Le théorème ci-dessus peut alors s’énoncer ainsi : Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux.

Corollaire. Pour mener, par un point donné, un plan parallèle à un plan donné, il suffit d’abaisser, du point donné, une perpendiculaire sur le plan donné, et de mener, par ce même point, un plan perpendiculaire à cette droite.

447. — Théorème. Si deux droites qui se coupent, AB et CD (fig. 365) , sont respectivement parallèles à deux autres droites qui se coupent, EF et G H, le MN, déterminé par les deux premières, est parallèle au plan PQ, déterminé par les deux mitres. En effet, la droite AB étant parallèle à E F, est parallèle au plan PQ (420). Si donc le plan M N rencontrait le plan PQ, leur intersection devrait être parallèle à A B (421). Mais CD étant parallèle à G II, est aussi parallèle au plan PQ; et si le plan MN rencontrait le plan PQ, leur intersection de-

GÉOMÉTRlIî DANS I,’eSPACE. 323

vrail être parallèle à CD. Or, cette intersection ne saurait être parallèle à la fois aux deux droites AB et CD qui se coupent; donc les plans MN et P Q ne peuvent se rencontrer, et sont par conséquent parallèles.

CoROLT.AiRE. Pour mener, par un point 'donné, un plan parallèle à un plan donné, on peut tracer dans le plan donné deux droites qui se coupent, et mener par le point donné des parallèles à ces deux droites ; le plan de ces deux parallèles sera le plan demandé.

Application. Si sur deux faces planes contiguës d’une pièce de bois on a tracé les droites AB et AC (fig. 366) qui doivent guider un trait de scie, pour guider un nouveau trait de scie parallèle au premier, c’est-à-dire pour déterminer un plan parallèle à celui des droites A B et A C , il suffira , par un point D de l’arête A D , de mener sur les mêmes faces les droites D E et D F respectivement parallèles à AB et à A C; le plan des deux droites D E et D F sera le plan cherché.

Remarque. Si les droites AB et AC étaient perpendiculaires à l’arête AD, le plan de ces deux droites serait aussi perpendiculaire à cette arête (401) , et il en serait de même du plan de leurs parallèles DE et DF. Ainsi le théorème du n“ 446 n’est qu’un cas particulier de celui du n“ 447; mais le premier se présente plus naturellement à l’esprit, c’est pourquoi nous l’avons placé avant l’autre.

448. Théorème. Les intersections AB ef CD (fig. 367) ■de deux plans parallèles cl PQ, par un troisième plan A BCD , sont parallèles entre elles. Car si les droites AB et CD, qui sont dans un même plan , n’étaient point parallèles, elles se rencontreraient, et leur point de rencontre appartiendrait à la fois au plan MN qui contient la droite AB et au plan PQ qui contient là droite C D. Ces deux plans ne seraient donc pas parallèles , ce <]ui est contraire à la supposition.

Application. La surface d’une table est ordinairement un plan parallèle au plancher. Si , sur cette table, on pose une bougie allumée (hg. 368), tous les rayons Ow, O b, etc., partis de la flamme, qui iront raser

le bord ab de la table, seront dans un même plan dont l’intersection avec le plan de la table sera le bord a h lui-même. Le plan aQb ira rencontrer le plancher suivant une autre droite A B , qui sera la ligue de séparation entre l’ombre et la partie éclaix'ée. D’après le Ihéo- • rème précédent, les droites a et AB seront parallèles.

Il eu sera de n>ême des droites analogues /^c etBÇ, cd etCD, t/«et DA.

Les angles abcaX. ABC, ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens seront égaux. Il en sera de même des angles ôcr/ et B CD , etc. C’est ce qu’on observe en effet-

449. — TiiÉonÊME. Si deux plans MN et PQ sont parallèles 367), et que par un j>oint C pris dans le plan PQ, on mène une droite C D parallèle un plan M IV , celle droite sera contenue tout entière dans le plan P Q. Car, si par la droite CD on mène un plan quelconque ABCD, qui coupe le plan MN , suivant une droite AB, cette droite AB sera parallèle à CD, en vertu du théorème du 11° 421. L’intersection de ce même plan avec le plan PQ sera aussi une parallèleà AB, en vertu du tbeorèine précédent. Or, par un même point C on ne peut luener à une droite AB qu’une seule |>aralièle. Donc celte intersection n’est autre cliose que la droite CD elle r même; cl cette droite est contenue tout entière dans le plan PQ.

450. — Tiiéobéue. Lorsque deux plans M 3S et P Q ( lig. 364) sont parallèles , toute droite A B, perpendicthc.ulaire h l’un d’eux M N , est en même temps perpendir eu Luire h l’autre. Pour le prouver, tirons dans le plan P Q la droite quelconque B D : suivant A B et B D conduisons un plan qui coupera le plan MM suivant une droite AD parallèle à BC , d’après le théorème du n“448. Or AB e.st perpendiculaire à AC, puisqu’elle est perpendiculaire au plan MM ; donc elle est aussi perpendiculaire à sa parallèle BD. Et comme BD est qimlcoir'que, il s’ensuit (|ue AB e.sl perpendiculaire à tontes les droites qui pas.sent par sou pied dans le plan PQ, et que , par conséquent,. elle est per|>eu4iculaire à ce plan.

GiioMih'iuE DANS l’kspace. 3i25

CoROLLAinK. 11 résulte de ce théorème que par un point B pris hors ft un plan MN on fie peut mener qu’un seul plan parallèle à RI N. Car, si l’on en pouvait mener deux, ils devraient être tous deux perpendiculaires à la droite B A abaissée du point B perpendiculairement sur le plan MN. Or, par un point d’une droite, on ne peut mener qu’un seul plan perpendiculaire à celte droite (404).

451. — Théorème. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux. Car, si l’on mène une droite perpendiculaire au troisième plan , en vertu du

• théorème qui précède , celte droite sera aussi perpendiculaire aux deux premiers. Ceux-ci étant perpendiculaires à une même droite sont donc parallèles entre eux.

452. — Théorème. Les portions AC et BD (fig. 367) de deux parallèles y comprises entre deux plans parallèles MN et PQ, sont èfrales. Car, si par les parallèles A Cet B Don fait passer un plan, il coupera les plans MN et PQ suivant deux parallèles A B et C D. La figure AB C D sera donc un parallélogramme. Donc AC = BD.

CoROLivAiRE. Si de deux points quelconques du<plan MNon abaisse des perpendiculaires sur le plan PQ, ces droites perpendiculaires à un même plan seront parallèles entre elles (415). Mais, d’après le théorème précédent, les portions de parallèles comprises entre deux plans parallèles .sont égales ; les deux perpendiculaires dont nous parlons .seront donc égales. D’ailleurs , chacune d’elles, étant perpendiculaire à la fois aux deux plans (450) , mesure la plus courte distance de ces plans; car toute oblique serait plus longue. Par con.séquent deux plans parallèles sont partout également distants.

453. — Théorème. Deux droites quelconques ABC, DE F (fig. 3G9) sont coupées en parties proportionnelles par trois plans parallèles M N , P Q , RS. Pour le prouver, menons AH 1 parallèle à D F. En vertu du théorème précédent on aura DE = AH et EF =HI. Rfai.s., si ptir les deux droites Al et AC on fait passer un plan , il coupera les plans parallèles PQ cl RS suivant les droites

l>arallèles H B et IC. A cause du parallélisme de ces droites, on aura donc :

AH : H1 :: AB :BC, ou , ce qui revient au même :