DE : EF :: AB : BC

Corollaire 1. On déduit de la proportion précédente : DE4-EF : DE: ; AB + BC : AB ou DF :DE :: AC : AB.

Corollaire II. La proportion AH : HI :: AB: BC exprime un théorème qu’on peut énoncer comme il suit : Deux droites qui se rencontrent , AI ef A C , sont coupées proportionnellement par deux plans parallèles PQc/RS.

Corollaire III. Une série quelconque de plans parallèles couperait les deux droites A Cet DF en parties proportionnelles.

454. — Théorème. Quand deux plans parallèles M N et PQ (fig. 367 ) sont coupés par un troisième AB CD, les angles dièdres , tels que MBAC, ACDQ, qu’on peut Tiowwer alternes internes, sont égaux. En effet, supposons que l’on mène un plan perpendiculaire aux deux droites d’intersection AB et CD, qui sont parallèles entre elles (448); et, pour ne pas compliquer la figure, soient M B , B D, D Q les intersections de ce plan avec les plans MN, ABCD et PQ. Les angles MBA, ABD, BDC, CDQ seront droits (401), et les angles plans MBD et BDQ serviront de mesure aux angles dièdres MBAC et ACDQ. Or les droites MB et DQ, qui sont dans un même plan, étant parallèles, puisqu’elles sont l’intersection de ce plan avec les plans parallèles MN et PQ, les angles alternes internes MBD et BDQ sont égaux. Il en est donc de même des angles dièdres MBA C et ACDQ auxquels ces angles plans servent de mesure.

Corollaire I. Les angles MBAC,PCDU, que l’oa pourrait nommer correspondants ^ sont égaux entre eux ; car le second est égal à l’angle ACDQ comme lui étant opposé par l’arête (437).

CuRULLAïuE H. On i>ourrait<, euse fondant sur ce théo-

GKOAliTRJB DANS l’eSPACE. 3ÎÎ7

renie , faire voir , par une déinonsiraliun enlièronieiit analogue à celle qui a été einplovée pour les angles plans (94), que deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles et dirigées dans le même sens sont égaux ; qu’ils sont égaux encore si leurs faces sont toutes deux dirigées en sens contraire; et qu'ils sont supplémentaires quand deux de leurs faces sont dirigées dans le même sens et les deux autres en sens contraire.

455. — TiiÉOKË^tiK. Lorsque deux plans sont panülèles ^ tout plan perpendiculaire à l’un est en meme temps perpendiculaire à l'autre. Car ce plan perpendiculaire forme avec les deux plans parallèles des angles dièdres alternes internes, qui sont égaux d'après le théorème précédent. Or de deux de ces angles alternes internes si Tuii est droit, il faut que l’autre le soit aussi.