CHAPITRE VIII

Des directions verticales et horizontales.

447. — Parmi les différentes directions qu'une droite peut prendre dans l’espace, il en est une qui mérite une attention particulière, c'est celle que prend un fit tiié à l’une de ses «.xtréraités et sollicité à l’autre par un

328 SECONDE l*ARTIE.

poids quelconque, par celui d’une petite masse de plomb, par exemple, ce qui a fait donner à cet appa« reil le nom de fil à plomb.

La direction du fil à plomb, à laquelle on a donné le nom de verticale , est celle de la pesanteur elle-même , c’est-à-dire de cette force, inconnue dans sa nature, qui attire les corps vers le centre de la terre. Il en résulte qu’en réalité les verticales sont des droites qui convergent vers le centre du globe. Mais dans les applications ordinaires de la Géométrie, les distances que l’on a à considérer sont tout à fait négligeables par rapport au rayon terrestre, en sorte que les verticales sont toujoui’s assez voisines, et par conséquent assez peu inclinées les unes vers les autres pour pouvoir être regardées comme rigoureusement parallèles.

Dans la réalité aussi , la verticale d’un même lieu change à chaque moment de direction dansl’espace, en vertu du mouvement de la terre. Mais dans les applications ordinaires de la Géométrie , on fait abstraction du mouvement du globe, et la verticale de chaque lieu a une direction fixe , lorsqu’on ne la considère que par rapport à ce lieu même.

Dans les arts, les verticales sont appelées lignes d’aplomb.

• 468. — Pour vérifier si une droite est verticale, on fait usage d’une sorte de règle AB G D ( fig. 871 ) dont les arêtes latérales A B et CD sont parallèles entre elles et à une ligne intermédiaire 01 tracée sur la règle, et qu’on appelle la, ligne de foi. En un point O de celte ligne de foi est fixée l’extrémité supérieure d’un fil à plomb. On met l’une des arêtes latérales, AB par exemple, en contact avec la droite X Y que l’on veut vérifier, et si celle-ci est verticale , il en est évidemment de même de AB et de sa parallèle 01; ainsi le fil à plomb doit coïncider avec la ligne de foi.

Il ne suffirait pas néanmoins que cette coïncidence eût lieu pour qu’on en pût conclure que X Y est une verticale ; car le fil à plomb pourrait être retenu sur la ligne de foi par une inclinaison de la règle en arrière

du fil, comme l'indique la figure 372. A la véritt^, on est averti de; cette circonstance , parce que le fil se brise au |)oint 1 pour reprendre, à partir de ce point , la direction verticale; mais cette brisure pourrait être assez faible pour échappera l’observation. Pourse mettre à l’abri de toute erreur de ce genre, il convient de faire une double vérification , c’est-à-dire qu’après avoir fait coïncider l’arête AB avec la droite à vérifier, on retourne l’instrument sur lui-même , de manière que l’arête CD vienne prendre la place de A B. Si le fil à plomb dans ces deux positions de l’instrument couvre la ligne de foi, on peut être certain que celle-ci est verticale, et qu’il en est par conséquent de même de la droite XY qu’il s’agissait de vérifier.

Applicatioas. L’emploi des verticales est continuel dans les constructions. On donne cette direction aux arêtes latérales de la plupartdesmurs, à celles des jambages de porte ou de fenêtre , à celles des barreaux de grilles et de rampes , etc. , etc.

4ô9. — Si l’on imagine qu’on fasse passer par le centre de la terre un plan perpendiculaire à la verticale du lieu où l’on se trouve, on aura ce qu’on nomme le plan de V horizon rationnel de ce lieu. Si , par le lieu même , on suppose mené un plan perpendiculaire à la verticale de ce lieu , on a ce qu’on appelle Xhorizon sensible de ce même lieu. Par analogie, on donne le nom de plan horizontal a. tout plan perpendiculaire à la verticale du lieu que l’on considère.

Lorsque l’espace que l’on a à considérer a une étendue négligeable par rapport à celle de la terre, ce qui arrive le plus ordinairement , les verticales pouvant être regardées comme parallèles , les plans perpendiculaires à ces verticales sont aussi perpendiculaires entre eux ; car, lorsque deux droites sont parallèles , tout plan perpendiculaire à l’une est en même temps perpendiculaire à l’autre; et lorsque deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles entre eux. Kous considérerons donc désormais tous les plans horizontaux comme parallèles.

'■Applications. Les plans horlïontaüx sont d*un fréquent usage; tels sont les planchers et les plafonds de nos appartements, la face supérieure des marches de nos escaliers, celle de nos meubles, le fond des tiroirs, etc. ;'telle est aussi la surface de l’eau contenue dans un vase, ou même celle d’une pièce d’eau dormante, lorsqu’elle a peu d’étendue.

La surface des mers ne peut être considéi’ée comme plane, même dans le cas d’un calme parfait, que dans une étendue très-restreinte. Dans la réalité cette surface est courbe. On peut en donner plusieurs preuves : la plus simple consiste dans ce fait bien connu , que lorsqu’un navire commence à se montrer dans le lointain, on n’aperçoit d’abord que la partie supérieui’e de sa rtiâtnre, la partie inférieure' et le corps même du bâtiment étant cachés par la courbure de la mer. Peu à peu, à mesure que le navire approche, on aperçoit une plus grande partie des mâts; et le vaisseau devient visible dans son entier lor.sqne la distance qui le sépare de l’observateur est devenue as.sez petite pour que la courbure de la mer, dans cette étendue, soit devenue inappréciable.

460. — Toute droite menée dans un plan horizontal porte elle-même le nom de droite horizontale. Telles sont toutes les lignes droites tracées sur un parquet , les arêtes des entablements, des balcons, des empâtements de l’architecture, etc.

Si , par un point quelconque d'une droite horizontale , ou mène une verticale, les deux droites seront per|>endiculaires entre elles (401). Réciproquement, toute perpendiculaire à la verticale est une horizontale (401, Coroli.), ce qui permet de considérer une horizontale indépendamment du plan horizontal dans lequel elle pourrait être contenue.

461. — Par un point donné sur un plan quelconque , on peut toujours mener dans ce plan une horizontale. U suffit pour cela de mener par le point donné un plan horizontal ; l’intersection de ce pian horizontal avec le plan donné est la droite horizontale demandée. On voit

GKOMKTRIE DANS L ESPACE. 331

en même temps que le problème n’est susceptible que d’une seule solution.

462. — Après avoir mené dans un plan quelconque une horizontale, si l’on mène dans ce plan une per> pendiculaire à cette horizontale, on obtient ce que J’on nomme la ligne de plus grande pente de ce plan ; ce qui signifie que, de toutes les droites menées dans le plan donné, cette droite est celle qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal. Cette propriété .se démontre facilement.

Soit en effet MN (fig. 373) le plan donné; I un point donné sur le plan; ABC un plan horizontal mené par le point I ; A B l’intersection de ce plan avec le plan MN , c’est-à-dire une horizontale menée par le point I ; soit 1 0 une droite menée dans le plan MN perpendiculairement à l’horizontale AB; OH une perpendiculaire abaissée d’un point O de 01 sur le plan horizontal ABC. Prenons sur la droite AB un point D quelconque; joignons HD, OD et IH. Kous aurons dans le triangle rectangle D 0 H ,

HD’ = ÔD* --- ÔH% et dans le triangle rectangle 1 0 H ,

Fh’ ='Ô1’ — ÔH’.

Or l’oblique OD est plus grande que la perpendiculaire 0 1; en comparant les égalités précédentes , on voit donc que H D est plus grand que I H.

Cela posé, prenons sur HD une longueur HT égale à HI, et joignons Oi. Les triangles rectangles 10 H et rO H seront égaux comme ayant les côtés de l’angle droit égaux chacun à chacun. Il en résulte que l’angle 01' H est égal à l’angle 01 H. Mais l’angle 01‘H extérieur au triangle 1 OD, équivaut à la somme des angles ODH et rOD; il est donc plus grand que l’angle ODH. Donc aussi l’angle 01 H est plus grand que l’angle ODH. Or ces angles sont ceux que font avec le plan horizontal ABC les droites OD et O I (430) ; de toutes les droites • analogues, la droite 01 est donc celle qui fait avec ce

■VW- - ‘ -fc

plan le plus grand angle. Kn un mot , 0 1 est la Ugne ile plus grande pente.

4G3. — L’angle 01 II mesure l’angle dièdre que fait le plan jMJN avec le plan horizontal A liC; c’est ce qu’on nomme Vinrlinaison du plan MN à L’horizon. Lorsque l’on ne peut pas mesurer directement cet angle , on me- .sure l’angle 01 V qui fait la ligne de plus grande pente avec la verticale 1 V ; cet angle est le complément de celui que l’on cherche.

Pour opérer plus commodément, on emploie un quart de cercle divisé (fig. 374) , au centre duquel est suspendu un fil à plomb. On dresse une équerre sur la ligne de plus grande pente 0 1; contre le côté 0 G de cette équerre, on apj)uie l’un des côtés du quart de cercle^ le fd à plomb Ca forme alors avec le côté Cft un angle rtC^>égaI à rangleOIH,qui .sert de mesure à l’inclinaison cherchée; car ces angles ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. On n’a donc qu'à lire sur le limbe la valeur de l’angle «C^, pour avoir celle de l'inclinaison cherchée.

Si le plan dont on cherche Vinci/naixon h l’horizon y n’était accessible qu’en dessous , comme cela pourrait avoir lieu dans l'intérieur d’une mansarde, par exemple, on peut se passer de l’équerre, et dresser simplement le quart de cercle sur le plan en faisant coïncider le côté Ch (fig. 375) avec la ligne de plus grande pente. L’angle aCd est égal à l’angle cherché , et l’on en peut lire la valeur sur le limbe.

Applications. I. Dans les constructions , les plans //iclinés à l’horizon sont presque toujours soutenus par des pièces de bois ou de fer dont les arêtes sont parallèles à la ligne de plus grande pente. Par exemple, les arbalétriers AA (fig. 376) sur lesquels repo.se un toit, ont leurs arêtes parallèles à la ligne de plus grande pente de ce toit.

Les châssis rectangulaires qui composent une toiture vitrée ont une partie de leurs arêtes horizontales , et les autres perpendiculaires aux premières, c’est-à-dire dirigées parallèlement à la ligne de plu.s grande pente.

GBOMlh'RIB DANS l’eSPACE. 333

■ II. Cette ligne de plus grande pente est celle que suit un mobile abandonné à son poids sur un plan incliné à l'horizon. Que sur un pareil plan on laisse par exemple rouler une bille ou couler un liquide , cette bille ou ce liquide descendront par l'effet de la pesanteur , en sui> vant une ligne perpendiculaire à l’horizontale menée dans ce plan par le point de départ du mobile.

Cette circonstance pourrailservirà déterminer sur un plan la direction de la ligne de plus grande pente, et par suite la direction commune des horizontales qu’on peut mener dans ce plan. '

464. — Nous venons de voir qu’un plan n’est pas nécessairement horizontal , par cela seul qu'il contient une droite horizontale; mais que, dans un plan incliné à l’horizon , on ne peut mener qu’une .seule horizontale par un point donné. Si donc on en peut mener deux, le plan doit être horizontal, ce qu’on peut exprimer en . disant que deux horizontales qui se coupent déterminent

un plan horizontal.

465. — La plupart des procédés mis en usage pour vérifier les plans horizontaux sont fondés sur ce principe. Nous en excepterons toutefois le .suivant, qui n’est point, à la vérité, susceptible d’une grande rigueur.

. Ce moyen, qui se présente naturellement, consiste à po.ser sur le plan à vérifier une bille aussi bien polie que possible. Si le plan est horizontal , la bille roulera évidemment en suivant, comme nous l’avons dit, la ligne déplus grande pente. Mais on n’obtient ainsi qu’une approximation grossière, parce que le léger frottement que la bille exerce .sur le plan suffit pour s’opposer à sa descente sous une inclinaison qui n’est pas toujours négligeable. On a cependant quelquefois recours à ce procédé pour établir horizontalement la planchette qui sert à lever les plans.

466. — Dans les constructions, on emploie, pour vérifier les plans horizontaux , un instrument que l’on appelle le niveau de maçon. Il se compose ordinairement de deux règles d’«%ale longueur , A C et B C (fig. 377) , assemblées à angle droit, et réunies par une troisième

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'334 SKCONDB PARTIE.

i*ègle transversale, de manière à former unesôrtede triangle rectangle isocèle. En un point O de la bissec» trice de Tangle C est suspendu un fil à plomb; cette bis.> seclrice, prolongée suivant Hl, forme la ligne de foi. Les règles principales sont taillées en A et en B, de ma^ nière que les faces inférieures, sur lesquelles l’instrument repose , soient dans un même pian perpendiculaire à la ligne de foi. 11 résulte <le cette disposition, que lorsque la ligne de foi est verticale , ce dont on est averti par sa coïncidence avec le fil à plomb, les faces inférieures sont nécessairement dans un plan horizontal , et réciproquement.

11 suffirait, d’après cela, pour vérifier ai un plan est horizontal, d’y poser l’instrument par ses faces inférieures; la ligne de foi devrait alors être verticale, et coïncider par conséquent avec le fil à plomb. Mais, comme ces faces inférieures sont très-petites, et qu’on n’est jamais parfaitement assuré qu’elles soient perpendiculaires à la ligne de foi , on se contente de faire en sorte que la ligne AB soit rigoureusement perpendiculaire à la ligne de foi. Pour se servir de l’instrument, on trace alors sur le plan à vérifier deux droites quelconques qui se coupent; ordinairement, on les choisit rectangulaires entre ellea, pour que les effets soient plus sensibles. On fait coïncider alternativement la ligne A B avec l’une et l’autre de ces lignes, et, dans chacune de ces positions, on s’assure qu'en dressant l’instrument le fil à plomb vient coïncider avec la ligne de foi : on est assuré de cette manière que le plan proposé contient deux horizontales < et est par com séqueut horizontal lui-même. Dans le cas contraire, le défaut de coïncidence entre le fil à plomb et la ligne de foi devient sensible dans l’une ou l’autre des positiona successives du niveau.

On donne quelquefois à cet instrument une autre disposition, qui a pour but de le rendre plus portatif. 11 se compose alors de deux règles A B et B C (fig. 378), réunies à angle droit, mais qui peuvent se rabattre l’une sur l’autre à charnière; la règle A B est destinée à demeui’cr horizonlale; l’autre, qui doit pouvoir prendre

Dk; 7 , Cîoogle

GÉOMIÉTRIE DANS l’eSPACE. 335

la poRilion verticale, est munie d’un fil à plomb et d une ligne de foi O I parallèle à l’arête BC. L’usage de cet instrument est d’ailleurs le même que le précédent.

467. — Lorsque l’on a besoin d’une grande exactitude, comme cela arrive dans certaines opérations d astronomie, de géodésie ou de physique, les moyens précédents ne peuvent plus suffire, et il faut avoir recours à un instrument plus délicat, qui porte le nom de niveau à bulle d’air.

Sur une règle en cuivre M N (fig. 379 ), est couché^un tube de verre renfermé dans un tube de cuivre , à 1 exception d’une partie A B qui reste visible. Le tube de verre est rempli d’eau , a cela près d une très-petite portion occupée par une bulle d’air. Lorsque la règle M N est horizontale, la bulle d’air occupe le milieu a b de la partie visible du tube de verre ; cela tient à 1 égalité parfaite des deux parties de l’instrument, etc’estdans cetté égalité que réside la difficulté de sa construction. Si 1 on vient à soulever la règle par l’une de ses extrémités , l’eau, en vertu de son poids , se précipite vers l’extrémité opposée, et la bulle d’air remonte vers l’extrémité soulevée. Il suffit du plus léger soulèvement de l’une des deux extrémités du tube pour faire marcher ainsi la bulle d’air, ce qui donne à l’instrument un grand degré de sensibilité.

Pour s’en servir, on pose la règle sur le plan à vérifier , dans deux directions successives h peu près rectangulaires entre elles. Si, dans ces deux positions, la bulle d’air demeure au milieu «6 du tube, on peut être assuré que le plan proposé est horizontal. En effet , si dans la première de ces directions la bulle est restée au milieu du tube, on ne peut pas en conclure dune manière absolue que la règle M N est horizontale ; mais on peut être assuré du moins que les arêtes latérales de celte règle sont horizontales, car si elles étaient soûle-, vées par l’une de leurs extrémités, la bulle quitterait le milieu du tube. .Si donc on fait prendre à l’instrument une direction à peu près rectangulaire avec la première, ces arêtes se trouveront à peu près dirigées suivant la'

sr.co:vüR tartif.

ligne de plus grande pente du plan; c’est-à-dire que l’instrument aura la position la plus favorable pour que cette pente soit accusée par le mouvement de la bulle. Si celle-ci ne change pas de place , on sera par conséquent assuré que la surface plane vérifiée est horizontale.

4€8. ~ Les instruments que nous venons de décrire ^rviraient au besoin à mener, dans un plan incliné, une droite horizontale. Avec le niveau^ à bulle d’air, par exemple, on obtiendrait ce résultat en cherchant la portion pour laquelle la bulle occupe le milieu du tube : l’une quelconque des arêtes latéralesde la règle MN servirait à tracer sur le plan proposé une droite qui serait horizontale.

469.— Pour niener une horizontale dans la campagne, on se sert d’un instrument particulier qui a reçu le nom de niveau d’eau. 11 se compose d’un tube de fer-blanc A B (fig. 380) qui se relève à angle droit à chacune de ses extrémités A a et B />, et se termine de part et d’aiitre par un tube de verre gradué. L’instrument est supporté en son milieu par trois pieds, et les portions A a, B 6 du tube sont dans une situation verticale. Le tube est rempli, à peu de chose près, d’une eau colorée. Par une propriété générale de l’équilibre des liquides, non seulement la surface du liquide dans un vase est un ' plan horizontal , mais si le vase a plusieurs branches qui communiquent entre elles, les différentes surfaces du liquide dans ces diverses branches sont dans un même plan horizontal. Ce plan se nomme le niveau du liquide. (C’est pour cela que l’instrument que nous décrivons porte le nom de niveau d’eau; c’est pour cela aussi que l’on désigne, presque toujours, dans les arts, les plans horizontaux et les droites horizontales par les expressions de surfaces de niveau et lipnes de niveau.)

Lorsqu on veut, à l’aide du niveau d’eau, mener une ligne horizontale, on fait planter verticalement, aux extrémités de la ligne a mener, deux perches ou règles divisées, munies 1 une et l’autre d’une planchette peinte de deux couleurs, et suscepüble de glisser le long de la

Diyiîizr'!^ by CjOOgIc

d^Olf^TRIE DANS l’eSPACE. • 337

règle et de se fixer , par une vis de pression , en tel point de la perche qu’on le désire. Cette planchette se nomme un voyant.

On établit le niveau d’eau entre les deux règles. On place d’abord l’oeil en et, à l’aide de signaux coh- *

é venus, on fait élever ou abaisser le voyant C jusqu’à ce que son centre se trouve dans le plan horizontal déter- Pline par les surfaces de niveau du liquide eu b et en a.

^ , On place ensuite l’œil en a, et l’on fait varier la posi- ,5 tion du voyant D, jusqu’à ce que son centre se trouve "dans le plan du niveau do liquide; on est assuré alors . que la droite CD est horizontale , puisqu’il a deux de ses '^points dans un plan horizontal.

470. — La hauteur des points C et D au-dessus du terrain est donnée par les divisions tracées sur les deux règles , au moyen de marques tracées derrière chaque voyant , et qui correspondent à son centre. Cette hauteur est indispensable à connaître dans l’opération du nivellement , dont nous avons maintenant à parler.

Niveler un terrain , c’est déterminer la distance de ses points les plus remarquables à un même plan horizontal. 11 n’est point nécessaire pour cela que ce plan horizontal existe en effet; il suffit d’imaginer un pareil plan passant par un point donné du terrain.

Soient A , B, C , D, E (fig. 381 ) , une série de points remarquables d’un terrain, et suppo.sons que le point A appartienne au plan horizontal auquel on veut rapporter tous les autres points, au niveau de la mer par exemple. On élève d’abord verticalement en A et en B les perches munies de voyants; on établit le niveau d’eau entre A et B , et l’on détermine l’horizontale A' B'. Cette droite étant parallèle au plan horizontal qui forme le^hiveau de la mer, tous ses points sont à égale distance de ce niveau (426) ; l’élévation des points A' et ^B' au-dessus du niveau de la mer est donc la même; rélevation du point B au-dessus de ce plan est donc la différence des verticales A A' et B B': Celte différence se nomme la hauteur verticale du point B au-dessus du point A. ;i'' : n

338 SECONDE PAKÏIK. r

On transporte ensuite le niveau d'eau entre B et C ; on élève verticalement au point 0 une perche munie d’un voyant, et l’on détermine l’horizontale S'C; la différence des verticales B B' et CC donne la hauteur - . verticale du point C au-dessus du point B ; en y ajoutant celle du point B au-dessus du point A, qui a déjà été'^ déterminée , on obtient la hauteur verticale du point C au-dessus du point A. On continue de la même manière jusqu’au point le plus élevé du terrain. HP,

Lorsque le terrain commence à descendre, les opé^ rations sont encore les mêmes; il n’y a de différence que dans le calcul. Supposons , par exemple , qu’apres avoir déterminé la hauteur verticale du point P audessus du point A, on veuille déterminer celle du point E. On élèvera verticalement au point E une perche munie d’un voyant; on établira le niveau d’eau entre D et E , et l’on déterminera l’horizontale p' E^ La différence des verticales EE' et DD' donnera la hauteur verticale du point D au-dessus du point E. Or on connaît déjà la hauteur verticale du point D au-dessus du point A ; en retranchant la plus petite de la plu» grande, on aura la hauteur verticale du point E audessus du point A , ou du point A au-dessus du point E.

Si , par exemple , on a trouvé que la hauteur verticale du point D au-dessus du point A est de 3™, 5 , et que la hauteur verticale du même point D au-dessus du point E est de 1“?,7 , on en conclura que la hauteur verticale du point E au-dessus du point A est de 3“,5 moins ou de Mais si l’on a trouvé que la hauteur verticale du point D au-dessus du point A est de 1“,4, et que la hauteur verticale du même' point D au-dessus dit point E soit de 3“,6, on en conclura que la hauteur verticale du point A au-dessus du point E est de 2*«,6 moins 1»,4, ou, en d’autres termes , que le

point E est situé à l'“,2 de distance verticale au-dessous du plan boriaputal qui passe par le point A , lequel est ici k niveau de la mer.

^ .Remarque. Comme les perches munies de voyants n’ont pas une hauteur indéfinie, on comprend que,

by CTiïi-^Ir

GÉOMjh'itiB DA.NS l’espace. 339

• lorsque le terrain offre une grande pente, si l’on ne rapprochait pas suffisamment les stations, il pourrait arriver, ou que l’horizontale déterminée par le niveau d’eau passât au-dessus de l’une des deux perches, comme AB (fig. 883 ), ou qu’elle vint couper le terrain au-dessous de l’une des deux perches, comme CD (même figure). Il est donc indispensable de rapprocher d’autant plus les stations que la pente du terrain est plus considérable.

471. — Tout plan qui contient une verticale se nomme lui-même plan vertical.

Pour vérifier un plan vertical, il suffit de s’assurer qu’on y peut tracer une verticale. C’est à quoi l’on parvient sans peine, au moyen du petit appareil (fig. 871) que nous avons décrit au no458, et que l’on nomme quelquefois assez improprement niveau de côté. On applique l’un des côtés de cet instrument sur le plan à vérifier, et l’on fait varier graduellement sa position, ju-squ’à ce que le fil à plomb vienne s’appliquer contx’e la règle; s’il coïncide alors avec la ligne de foi , c’est une preuve que celle-ci est verticale^ Il en est donc de même de l’arête latérale de la règle qui lui est parallèle; et, puisque le plan proposé contient ainsi une verticale, il est vertical luf-même. ^

Applications. On donne ordinairement la direction verticale aux surfaces planes des murs, à celles des portes, des volets, aux vitres d’une croisée, aux surfaces latérales de la plupart des meubles. Les toiles sur lesquelles sont peints les décors d’un théâtre sont des plans verticaux. Dans la perspective, le plan sur lequel les objets doivent être représentés , et que l’on appelle le pian du tableau, est un plan vertical. Le plan méridien d’un lieinest le plan qui passe par la verticale de ce lieu et par les pôles de la terre ; ce plan est donc un plan vertical , etc. '

47 J. — Par une droite donnée quelconque, on peut toujours faire passer un plan vertical. Car, si par un point de cette droite on mène une verticale, cette verticale et la droite donnée détermineront un plan vertical..

Digiti?.^'^ C'nngk

340 sF.corrDE partie.

473. — Tout plan ■vertical est perpendiculaire ou plan de V horizon, puisqu’il passe par une verticale qui est elle-même perpendiculaire à l’horizon (444). 11 en résulte qu’u/ï plan vertical est perpendiculaire à tous les plans horizontaux , puisque ceux-ci sont parallèles au plan de l’horizon (455).

Réciproquement : Tout plan perpendiculaire h un plan horizontal est un plan vertical. Car , si par un point de l’intersection commune on élève une perpendiculaire au plan horizontal, c’est-à-dire une verticale, cette perpendiculaire sera contenue tout entière dans l’autre plan (443, Coroll. 1); donc celui-ci est vertical.

Tout plan perpendiculaire à une droite horizontale ' est un plan vertical. Car , si par cette droite on mène un plan horizontal , il sera perpendiculaire au plan proposé (444) ; donc celui-ci est vertical , en vertu de ce qui précède.

474. — Si deux plans verticaux se coupent, leur intersection est une verticale. Car ces plans étant tous deux perpendiculaires au plan de l’horizon, leur intersection est elle-même perpendiculaire à l’horizon (445), c’est-à-dire qu’elle est verticale.

Applications. I. L’arête de l’angle dièdre , formé par deux murs verticaux , est une verticale.

II. Le principe précédent trauve aussi son applica*« tion dans la perspective.

Supposons que AK (fig. 383) soit le plan du tableau, AB son intersection avec le sol supposé horizontal. Soit O l’œil du spectateur ; abaissons de ce point une perpendiculaire O P sur le plan horizontal AM, et menons par le point P , que l’on nomme le pied du spectateur , des droites quelconques PG, PH. Les rayons visuels, menés du point O à tous les points de la droite PG, déterminent un plan OPG qui est vertical, puisqu’il contient la verticale O P. La perspective de C G , c’està-dire l’intersection du plan OPG avec le plan du tableau qui est vertical , sera donc une verticale C^. La perspective de DH sera de même une verticale DA.

OéOMÉTRIB DA.NS l’fSPACE. 341

Ainsi : toutes les droites qui passent par le pied du spectateur, sont verticales en perspective. •