CHAPITRE IX

Remarques sur le lever des plans et sur la mesure des hauteurs.

Mesure des angles dièdres des cristaux.

476. — Les terrains qii’on peut avoir à mesurer ne sont jamais parfaitement planes. Lorsqu’ils offrent des ondulations considérables, s’il fallait mesurer leur superficie réelle, le problème présenterait presque toujours' de grandes difficultés. Mais l’expérience a prouvé que les terrains qui offrent des pentes notables sont moins productifs que les terrains horixontaiix : les eaux pluviales en suivant ces pentes entraînent la terre végétale, et rendent- le terrain aride; d’ailleurs, les végétaux croissant verticalement et non point perpendiculairement au terrain, il en résulte qu’une pièce de terre, quelle que soit sa pente , ne saurait contenir une quantité de végétaux plus grande que celle qui .serait contenue dans l’étendue horizontale qu’on obtient en abaissant de tous les points du contour de cette pièce de ' . terre des perpendiculaires sur un même plan horizontal , étendue que l’on nomme dans l’Arpentage sa hase productive , et qui , en Géométrie, reçoit le nom de projection horizontale du terrain. C’est par les raisons précédentes que l’on ne s’occupe point de mesurer la superficie réelle d’un terrain , mais que l’on .se borne à mesurer sa base productive ou projection horizontale.

C’est donc de cette projection que l’on doit lever le plan, sauf par des opérations de nivellement, à rechercher la hauteur des points les plus remarquables au-dessus d’un même plan horizontal , non pour faire intervenir ces hauteurs dans la mesure demandée, mais pour obtenir une idée plus exacte de la configuration du terrain.

On agit, à plus forte raison, de celte manière quand

Je plan n’a pour but aucune mesui'e de superficie , ainsi que cela a lieu pour les plans militaires.

476. — La première chose à faire est de se procurer une base d’opérations parfaitement horizontale et de la mesurer. Si une pareille ligne se rencontre sur le terrain, on a soin d’en profiter : ce sera , par exemple , le

‘ bord d’une route, d’une allée, d’un canal, d’un sentier, etc. Dans le cas contraire, on choisit une base qui offre le moins de pente possible; on la jalonne, et, à l’aide d’un niveau d’eau, on détermine une horizontale d’un jalon à l’autre sur toute Ih ligne. Les jalons étant suffisamment rapprochés, on tend un cordeau de chaque jalon au jalon suivant , en fixant ses extrémités aux points déterminés par le niveau d’eau : la longueur de chaque cordeau exprime la distance de deux jalons coàsécutifs ; en faisant la somme de toutes les distances analogues , on obtient la longueur horizontale de la base à mesurer. La figure 384 rend compte de cette opération.

477. — On fait ensuite planter bien verticalement des jalons à tous les points remarquables du terrain que l’on veut relever.

Soit D E (fig. 385) l’un de ces jalon»; AA' et B B' les verticales des points A et B qui sont les extrémités de la base. Les trois points A, B, D sont supposés situés sur le terrain même. Admettons que le plan horizontal sur lequel on veut projeter le terrain soit celui qui passe par le point B, et qui coupe en a et en // les prolongements des verticales AA' et DE. L’horizontale a B sera la base mesurée , que l’on reportera sur le plan en la réduisant suivant l’échelle adoptée; et l’angle daB sera l’un dé ceux qu’il s’agit d’obtenir. Or la droite A tétant* verticale et le plan B ad horizontal, les angles A aB et A ad sont droits , et l’angle daB est l’angle plan qui sert de mesure à l’angle dièdre formé par les plans AadE et AaBB'. Nous savons que cet angle dièdre peut être mesuré en un point quelconque de son arête A«; il peut donc être mesuré au point »/, par exemple; il suffit pour cela de mener dans les plans Anr/Eet An B B' les

CEOMJ^TRIE DANS l’eSPACE. 343

horizontales /«D et /«B', et de mesurer l’angle D/«B formé par ces horizontales.

C’est précisément ce que l’on fait à l’aide du graphoniètre. Supposons-le transporté au point A, de manière que le centre du limbe soitstiué en m sur la verticale du point A (on y parvient au moyen d'un fil à plomb .suspendu au-de.ssous du centre du limbe). Supposons ensuite que le plan du limbe soit fixé bien horizontalement (on y parvient à l’aide d’un niveau à bulle d’air). Les alidades seront horizontales, et les fils des pinnules seront verticau.x. On dirige d’abord l’alidade fixe, de manière qu’en regardant jiar les pinnules, les fils réunis coupent le jalon planté verticalement en B; ces fils et ce jalon sont alors dans le plan vertical A «B B'. On dirige ensuite l’alidade mobile de manière qu’en regardant par les pinnules , les fils réunis coupent le jalon planté verticalement en D; ces fils et ce jalon sont alors dans le plan vertical kadH'. L’angle des deux alidades, c’e.st-àdire l’angle dont on peut lire la valeur sur le limbe, e.st alors la mesure de l’angle dièdre formé par ces deux plans verticaux, et est, par conséquent, égal à l’angle da)i qu’on se proposait de mesurer.

On voit que ce sont par le fait des angles dièdres que l’on mesure au moyen du graphomètre, et que ces angles dièdres ont leur arête verticale. De là la nécessité que tous les jalons soient verticaux , que le limbe de l’instrument .soit horizontal , et que son centre .soit sur la verticale qui .sert d’arête à l’angle dièdre que l’on mesure. On peut faire des observations analogues à l’égard de la planchette.

478. — Kous avons dit (52) que , loi'sqii’on doit opérer sur une grande étendue de terrain , les pinnules .sont remplacées par des lunettes dont l’objectif est muni d’un fil vertical comme celui des pinnules. Ces lunettes sont ordinairement susceptibles de se mouvoir autour d'un pivot parallèle au limbe, en sorte que l’axe de la lunette, c’est-à-dire la droite qui joint le centre de l’objectif au centre de l’oculaire , se meut dans un plan perpendiculaire à celui du limbe. Si le limbe est liori-

344 âF.COKDR PARTIE.

znntal , le plan dont nous parlons est vertical. 11 en rë- .suite que , quelque position que prennent les lunettes, l'angle mesuré sur le limbe est le même que si l’axe de chacune d’elles était horizontal , condition qui serait gênante si elle était obligatoire , parce que la distance de l’instrument au jalon que l’on vi.se peut être assez grande pour que l’horizontale, qui serait déterminée par l’axe de la lunette , allât passer au-dessus ou audessous du jalon. La disposition que nous venons de décrire permet, au contraire, de viser le jalon lui-même , sans que la valeur de l’angle à mesurer soit altérée. Les lunettes qui remplissent cette condition sont dites lunettes plongeantes .

Avec cette disposition , on dirigerait, par exemple, les lunettes suivant m D et m B (fig. 38.5), et la valeur lue sur le limbe serait néanmoins celle de l’angle On dit, dans ce cas , que l’angle D w B se trouve réduit h l’horizon. Dans le lever des plans, tous les angles doivent être ainsi réduits à l’horizon, et l’on voit qu’on y parvient sans peine à l’aide du graphômètre, quand on peut le transpoiler au sommet de l’angle à réduire; dans le cas contraire, on s’arrange de manière que cet angle appartienne à un triangle dont les deux autres angles puissent se réduire facilement: on en déduit alors la valeur du troisième angle réduit.

Nous ferons remarquer que les lunettes dont est muni le graphômètre renversent les objets ; cette circonstance est indifférente pour le but qu’on se propose , elle exige seulement un peu d’habitude de la part de celui qui fait usage de l’instrument.

Ce que nous avons.dit de l’angle </«B s’appliqueà tous les angles du plan, et nous avons vu (253) comment ce plan se détermine à l’aide d’une base et des angles qu’elle forme avec les côtés ou avec les diagonales qui aboutissent à ses extrémités.

479. — Lorsque l’on a tracé le plan de la projection horizontale du terrain, on a tout ce qui est nécessaire pour sa mesure ; il ne reste plus , pour donner une idée Complète de sa configuration, qu’à indiquer la hauteur

G£OMÉTBl£ DANS DKSPACJ2. 345

dti ses points les plus remarquables au-dessus du plan hori/.ontal sur lequel ils sont projetés. On emploie pour cela plusieurs méthodes.

Quelquefois on se contente de quelques coupes verticales. Pour les obtenir, on agit comme nous l’avons indiqué à l’article du nivellement (470), maison a soin (jue, dans toutes leurs positions successives, les perches munies de voyant ne sortent pas d’un même plan vertical, ce qu’on obtient en les alignant comme lorsqu’on jalonne une distance. Les distances mutuelles des perches étant connues, ainsi que la hauteur du point où chacune d’elles est plantée au-dessus du plan horizontal de projection , on a tous les éléments néces.saires pour tracer la coupe cherchée. A cet effet, on tire une droite quelconque, AB (fig. 386); on y porte, au moyen d’une échelle de réduction , des distances proportionnelles à celles qui séparent les perches ; par tous les points de division on élève à celte droite des perpendiculaires proportionnelles aux hauteurs observées, et l’on joint les extrémités de ces perpendiculaires par une courbe qui imite d’autant mieux les inflexions du terrain même que les stations ont été plus rapprochées et lesopérations faites avec plus de soin.

On dessine ces coupes à part, et l’on indique sur le plan même les directions dans lesquelles elles ont été ‘ faites.

Les coupes sont employées avec avantage pour lever le plan des places fortes ou des ouvrages de fortitication passagère, parce que les pentes observées en un point se répètent sur une longue étendue, et qu’il n’est point nécessaire de les multiplier. La ligure 387 représente le prolil d’une détachée : la ligne A Best la direction horizontale naturelle du terrain en deçà et au delà de l’ouvrage; on nomme G D la contrescarpe; D E est le fond du fossé; É F est V escarpe; F G, la hernie; G H est le talus extérieur du parapet; H I, la plonf^éeùw parapet; les droites HI et A G sont le prolongement l’ime de l’autre; la ligne IK est le talus intérieur du parapet ; EL, la banquette ; LB, la rampe ou le talus delà banquette.

346 SECONDr. t>AATIË.

480. Lorsque l’on désire de plus grands détails , on détermine d’abord la hauteur du plus grand nombre de points possible au-dessus du plan horixontal de projec-’ lion; il s’agit ensuite d’indiquer, sur le plan même, toutes les hauteurs observées. Pour cela , on suppose le’ terrain coupé par une série de plans horizantaux équi* distants; les intersections du terrain avec ces plans for.' ment des courbes dont on possède d’autant pins de pointa que l’on a déterminé plus de hauteurs. L’une de ces courbes contiendra, par exemple , tous les pointsdu terrain qui so/it situés à 1"> de distance du plan horizontal de projection ; une autre contiendra ceux qui sont sitnéa à ^ de distance de ce plan , et ainsi de suite. On trace ces courbes sur le plan ^ et elles indiquent , dans chaque région de ce plan, une pente d’autant plus rapide qu’elles sont plus rapprochées (fig. 388).

On peut même , à l’inspection de ces courbes, évaluer la pente du terrain. Supposons, par exemple, que l’on veuille connaître la pente du terrain entre les points a et b } que la longueur a b, mesurée à l’échelle du plan, soit de , et que la distance des plans horizontaux consécutifs soit de 1», on construira un triangle rectangle^ abh (fig. 389) dont les côtés ak et b h soient respectivement représentés par 1 et par 5 ; l’angle aô A exprimera la pente cherchée. ^ f

Pour pouvoir tenir compte des détails importants d’iiH flexions de terrain qui n’auraient pu ti*ouver place dans l’ensemble de ces courbes , on représente par deshachu*» res de plus en plus foncées les pentes qui sont de plus en plusrapides.

Cette méthode est employée dans totites les cartes to<« pographiques soignées, et particulièrement dans lea cartes militaires« où la pente du terrain joue un rôld important, en raison des obstacles qu’elle peut offrir au transport de l’artillerie , et de l’influence qu’elle peut avoir sur le choix des positions.

Dans les cartes marines, après avoir levé le plan dti rivage, des lies. Ilots, écueils, etc., à consigner sur Ist carte, on note la profondeur des principaux sondagei

Dir ' ; y

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 347

pal* un cliilfre placé au point qui représente le lieu oii le sondage a été fait. Ce chiffre exprime ordiiiairenicnt des brasses.

481. — Il se présente quelquefois, dans un terrain, des jioints trop élevés et offrant de toutes parts des pentes trop brusques pour qu’on puisse y transporter le niveau d’eau, mais dont on désire néanmoins connaître la hauteur au-dessus du plan horizontal de projection. Voici comment il faut opérer dans ce cas :

On mesure une base horizontale A B (fig. 390); on établit le graphomètre au point A; on dirige l’alidade fixe de l’instrument suivant l’horizontale a b parallèle à AB, et l’on incline le limbe, sans rien changer à la position du diamètre, jusqu’à ce que son prolongement aille passer par le point C dont on cherche la hauteur, ce dont on est averti quand, en variant la position de l’alidade mobile , le point C vient se placer à la partie inférieure du fil des pinnules. On mesure ainsi l’angle Cab. On mesure de la même manière l’angle Cba; on est alors en état de construire sur le papier un triangle semblable au triangle aCb,eX de mesurer par conséquent le côté C b.

Supposons maintenant que, suivant les horizontales AB et «6, on fasse passer des plans horizontaux ; et, du point C , imaginons une perpendiculaire CP, abaissée sur le plan horizontal inférieur ABP, laquelle coupe en P le plan horizontal supérieur « Z» ; joignons PA , PB, puy pb. Le graphomètre étant tout transporté au point B, on dresse son diamètre verticalement, et l’on dirige le limbe de manière que son prolongement aille passer par le point C; on mesure de cette manière l’angle X ôC, formé par la droite ôC et la verticale Z»X. Cet angle est égal à l’angle /?C^. Dans le triangle rectangle ou connaît donc les angles etPhypothénuse C b; on peut donC' construire un triangle semblable, et obtenir la mesure du côté C/7. Pour avoir la hauteur CP, du point C audessus du plan horizontal ABP, il ne reste plus qu’à ajouter à C/7 la hauteur P/?, laquelle est égale à A « ou à Bô (452, CorolL), c’est-à-dire à la hauteur du graphomètre.

482. — Les mêmes opérations peuvent sei*vir à mesurer la hauteur d’un édifice, lorsque le pied de la perpen* diculaire abaissée du sommet sur le sol tombe dans l’intérieur de l’édifice, comme cela a lieu d'ordinaii*e.

Si l’édifice repose sur un terrain bien horizontal etoflre dans toute sa hauteur unearéte verticale BC (fig. 391), dont le pied B soit accessible, l’opération se simplifie : on mesure^ à partir du point A, une base horizontale AB ; on établit le graphoinètre au point A; on dresse son diamètre verticalement; on dirige le limbe vers la verticale BC, et l’alidade mobile sur le point C ; on mesure l’angle X a C, formé par la droite a C et la verticale oX. Cet angle est égal à l’angle BCa. Si l’on imagine maintenant une horizontale a b, on forme un triangle rectangle Cb a, dans lequel on connaît les angles, et le côté ba égal à B A. On peut donc constniire un triangle semblable , et obtenir la mesure du côté C b. H ne reste plus , pour obtenir la hauteur de l’aréteB C, qu’à y ajouter la hauteur ô B, laquelle équivaut à a A, c’est-à-dire à la hauteur du graphomètre (ou du moins à la hauteur de son centre audessus du plan sur lequel il repose.)

De la mesure des angles 'dièdres des cristaux.

483. — Pour terminer ce qui concerne la mesure des angles en général , et des angles dièdres en particulier, ü nous reste à parler des moyens qu’on emploie pour mesurer avec précision les angles dièdres des cristaux. Ils sont fondés sur une propriété de la lumière que nous allons d’abord rappeler.

Lorsqu'un rayon lumineux O A ( fig. 392 ) rencontre une surface plane réfléchissante AI i\ , il se brise au point d’incidence A, et prend une nouvelle direction AD, telle que les droites OA , AD et la perpendiculaire AH élevée sur le plan MK, au point A, sont toutes trois dans un même plan, et que les angles O AH et HAD sont égaux. Le ra^on O A se nomme le rayon incident; le rayon AD est le rayon rcJUkhi; le plan OAD est le plan incidence; l'angle O AU e^iVangle d’ incidence; l’uuglc

AD est \' angle de réflexion', et l’on exprime la loi de la réflexion en disant que l’angle de véjl exion est égal à l’angle d' incidence .

Comme nous rapportons toujours les objets dans la direction du rayon lumineux qui arrive à notre œil, venant de ces objets, il s’ensuit que , si un objet quelconque était placé au point O, et l’œil de l’observateur en un point de la ligne A D, celui-ci verrait l’image de l’objet Ü sur le prolongement de DA, eu un point O , situé symctriqueinent par rapport à l’intersection BC du plan d'incidence avec le plan réfléchissant; en sorte que si l’on joignait 00, qui rencontre B A en B, les triangles O AB et O'AB seraient égaux et symétriquement placés.

Voyons l’usage que l’on fait de ces principes pour la im^sure des angles dièdres des cristaux.

On emploie dans ce but deux goniomètres différents : celui (|ui porte le nom de Charles et celui (|ui porte le nom de IVollaston.

484. — Le goniomètre de Charles (fig, 393) consiste essentiellement en un plateau circulaire horizontal, dont le limbe est divisé, et qui est muni d’une alidade mobile, au centre de laquelle on fixe avec de la cire le cristal dont on veut mesurer les angles dièdres, enayant soin que l’arête de l’augle à mesurer soit verticale; nous veiTons tout à l’heure comment on s’assure que cette condition est remplie. A la hauteur du cri.stal, et à peu de distance, est placée une lunette horizontale , à l’aide de laquelle on observe, par réflexion, sur Tune tles faces du cristal, un objet vertical déterminé d’avance : une flèche de clocher, par exemple. On fait ensuite tourner l’alidade, et par conséquent le cristal, jusqu’à ce (pi’on aperçoive, par réflexion, sur la face adjacente à la première, le même objet vertical. L’angle dont l’alidade a tourné exprime , non pas la valeur de l’angle cherché, mais celle de son supplément.

Pour nous en rendre compte, considérons ce qui se passe dans le plan d’incidence, lequel icie.st horizontal. Soit «<5>c(fig. 394) la section du cristal par le plan horizontal d’incidence prolongé, \m, le rayon incident; wO,

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350 SECOiVDK PARTIE.

le rayon rëûécbi, lequclsuit Taxe de la lunette. SupposôA.4 eu outre qu’on ait disposé le cristal de manière à ce que le mouvement de l’alidade fasse tourner la section abc autour d’un certain point intérieur p, également distant des faces a b et ac. Pour qu’après la rotation on aperçoive encore par la lunette , laquelle est restée immobile, l’objet vertical placé en I , il faut que la face a c soit venue prendre la place de la face a b, et comme le point p n’a pas changé déplacé, il faut que la perpendiculaire ps soit venue prendre la place de la perpendiculaire p r, c’està-dire que la perpendiculaire p s ait tourné de l’angle lequel est le supplément de l'angle a, puisque, dans le quadrilatère spra^ il y a deux angles droits, etpra. L’alidade, qui tourne autour d’un point situé verticalement au-dessous du point p, a donc aussi tourné^ d’un angle égal à .r prou au supplément de l’angle a. Or, l’angle dièdre à mesurer ayant, par supposition, son arête verticale , a pour mesure l’angle a.

Dans la réalité , les perpendiculaires ps et pr ne sont jamais rigoureusement égales ; mais , vu la petitesse du cristal par rapport à l’éloignement de l’objet I , « c vient prendre une position sensiblement parallèle à a etqui en diffère assez peu pour que les conséquence» pré^ cédentes subsistent.

Pour que l’arête de l’angle dièdre à mesurer soit vertl^ cale, il faut que l’image de l’objet vertical placé en I, vue^ par réflexion sur les deux faces consécutives abetac, reste' verticale, et par conséquent parallèle à l’arête. On cor- rige la direction de cette arête jusqu’à ce que cette condition soit remplie, et c’est alors seulement qu’on observe la marche de l’alidade.

485. — Dans le goniomètre de fVollaston ( fig. 395), lecercle divisé est placé verticalement, et l’arête du cristal horizontalement. On place, en outre, l’instrument de manière à ce que cette arête soit sensiblement parallèle ' à deux horizontales fixes, telles que le bord d’un toit et l'appui d’un balcon, par exemple. On fait tourner le ! cristal, fixé par de la cire à un pivot horizontal, jusqu’àce qu’eu regardant sur la face supérieure, ou aperçoive

GÉOMI-TRIE DANS j/liSPACr. 351

par réflexion le bord du loil, et directement l’appui du balcon, confondus en une seule ligne droite. On fait tourner le cristal de nouveau, jusqu’à ce que la même coïncidence soitétablie pour la face du cristal adjacente à la pi’einière. La quantité dont le cristal a tourné, mesurée sur le cercle vertical , est encore le su|)plément de l’angle à mesurer.

Pour nous en rendre compte, considérons ce qui se passe dans le plan d’incidence, lequel ici est vertical et perpendiculaire à l’arête du cristal. Soit «ic (fig. 396), la section du cristal par le plan vertical d’incidence ; T»/,le rayon incident venu du bord du toit, o/o, le rayon réfléchi ; lio le rayon direct venu de l’appui de balcon. D’après ce que nous avons dit plus haut, la coïncidence des rayons /« O et Bo n’est possible qu’autant que les angles T ma et B/// <2 sont égaux , et que par con- .séquent la ligne a b divise l’angle T /«B en deux parties égales. Comme le cristal est toujours très-petit, par raj)port aux distances ml et /«B, et que d’ailleurs on a soin de regarder de manière à ce t|ue la réflexion s’opère très-])rès du bord le point d’incidence ne change pas sensiblement de place, et l’angle T /«B reste en conséquence à peu près invariable. Pour que la coïncidence des rayons <lirect et réfléchi puisse s’opérer sur la face rtc, adjacente à «/->, il faut doncquela ligne ac vienne diviser à son tour l’angle T wB en deux parties égales, et prendre par conséquent la position de a b. Il en résulte que si p est toujours le centre de rotation de la section a hc, il faut que la perpendiculaire vienne remplacer la perpendiculaire pr, ce qui exige que le cristal ait tourné d'un angle égal à sp r, c’est-à-dire au supplément de l’angle bac , qui est la mesure de l’angle cherché.

Ce goniomètre est disposé de manière à cequ’on puisse mesurer sans difficulté l’angle dont le cristal a tourné, l'ious passons sous silence les détails de celte disposition, que l’on comprendrait sans peine à l’inspection de l’instrument.

On pourrait reproduire ici, au sujet des perpendiculaires/; r et /^.v, ce que nous avons dit en parlant du go»»

Dkj'i'ied by Googli

352 SECONDE PA.RTIE.

nioinètre de Charles : leur inégalilé inévitable n’a sur l’exactitude des résultats qu’iine influence négligeable.

Pour que l’arète du cristal soit horizontale et parallèle aux deux horizontales, fixes, il faut que la coïncidence d’images dont nous avons parlé puisse s’établir sur les deux faces du cristal aboutissant à cette arête. On corrige la position du cristal jusqu’à ce que cette condition soit remplie, et c’est alors qu’on répète l’expérience en mesurant l'angle dont le cristal a tourné.

Le goniomètre de fVollaston est d’un usage pluscommode que le goniomèti'e de Charles, à cause de la facilité qu’il y a à trouver les horizontales fixes dont on a besoin. Il offre en outre un avantage très-grand, c’est de permettre d’observer à l’œil nu , d'aussi près qu’on le désire, et que l’exige souvent la petitesse des cristaux,