CHAPITRE X

Des angles trièdres , et des angles polyèdres en général.

486. — Le mot angle, que nous avons employé pour caractériser la position relative de deux droites qui se rencontrent, ou celle d’une droite et d’un plan, ou même celle de deux plans en y ajoutant le mot dièdre, s’emploie encore pour caractériser la position relative de trois plans qui passent par un même point, et dont les intersections forment trois droites di.stinctes. Mais ,on y ajoute alors le mot trièdre, qui sert à le distinguer des angles dièdres et des angles plans.

La figure 397 représente un angle trièdre. Les plans AS fi, B S C , ASC qui le forment se nomment ses faces, les intersections S A , S B , S C des faces de l’angle trièdre se nomment ses arêtes , et le point de concours S des trois faces se nomme le sommet de l’angle trièdre. On applique aussi le nom de faces aux angles ASB, B SC, ASC compris entre les arêtes. ,

Dans la considération des angles tpièdres on fait abs«traction de la longueur des arêtes.

On désigne un angle trièdre par la lettre placée à son

^.KO^rÉTJm^ dans l’fspack. 853

sommol en la faisant suivre, s’il est néeessairc, de trois autres lettres prises sur ehacune de ses ai’êtes : on dirait ainsi l’angle tièdre S, ou l’angle trièdre SABC.

487. — Lorsque trois plans passent par un même point S (fig. 398), et que leurs intersections forment trois droites distinctes AA', BB', CC', ces plans présentent huit angles trièdres , dont quatre sont représentés en avant de la figure, savoir : SABC, S AB'C, SA'BC, S A B' C , et les quatre autres en arrière , savoir : S A B C' , SAB C , SA BC, SA'B C'.

Ces huit angles ont leurs faces et leurs angles dièdres égaux ou supplémentaires; mais aucuns d’eux ne sont l•igoureusement égaux. Les angles trièdres SABC et SA'B’C', par exemple, ont leurs faces égales chacune à chacune comme opposées par le sommet , savoir :

ASB = A'SB';ASC= ASC, etBSC = B'SC;

il en est de même de leurs angles dièdres. Cependant ces angles trièdres ne sont point superposables , parce que leurs parties sont disposées dans un ordre inverse. En effet, si l’on imagine que la face ASC .soit po.sée sur un plan horizontal , les deux autres faces étant au-dessus de ce plan, et qu’on se place dans l’angle dièdre qui a pour arête SB , en tournant les yeux vers celte arête, on aura la face BS C à sa gauche et la face A SB à sa droite. Si l’on imagine, au contraire, que la face A SC' égale à A S C soit posée à .son tour sur un plan horizontal, les deux autres faces étant au-dessus de ce plan, et qu’on se place dans l’angle dièdre qui a pour arête SB’, en tournant les yeux vers celte arête , on aura à .sa gauche la face A' S B' et la face B' SC à sa droite. Il résulte de cette dispo.sition inverse que les angles trièdres SABC et S A B C ne sauraient coïncider. Pour que celte coïncidence devînt possible, il faudrait que l’angle trièdre SA'B'C'fût, pour ainsi dire, retourné, comme on retourne un doigt de gant.

Deux angles trièdres 'qui sont ainsi composés des mêmes parties disposées dans un ordre inverse sontr dits symétrifjnesVwn de l’autre.

488. — Théorème. Dons un angle trièdre quelconque chaque face est plus petite que la somme des deux autres et plus grande que leur différence. Soit en effet SAB G (fig. 399) un angle trièdre quelconque. 1®11 n’y a lieu à démontrer la première partie du théorèipe que pour la plus grande des trois faces : soit ASC cette plus gi'ande face. Dans le plan ASC, menons SD qui fa^e avec SC un angle DSC égal à l’angle BSC. Coupons les trois droites SA , S D , S C par une droite quelconque A'DC. Prenons SB égala SD, et joignons B A etBC,

Les triangles DSC et BSC sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun ; on a donc D C B C.

Dans le triangle ABC, on a AC<[ AB -h BC ; et, si l’on retranche d’une part DC et de l’autre son égale BC, il restera :

AC — DC<AB, ou AD<AB.

Si l’on considère maintenant les triangles AS D et AS B, on voit qu’ils ont deux côtés égaux chacun à chacun. Mais le troisième côté A D de l’un est moindre que le troisième côté AB de l’autre; il en résulte que l’angle A SD opposé à AD e>t moindre que l’angle AS 6 opposé à AB ; car, si ces angles étaient égaux , on aurait A D = A B ( 189) ; et si l’angle A S D était plus grand qua AS B, on aurait AD >• AB (186).

On a donc ASD-<ASB;et si l’on ajoute d’une part l’angle DSC et de l’autre son égal BSC, il vient :

ASD + DSC<ASB + BSC,ouASC< ASB+BSC.

2“ Si les trois faces .sont rangées , quant à leur grandeur, dans l’ordre ASC,ASB,BSC, de l’inégalité

ASC >< ASB -f- BSC on tirera ASC — ASB •< BSC

et ASC — BSC< ASB„

et de l’inégalité AS B <1 A SC 4- BSC on tirera ^ .

ASB— BSC<ASC,

ce qui démontre la seconde partie du théorème.

GÉOMIÎTRIE DANS l’eSPACE. 355

489. — Tiiéorëme. St par le sommet d'un attf-le (rirdre on mène trois plans respectivement perpendieuLaires il ses arêtes , on forme un second angle triedre , tel ipic les faces du premier sont les suppléments des angles dièdres du second , et que les faces du second sont les suppléments des angles dièdres du premier. (Un angle plan ne saurait être, à proprement parler, le supplément d’un angle dièdre; il faut entendre, par celte expression abrégée, que l’angle plan est le supplémeut de celui qui sert de mesure à l’angle dièdre.)

SoitSABi)(lig.400) un angle trièdre quelconque. Par le points, menons un plan «S ^perpendiculaire à l’arête SD , un plan a^d perpendiculaire à l’arête SC, et un plan iS J perpendiculaire à l’arête SA. Ces trois plans détermineront un second angle trièdre Siahd.

L’arête SD , étant perpendiculaire au plan «S^,est perpendiculaire aux droites S« et S ^ qui passent j)ar sou pied dans ce plan. L’arête SB, étant perpendiculaire au plan aSd, est perpendiculaire aux droites S« et Sr/ qui pas.senl par son pied dans ce plan. Il en résulte que Sa est perpendiculaire à la fois aux arêtes S D et SB et, par conséquent, au plan DSB qui contient ces deux arêtes (401). On démontrerait de la même manière que S b est pei’peudiculaire au plan ASD, et (jue S^/est perpendiculaire au plan AS B.

Le théorème du n“ 441 conduit dès lors immédiatement aux conséquences suivantes :

L’angle A SB , formé par les droites S A et S B respectivement perpendiculaires aux plans ^Sf/et aSf/, est le supplément de l’angle dièdre aSdb compris entre ces plans. De même l’angle ASD est le supplément de l’angle dièdre aSbd, et l’angle B SD est le supplément de l’angle dièdre b S ad.

Récipi'oquement, l’angle aSb , formé par les droites Sa et S 6 respectivement perpendiculaires aux plans B S D et A S B , est le supplément de l’angle dièdre ASDB compris entre ces plans. De même l’angle aSd est le supplément de l’angle dièdre ASBD, et l’angle bSdesl le supplément de l’angle dièdre BS A D.

Remarque. Lorsque deux angles trièdres jouissent de cette propriété remarquable, que les faces de chacun d’eux sont les suppléments des angles dièdres de l’autre, on les désigne sous le nom d’angles trièdres supplémentaires.

490. — Théorème. Dans tout angle trièdre ^ la somme des trois faces est moindre que quatre angles droits. Soit SABC (fig. 401 ) un angle trièdre quelconque. Par trois points A, B, G, pris sur ses trois arêtes, faisons pas.ser un plan ABC. Si l’on considère l’angle trièdre ASBC, on a , en vertu du théorème du n® 488 :