SAC + SAB>CAB

en considérant l’angle trièdre BASC , on a de même : SBA + SBC> ABC,

et en considérant l’angle trièdre CAS B, on a aussi : SCB + SCA>BCA.

Ajoutons ces trois inégalités, membre à membre, l’inégalité subsistera encore dans le même sens , et l’on aura ;

SAC+SAB-hSBA+SBC+SCB-i-SC.A>CAB-i-ABC-l-BCA

O U S AC + S A B -1- S B A + S B C -h S C B -t- S C A > 2 «ng'/e J droits.

Or la somme totale des angles des trois triangles A S B, . ASC, B SC, laquelle vaut six angles droits, se compose des six angles qui figurent dan.s le premier membre de l’inégalité précédente, plus les trois angles qui ont leur sommet en S. Puisque les six premiers font une somme plus grande que deux angles droits , il faut donc que les trois autres fassent une somme moindre que quatre angles droits.

491. — Théorème. Dans tout angle trièdre, la somme lies angles dièdres est plus grande que deux angles droits , et moindre que six. Désignons, en effet, par m, n,p,\e& angles plans qui servent de mesure aux angles dièdres d’un angle trièdre quelconque, et par M , N , P, les faces

GÉOMÉTRIE DANS l’f.SPACR. 357

de l’angle teièdre supplémentaire. Kous aurons, en appelant il l'angle droit (489) ,

m =2 cl — M; n=2d — N;/?=2 rf— P;

d’où, en ajoutant ces égalités membre à membre,

m -j— Il -J— ^ 6 ci — M — N — P =6 — (M -1- ^ -f-P).

Or, la somme des trois faces M, N, P est comprise entre 0 et 4r/ (-iOO) ; il eu résulte que m est compris

entre G^/— 0 et dcl — 4d, c’est-à-dire entre Gd et 2d. La somme de ces trois angles trièdres est donc plus grande que deux angles droits, mais moindre que si.x angles droits.

492. — Phoblëme. Connaissant les trois faces d’nn angle trièdre , trouver ses angles dièdres. Soit S ABC (fig. 402) un angle trièdre dont les trois faces A SB, BSC, ASC sont connues, et supposons, pour fixer les idées, qu’on veuille d’abord obtenir la valeur de l’angle dièdre A SBC. Prenons sur les trois arêtes, à partir du sommet S , les longueurs égales SA , SB , SC; joignons AB, BC, AC. Par un point I de l’aréte SB, élevons à cette arête, dans les faces AS B et BSC, les perpendiculaires I M et I N ; l’angle MIN, formé par ces perpendiculaires , sera précisément l’angle tpie nous cherchons, puisqu’il est la mesure de l’angle dièdre ASBC.

Remarquons que l’angle SBA , étant l’un des angles à la base du triangle isocèle A SB, est nécessairement aigu; il en résulte que l’oblique B A doit rencontrer la perpendiculaire IiM (84); de même BC doit rencontrer IN- Joignons les points de rencontre IM et N par une ligne droite.

S’il nous était possible de construire sur le papier le triangle MIN, cette construction nous donnerait l’angle cherché MIN, Ür il est facile de se procurer les trois côtés de ce triangle.

En effet, soient asb , bsc, csa', les trois faces de l’angle dièdre donné, disposées consécutivement sur un même plan; soient = ^ =jc=SB. Joignonsrtô,

bc , CCI . Lostriangles ash , bsr, csa seront respectivement égaux aux triangles A SB, BSC, CSA, comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux. Si , avec les côtés ab, bc, ca, on construit un triangle abc, ce triangle sera donc égal au triangle ABC, car leurs côtés seront égaux chacun à chacun.

Soit encore ô/=BI. Par le point / menons nin perpendiculaire à sb; le triangle mi b sera égal au triangle MI B, car ils auront un côté égal Z>/ ==BI, adjacent à des angles égaux chacun à chacun , savoir : m / ô = MI B comme droits , et m ô / = INI B I par suite de l’égalité des triangles «jôetASB. Par une raison semblable, les triangles binet BIN seront égaux. Nous aurons donc ainsi //«=IM et /« = IN.

Prenons maintenant bm' = bm, et joignons mn, le triangle m' bn sera égal au triangle MBN; car ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, savoir: bm=bm = B M , et i« = BN; et ces côtés sont compris entre les angles cba' et CB A, égaux entre eux par suite de légalité des triangles abc et ABC. Donc ma = ININ.

Si donc, avec les lignes im, in et mn nous construi- .sons le triangle wïrt, ce triangle sera égal au triangle MIN. Puisque ces triangles auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun. L’angle mîn est donc égal à l’angle demandé.

On obtiendrait de la même manière les deux autres angles dièdres, ou du moins les angles plans qui leur servent de mesure.

Remarque. La construction précédente s’applique à toutes les valeurs que peuvent prendre les trois faces données, et l’on peut remarquer que le problème n’a qu’une seule solution.

ConoT.i.xiRE. Quand deux angles trièdres ont leurs faces égales chacune à chacune, ils ont aussi leui*s angles dièdres égaux chacun à chacun. Ils sont donc ou égaux si ces faces sont disposées dans le môme ordre , ou symétriques si elles sont disposées en ordre inverse.

Il est facile de reconnaître, d’ailleurs, que les faces ne peuvent être disposées que de l’une ou l'autre de ces

OigitiZ'

>li

GLOMÉTRIE DANS L ESPACE. 359^

(leux manières, puisqu'elles ne sont qu'au nonibre de trois.

493. — PkoulEme. Étant donnés dans un anf^le trièdre deux faces et l'angle dièdre compris, Vxmver la troisième face. Soient A SB et B SC (fig. 402) les deux faces données. Si l’on prend , comme tout à l’heure , S A=SB = S C ; qu’on joigne A B, B C, A C, qu’on élève I M et I N perpendiculaires à SB, et qu’on joigne RI N, l’angle MIN étant la mesure de l’angle dièdre A SBC qui est supposé donné, on connaît dans le triangle MIN deux côtés et l’angle compris ; on peut donc construire ce triangle, et il est facile d’en déduire la face inconnue ASC.

En effet, soient asb et bsc les faces données, placées consécutivement sur un même plan. Soit = a ^» = SB. Les triangles asb et bsc seront respectivement égaux aux triangles A S B et B S C.

Soit encore ô/ = BI. Menons, par le point /, la droite mn perpendiculaire k s b ; les triangles mib et ni b seront respectivement égaux aux triangles MIB et NIB.

Construisons un triangle m’in, dans lequel l’angle m’t n soit égal à l’angle donné, formé par les faces ASB et BSC, et clans lequel on ait nii =//// = RI 1 , et nf = 7i/ = NI. Ce triangle sera égal au triangle MIN, puisqu’ils auront un angle égal compris entre côtés égaux; il en résultera wV=RlN.

Avec les côtés mb , bn et m”n, construisons le triangle mbn; ce triangle sera égal au triangle RlBN;car ils auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Sur la droite hm', prenons bd = ba, et joignons cd , le triangle dbc sera égal au triangle ABC, car les angles dbc et ABC sont égaux par suite de l’égalité des triangles nibn et RI B N ; et de plus on a = BC et bd b a — ^ k..

Il résulte de là que l’on a aussi de = AC. Construisons donc un triangle àsc, dont les cédés sc et sa soient égaux, et dont la base soit égale à de-, ce triangle sera égal au triangle ASC, puisqu'ils auront

bv Googli

leurs trois côtés égaux chacun à chacun. L’angle asc sera donc la troisième face demandée.

Remarque. Connaissant la troisième face on pourrait, en employant la construction du n® 492, obtenir les deux autres angles dièdres.

CunoiXAiRE. Le problème qui précède n’étant su.sceptible que d’une seule solution, on voit que loi*sque deux angles trièdres ont un angle dièdre égal compris entre deux laces égales chacune à chacune, la troisième face est au.ssi égale de part et d’autre, et, d’après ce que nous avons dit dans le corollaire du numéix) précédent, ces angles trièdres sont égaux ou symétriques, suivant <jue leurs faces sont disposées dans le même ordre ou en ordre inverse.

494. — Puoni.ÉME. Étant donnés, dans un angle triédre , une face et les deux angles dièdres adjacents, trou* ver les antres faces et le troisième angle dièdre. Appe*' Ions A la face donnée, M et N les angles plans qui servent de mesure aux angles dièdres adjacents donnés. En vertu du théorème du n® 489, l’angle trièdre supplémentaire aura deux faces égales à2^/ — Metà2rf — N; et l’angle compris entre ces deux faces aura pour valeur 1d — K{d désignant la valeur de l’angle droit).

Appliquant les constructions du problème précédent, nous pourrons déterminer la troisième face de cet angle supplémentaire , et par suite, à l’aide des constructions du n® 492, scs deux autres angles dièdres. Soient P la troisième face, B et G les deux angles dièdres ainsi déterminés, l’angle trièdre proposé aura nécessairement un troisième angle dièdre dont la valeur sera 2r/ — P, et deux autres faces respectivement égales à — B et k 'Id — G. Toutes ses parties seront donc connues.

Gorom.airk. Leux angles trièdres, qui ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun k chacun , ont toutes leurs parties égales , et sont par conséquent égaux ou symétriques, selon (pie ces parties sont disposées dans le même ordre ou en ordre iuve,rse.

495. — Problème. Étant donnés les trois angles dièdres d’un angle trièdre trouver ses tmis faces. Appelons

OtOMliTRlE DAjNS l’eSPACE. 301

iM, N, P, les angles plans qui servent de’niesure aux angles dièdres donnés; les faces de l’angle trièdre supplémentaire auront respectivement pour valeur — M,

2d — N, et 2d — P(la lettre ^/désigllant toujours la valeur de l’angle droit). Appliquons les constructions du n® 4î)2, nous déterminerons successivement les trois angles dièdres de l’angle Irièdresupplémentaire. Soient A, B, C ces trois angles dièdres, ou du moins les angles plans qui leur servent de mesure ; les faces de l’angle trièdre proposé auront respectivement pour valeur 2d — A , 2 r/ — B, 2d — C.

Corollaire. Deux angles trièdres qui ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun ont aussi leurs faces égales chacune à chacune, et sont, par conséquent, égaux ou symétriques, suivant que leurs parties sont disposées dans le même ordre , ou eu ordre inverse.

496. — Applications. I. L’égalité des angles trièdres trouve une application fréquente dans les assemblages de charpente et de menuiserie. L’assemblage dit« double queue tChimnde, par exemple (fig. 403), exige que les angles trièdres, placés en saillie à l’extrémité du trapè/e qui termine chacune des deux pièces à assembler, se reproduisent exactement en creux sur l’autre pièce, afin que la coïncidence soit parfaite.

IL Cette même égalité des angles trièdres trouve aussi son application dans l’art du gaînier. Tous les angles trièdres qu’offre en saillie l’objet pour lequel on confectionne un étui doivent se reproduire en creux dans l’étui même, afin que la coïncidence puisse s’établir. C’est ce qu’on peut observer, par exemple, dans les étuis des équerres d’arpenteur, dites octogones.

Des angles polyèdres. ^

497. — Un nombre quelconque de plans passant par lin même point détermine ce qu'on nomme un angle polyèdre. figure 404 représente un angle polyèdre. T. es plans ASB, BSC, C.SD, DSK, F..SA qui le composent .se nuiniucnl ses faces; leurs inlcr.scctions consécutives SA,

302 SECONDK PARTIE.

SB, SC, SD, SE sont ses orgies; et le i)oiiil S oü ^iéunefit aboutir toutes les arêtes se nonniie le xomnict Ac Tangle polyèdre.

Dans la considération des angles polyèdres, on fait abstraction de la longueur des arêtes.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du souiniet, que l’on fait suivre, s’il est nécessaire, d’une lettre prise sur chacune de ses arêtes consécutivement. On dii’a ainsi l’angle polyèdre S, ou l’angle polyèdre SABCDÊ.

On ne considère, dans la Géométrie élémetitaire,que les angles polyèdres convexes , c’est-à-dire qui ne peuvent être rencontrés en plus de deux points par une ligne droite, et n’offrent, par conséquent, aucun angle dièdre rentrant.

498. — Théorème. La somme des faces (Lun angle polyèdre convexe quelconque est toujours moindre que A anglei droits. Soit S A B C D E (fig. 405) un angle polyèdre quelconque. Par le sommet S on peut toujours mener un plan tel qué l’angle polyèdre soit tout entier d’un même côté de ce plan; et, si par un point A, pris sur l’une des arêtes, on mène un second plan parallèle au premier, il coupera toutes les arêtes de l’angle polyèdre ; car si l’une d’elles était parallèle à ce second plan, elle serait tout entière contenue dans la première (449), ce qui est contraire h la supposition. Soit donc ÀBCDE le i>olygone formé par l’intersection de ce second plan avec les faces de l’angle polyèdre ; ce polygone sera convexe, puisque l’angle polyèdre est convexe lui-même.

Cela posé , prenons dans l’intérieur du polygone ABCDE un point quelconque O, et joignons OA, OB, OC, OD, OE. Nous formerons des triangles ayant leur sommet en O, qui seront en nombre égal à ceux qui ont leur sommet en S, et la somme totale des angles de ces deux systèmes de triangles sera la même. Mais la somme de tous les angles en O équivaut à 4 angles droits; pour prouver que la somme des angles en S est mpindrè , il suffit donc de prouver que la somme totale des angles à la base, dans le système de triangles dont le sommet est en S , est plus grande que la somme totale dès angles

géo3iiÇtrte dans l’espace. 363

à la base, dans le s)^^slème de triangles qui ont leur sommet en O. Or c’est ce qu’il est facile de faire voir, en remarquant que l’on a, en vertu du théorème du n“ 588 :

ABS4-SBC>ABC;BCS4-SCD>BCD;

et ainsi de suite; d’oii l’on tire, en ajoutant ces inégalités membre à membre :

ABS + SBC4'BCS-fSCD-t-etb.,>ABC+BCD + étc.,

O U A B S -j- S B C -I- B C S -I- S C n + e le. ,

>ABO + OBC-fBCO-+-OCD-hetc.

499. — Si l’on mène un plan par deux arêtes d’un angle polyèdre qui ne font point partie d’une même faccj bu obtient ce qu’on nomme un plan dia^nal. Ainsi ASC, ASD,BSD, etc. (fig. 404 ) seraient autant dfe plans diagonaux.

Par des plans diagonaux , on peut partager un angle polyèdre en angles trièdres, comme par des diagonales bn peut partager un polygone en triangles.

On ferait voir facilement que deux angles polyèdres Soht égaux lorsqu’ils peuvent se décomposer en un même nombre d’angles trièdres égaux chacun à chacun, tet semblablement disposés.

Lorsque deux angles polyèdres ont toutes leurs pailles égales, mais disposées dans un ordre inverse, ils prennent le nom d’angles polyèdres symétriques, lis sc décomposent alors en iin même nombre d’angles trièdres symétriques, disposés dans un ordre inverse.

Un ahgle polyèdre est régulier lorsque toutes ses faces sont égales, ainsi que tous ses angles dièdres. Nous en rencontrerons quelques exemples.

500. — Applic.xtioins. On trouve des angles polyèdres dans un grand nombre de formes que nous aurons bientôt àétudier. Les cristaux en offrent de nombreux exemples. Le diamant, lorsqu’il est taillé en rose , présente à sa partie supérieure un angle polyèdre dont les facessont très-nombreuses.

Dh:-; - ’ by GoOgl(

364 SECOJVDE PARTIE. ^