CHAPITRE XL

Médiode générale pour résoudre graphlquemeul les problèmes de Géométrie dans l’espace.

501. — Les problèmes résolus aux n<>» 492 et 493 offrent un exemple de questions de Géométrie dans l’espace résolues par des opérations graphiques effectuées sur un plan. On comprend sans peine l’avantage qu’il y aurait à ramener ainsi tous les problèmes qu’on peut se proposer sur les lignes et sur les surfaces à de simples questions de Géométrie plane susceptibles d’être résolues avec la règle et le compas. l\Iais pour cela il faudrait que les données du problème, quelles qu’elles fussent, pussent être elles-mêmes représentées sur un plan. Or, c’est à quoi l’on parvient à l’aide de la Méthode des projections, aussi nommée Géométrie descriptive.

Ce chapitre sera consacré à l’exposition succincte de cette méthode, en nous bornant toutefois aux problèmes relatifs à la ligne droite et au plan. Ce sera , pour ainsi dire, le complément de ce que nous avons déjà dit sur cette matière.

502. — Pour fixer la position d’un |>oint quelconque, M (fig. 406) de l’e.space, on le rapporte à deux plans fixes, l’un X H horizontal , l’autre XV vertical, dont l’intei> section X Y se nomme la ligne de terre.

On abaisse du point M une perpendiculaire M /« sur le plan horizontal ; le pied m de cette perpendiculaire est la projection horizontale du point M. On abaisse de ce même point une perpendiculaire M m' sur le plan vertical ; le pied m' de cette perpendiculaire est la projection verticale du point M.

Les plans X H et X V se nomment , pour cette raison, les plans de projection.

Suivant les droites Mw et M«é, conduLsons un plan ; il coupera les plans de projection suivant les droites O et O ni . I.e plan M m O ni, étant mené suivant IM m , sera perpendiculaire à X H ( 444 ) ; étant aussi mené sui-

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 3C>5

vant Mffj', il sera perpendiculaire à XV. Il sera donc perpendiculaire à la ligne de terre X Y, iulei*seclion des plans X H et XV (445). Il en résulte que les angles X O m et XO /«' sont droits, et que l’angle mOm mesure l’angle dièdre des plans de projection; or,cetangle est droit puisque l’un de ces plans est horizontal, et l’autre vertical ; d’ailleurs, les angles M///0 et M/«'0 sont droits aussi. La figure M«/ 0/w' est donc un rectangle , et l’on a »/0=M/?i', et = c’est-à-dire que //i O exprime la distance du point M au plan vertical; et ni O sa distance au plan horizontal.

Imaginons maintenant que le plan vertical XV tourne autour de la ligne de terre comme charnière, jusqu’à ce qu’il viennese rabattre sur le plan horizontal en XV'; la droite O ni, dans ce mouvement, ne cessant pas d’être perpendiculaire à XY, viendra se rabattre en Om', sur le prolongement de Om, qui est aussi perpendiculaire à XY. Les projections du point M se trouveront ainsi réunies sur un même plan et pourront servir à représenter ce point M , car celui-ci se déduit facilement de ses projections.

Rendons en effet au plan XV' sa position verticale XV; parles droites 0/w'et Om, conduisons un plan : ce plan sera perpendiculaire à la ligne de terre XY, puisque celle-ci est perpendiculaire à deux droites, 0/w' et Om, menées par son pied dans ce plan. Ce môme plan sera aussi perpendiculaire aux plans de projection , puisqu’il est perpendiculaire à une ligne XY contenue dans ces plans (444, Coroll. I). Elevons par le point m une perpendiculaire ///M au plan XH, elle sera tout entière dans le plan m'Om perpendiculaire à XH (443, Coroll. I ). Élevons parle point ni une perpendiculaire à XV, elle sera tout entière dans le plan m'Om perpendiculaire à XV. Les droites /wM et m' IM étant dans un même plan, et perpendiculaires aux droites Om et Om' qui se coupent , se couperont elles-mêmes en un point M, qui sera celui dont les projections sont m et ni.

.503. — On suppose toujours le plan vertical rabattu sur le plan horizontal ; il stiffit , ad besoin, de le redres-

ser par la pensée. Quant au plan ^prizout^l lui-paême^ on le représente par le plap du papier pu tju talileaii sur lequel on trace.

On tire dans ce plan, de gauche à droite, une droite XY (fig. 407), pour représenter la ligne de; terre : la partie du plan située au-dessous decette droite est plus particulièrement destinée à représenter le plan l|orizontal| et celle qui est au-dessus k représenter le plan vertical.

Néanmoins, la portion du plan située au-dessous de XY représente aus^i la partie du plan vertical qui est située au-dessous du plan horizontal, et la portion du plan située au-dessus de X Y représente aussi la partie du plan horizontal qui est située en arrière du plan vei tical. On verra qu’il ne peut jamais y avoir d’ambiguité à cet égard.

Deux points,//» et///', situés sur une même droite ^ //////', perpendiculaire k la ligne de terre (cette condition est indispensable d’après ce que nous venons de voir), sont les projections d’un point M de l’espace situé sur la verticale du point ni, k une hauteur au-dessus de ce point ' exprimée par O///'; ou bien encore un point situé sur une perpendiculaire au plan vertical, menée par le point ni eî^ k qne distance de ce point pxprimée pqr O///.

On désigne ordinairement pqr des lettres majuscules les points de l’espace; par des minuscules analogues leurs projections horizontales , et par les mêmes minuscules accentuées leur:» projections verticales. Ainsi A et B désignant deux points de l’espace, a b désigneront leurs projections horizontales,' et a' et b' leurs projections verticales. Cette convention évite l’ambiguité dont nous parlions tout-k-l’houre.

Lorsqu’un point est situé dans le plan horizontal de projection, sa projection verticale pst située sur la ligne de terre, et sa projection horizontale n’est autre que Ica point lui-même. On la désigne alors par une lettre majuscule.

Lorsqu’un point est situé dans le plan vertical de projection , sa projection horizontale est située sur la ligne de terre, et sq projection verticale n’est autre que le

GÉOMÉTRIE J)\^§ l’espace. .‘>G7

lui-mêmt'. On la désigne également par une lellre majuscule.

Le problème suivant éclaircira ces notions générajes.

.'i04. — Problème. Etant données les projections de deux points de l’espace, trouver leur distance. Soient A et B deux points de l’espace, dont les projections aa' et hb' (fig. 408) sont données. Le point A est situé sur la verticale du point a, à une hauteur a'p; le point B est .situé sur la verticale du point h, à une hauteur b'/j. Ces deux verticales déterminent un plan vertical qui coupe le plan liorizontal de projection suivant la droites Imaginons que ce plan vertical tourne autour de ah , comme charnière, jusqu’à venir se rabattre sur leplan horizontal; la verticale du point a n’ayant point cessé, dans ce mouvement , d’être perpendiculaire kah, viendra se rabattre suivant «A', perpendiculaire k ab , ei si l’on prend aA/=a'p, le point A' sera le rabattement du point A. De même, la verticale du pointé», n’ayant pas cessé d’être perpendiculaire à ab, viendra se rabattre suivant ^<B' perpendiculaire à et si l’on prend bW — b'q, le point B' sera le rabattement du point B. Or, dans ce mouvement de rabattement, la distance mutuelle des points A et B n’aura pas varié; cette distance n’est donc autre chose que A' B'.

505. — Nous avons vu (430) que si , des différents points d’une droite, on abaisse des perpendiculaires sur un plan donné , les pieds de ces perpendiculaires sont sur une même ligne droite , parce que toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan qui ne peut couper le premier que suivant une ligne droite; en outre, ces deux plans sont perpendiculaires entre eux (444). Il en résulte que les projections horizontales de tous les points d’une droite quelconque de l^espace sont sur une même dpoite, qui est l’intersection du plan horizontal de projection avec le plan mené par la droite donnée perpendiculairement à ce plan horizontal. Cette intersection se nomme en conséquence la projection horiz^ontaie de la droite donnée.

De même, les projections verticales de tous les points

368 SECONDE P\I\TTK.

<le la droite donnée sont sur une même droite, qui est l’intersection du plan vertical de projection avec le plan mené par la <lroite donnée perpendiculairement à ce plan vertical. Celte intersection se nomme la projection verticale de la droite donnée.

Une droite peut, aussi bien qu'un point, se déduire de ses projections. Soient, par exemple , (fig. 409) la projection horizontale, et d b' la projection verticale d’une droite. Imaginons, suivant a b, un plan vertical , et suivant «7» , un plan perpendiculaire au plan vertical de projection, l’intersection de ces deux plans sera la droite cherchée.

On donne le nom de plans projetants aux plans menés suivant une droite perpendiculairement aux plans de projection.

.S06. — Remarques. I. Lorsqu’une droite est horizontale, sa projection verticale est parallèle à la ligne de terre (fig.410); carsi, parla droite donnée, on mèneun plan horizontal , les perpendiculaires abaKssées des différents points de cette droite sur le plan vertical de projection seront tout entières dans le plan horizontal (443, Coroll. II) , et celui-ci coupera évidemment le plan vertical de projection, suivant une droite db' parallèle à la ligne de terre (448).

II. Par une raison semblable , lorsqu’une droite est parallèle au plan vertical, sa projection horizontale est parallèle à la ligne de terre (fig. 41 1 ).

III. Lorsqu’une droite est parallèle h la ligne de terre, ses deux projections sont parallèles à cette ligne (fig. 412); car la droite dont il est question est alors parallèle à la fois aux deux plans de projection (420).

IV. Lorsqu’une droite est verticale, .sa projection horizontale se réduit à un point, et sa projection verticale est perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 413) ; car, 1“ toutes les perpendiculaires abaissées des différents points de cette droite sur le plan horizontal, étant verticales, se confondent avec la droite elle-même; 2“ toutes les perpendiculaires abaissées des différeul.s points de celle droite sur le plan vertical de projection

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 360

forment un plan projetant qui est vertical , puisqu’il contient une verticale; il coupe donc le plan vertical de projection suivant une verticale (474), c’est-à-dire suivant une perpendiculaire à la ligne de terre.

V. Par des raisons analogues, lorsqu’une droite est perpendiculaire au plan vertical de projection, sa projection verticale se réduit à un point, et sa projection horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre (fig.414).

VI. Lorsqu’une droite est située dans le plan horizontal de projection , sa projection verticale est la ligne de terre , et sa projection horizontale est la droite elle-même. On la désigne alors par des lettres majuscules (41.‘>).

Vil. Lorsqu’une droite est située dans le plan vertical de projection , sa projection horizontale est la ligne de terre, et sa projection verticale est la droite ellemême. On la désigne par des majuscules (fig.416).

VIII. Lorsqu’une droite est située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre et, par conséquent , aux deux plans de projection (44.5, Coroll.), ses deux projections se confondent en une seule et même droite perpendiculaire à la ligne de terre (417) ; car les plans projetants ne sont antre chose, dans ce cas, que le plan même qui contient la droite. Or, ce plan coupe les plans de projection suivant des droites perpendiculaires à la ligne de terre , lesquelles se placent sur le prolongement Tune de l’autre , quand le plan vertical de projection vient se rabattre sur le plan horizontal.

Dans ce cas , les mêmes projections appartiennent à toutes les droites menées dans le plan perpendiculaire à la ligne de terre qui contient la droite donnée , et il devient nécessaire , pour particulariser celle-ci , de donner les points où elle perce les plans de projection , points que l’on nomme les traces de la droite.

507. — Lorsque la droite n’a point celle position particulière, ses traces peuvent se déduire de ses projections.

Proulëme. Étant données les projections (Tune droite , trouver ses traces, Soient et a'H (lig. 4t8) les pro-

^70 SECOI^DE PA.RTJE.

jections d’une droite. Si l’on inèae suiyant peltq droj|q un plan perpendiculaire au plan horizontç»! de prqjection, ce plan coupera le plan horizontal suivant la projection l^orizontale abc ûq la droite donnée, et il coupera le plan vertical de projeciîpn suivant une verticale, c’est-à-dire suivant une droite c y' perpen*; diculaire à la ligne de terre. La trace vertjc«lie de la droite donnée, c’est-à-dire le point où elleperce |e pla^ vertical de projection , no peut se trouver que sur la ligne çc \ mais il faut aussi qu’elle se trouve spr la projection verticale d h' de la droite donnée; elle n’est donc autre chose que leur point de rencontre c.

On voit , d’après cela , que pour obtenir la trace verticale d’une droite , il faut prolonger sa projection hori; zontale jusqu’à la ligne de terre et élever au point de rencontre une perpendiculaire à cette ligne; le point où celte perpendiculaire rencontre la projection verli-: cale de la droite est la trace verticale cherchée.

On verrait de môme que pour obtenir la trape horizontale d’une droite, c’est-à-dire le point où elle perce le plan horizontal de projection , il faut prolonger sa projection verticale jusqu’à la ligne de terre, et élever au point de rencontre d' uqe perpendiculaire à cette ligne; le point d où cette perpendiculaire rencontre la projection horizontale ab Ae la droite est la trace horizontale cherchée.

Remarques. I. Il peut arriver que cc ne rencontre la projection verticale db' de la droite qu’au-dessous de la ligne de terre (fig. 419). Cette circoqstance indique que; la droite perce le plan vertical de projection au-dessqus du plan horizontal.

II. Il peut arriver également que dd' ne rencontre la projection horizontale a de la droite qu’au -dessus de la ligne de terre (fig. 420). Cette circonstance indique que la droite perce le plan horizontal de projection en arrière du plan vertical.

III. Enfin les deux circonstances que nous venons de signaler pourraient se présenter à la fois , comme l’indique la figure 421.

GKOMÉTRIE DAl^'S l’eSPACE. 371

CoROiXAiHE. Répiproqiiemenl : connaissant les traces d’uiie droite , rien n’est plus facile que d’obtenir ses projections. Soient, par exemple, c'etf/(fig. 418) ces deux traces; de ces points abaissons sur la ligne de terre les perpendiculaires'c'cet dd' \ joignons edet cd'. Ce seront les projections eberebées.

508. — Problème. Étant données les projections de deux points, trouver celles de la droite qui joint ces deux points. Soient a, à el b, b' (fig. 422) les projections données. La projection horizontale de la droite cherchée^ devant contenir les projections horizontales de tous ses points, doit passer par « et et n’est, par conséquent, autre chose que la droite ab. Par une raison analogue, la projection verticale de la droite n’est autre chose que la droite a qui joint les projections verticales des deux points donnés.

509. — Problème. Étant données les projections d’une droite et celles d’un point, trouver les projections d’unie parallèle à la droite donnée , passant par le point donné .

Il résulte du théorème du n“456 que les projections horizontales de deux droites parallèles sont parallèles entre elles. 11 en est de même de leurs projections verticales. Si donc fl et àV (fig. 423) sont Içs projections de la droite donnée, et ç,d celles du point donne, poqr obtenir les projections de la parallèle demandée il suffit de mener par le point c une parallèle à fl è, et par |e point c une parallèle à a’b'.

510. — Remarque. Il est facile, d’après ce qui précédé » dç reconnaître si deux droites sont parallèles, lorsque leurs projections sont données. Si ces projections ne sont point parallèles chacune à chacune , lés droites ellesmêmes ne le sont point. Mais pour qu’elles se coupent , il faut non-seulement que leurs projections horizontales se coupent, ainsi que leurs projections verticales, il faut encore que ces deux intersections puissent être les projections d’un même point, ç''est-à-dire qu’elles soient situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre, comme l’indique la figurç 424.

51t. — Qu représente up pl.TU par ses {raeçs,, q’est-à-

’Oigitized by

SF.CONDE PARTIE.

fin

dire par ses interseclions avec les plans de projection. Le point où le plan rencontre la ligne de terre appartient évidemment à ses traces; ainsi les traces d’un plan concourent , en général , vers un même point de la ligne de terre. Ainsi les droites ma et m a (fig. 425) représentent un plan qui coupe le plan horizontal de projection suivant ma, et le plan vertical suivant ma\

Lorsqu’un plan est vertical , sa trace verticale est perpendiculaire à la ligne de terre ; car elle est l’intersection de deux plans verticaux , et est, par conséquent, verticale (fig. 426).

Loi-squ’un plan est perpendiculaire au plan vertical de projection, sa trace horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre; car, étant l’intersection de deux plans perpendiculaires au plan vertical de projection, elle est elle-même perpendiculaire à ce plan, et par suite à la ligne de terre qui passe par son pied dans ce plan (fig. 427).

Lorsqu’un plan est horizontal , il n’a point de trace horizontale, et sa trace verticale est parallèle à la ligne de terre (448).

Par une raison analogue, lorsqu’un plan est parallèle au plan vertical de projection, il n’a point de trace verticale, et sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre.

Lorsqu’un plan est parallèle à la ligne de terre, ses traces sont aussi parallèles à cette ligne (421 ).

Enfin, lorsqu’un plan est perpendiculaire à la ligne de terre , ses traces sont aussi perpendiculaires à cette ligne, puisqu’elles sont menées par son pied dans ce plan , et comme elles rencontrent la ligne de terre en un même point, elles se confondent en une seule et même droite (fig. 428).

512. — PhonLÈME. Etant données les projections de trois points , trouver les traces du plan qui passe par ces trois points. Soient a et h et b’ , c et c (fig. 42!)) les projections données de trois points A, B, C de l’espace. Construisons les projections des droites AB et B C (508); cherchons les traces u, 4 etv, X- de ces deux droites (.507) ; tirons «u et 4 X ; ce seront les traces demandées.

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 573

Car les droites AB et BC étant situées dans le plan cherché, puisque chacune d’elles y a deux points, les traces de ces droites sont situées sur les traces du plan qui les contient.

Remarque I. Les droites uv et hk prolongées iraient concourir en un même point de la ligne de terre.

Remarque II. Au lieu de déterminer le plan au moyen des deux droites AB et BC, on aurait pu employer les droites AC et BC, ou AB et AC; en sorte que le problème est susceptible de plusieurs vérifications.

Corollaire. On résoudrait de la même manière le problème suivant : Étant données les projections de deux droites qui se coupent y trouver les traces du plan mené par ces deux droites.

513. — Problème. Étant données les projections de deux droites parallèles , trouver les traces du plan mené par ces deux droites. Soient a b, a' V et cd , c'd' (fig. 430) les projections de deux droites parallèles. Cherchons leurs traces «, A et v, k (507) , et joignons uv et h k ; ce seront les traces demandées ; car on peut appliquer ici les rai.sonnements de tout-à-l’heure.

Remarque. On voit que les deux traces concourent en un même] point m de la ligne de terre, comme cela doit être. Lorsqu’il arrive , comme dans la figure , que l’une des traces cherchée , uv par exemple, rencontre la ligne de terre dans l’étendue même du papier ou du tableau sur lequel on opère , ou , comme on dit, dans le cadre de l'épure y pour déterminer l’autre trace il suffit de l’un des deux points h ou k; en joignant l’un de ces points au point w, on obtient la seconde trace cherchée.

Corollaire. La construction précédente s’appliquerait à la solution du problème suivant : Etant données les projections (Tune droite et d'un point y trouver les traces du plan mené par ce point et cette droite. Car, en menant par le point donné une parallèle à la droite donnée (509), on ramènerait le [problème au cas précédent.

514. — Problème. Etant données les traces de deux plans y trouver les projections de leur intersection . Soient ma y ml' eina y n b' les traces données. Les traces hori-

374 SECONDE PAIITIE.

zoptalps so coupent en un point a qui appartient ^ ^ fois aux deux plans, et par conséquent à leur intersection. On en peul. dire autaqt du point b où §e coupent les traces verticales. Les points a çX b sont donc les traces de l’intersection cherchée. Pour obtenir les projections demandées, jl ne reste donc quà mener a a et b h' perpendiculaires à la ligne de terre, et joindre «6 et a' h' (ü07 , Coroll.)-

Remarque I. Sl les traces horizontales m c et nd (fig. 432) étaient parallèles, il faudrait en conclure que l’intersection de ces plans est elle-même parallèle à wc et à « d, car si , par le point b' on menait une parallèle à me et 'and, elle serait contenue tout entière dans les deux plans donnés (424). Le plan vertical qui serait mené par l’intersection cherchée couperait donc, d’une part, le plan vertical de projection suivant une \ertic£tle y c est-ndire suivant une perpendiculaire t à la ligue de terre, et, de l’autre, le plan horizontal de projection suivant une droite b a parallèle à l’intersection en question (421)^ et par conséquent aussi à c et à «

On pourrait faire une remarque analogue si c’étaient les traces verticales me' et nd (fig. 433) qui fussent pa- VSlllclCSa

RemarqueW. Si le parallélisme avait lieu à la fois pour les traces horizontales et pour les traces verticales , il faudrait en conclure que les deux plans donnés sont parallèles (447). Ainsi ama, (fig. 454) représentent deux plans parallèles.

515. — Problème. Étant, donnée la projection horizontale dune droite contenue dans un plan, ainsi que les traces de ce plan, trouver la projection verticale de la droite. Soit a b ( fig. 435) la projection horizpntale d’une droite contenue dans le plaq dont les ti’aces sont me et me. Si par le point a on élève ad perpendiculaire à la ligne de terre, «6 et a a' seront les traces d’un plan vertical mené suivant a 6, et qui, par conséquent, contient la droite dont a b est la projection horizontale. Or cette droite est, par supposition, contenue dans le plan donné; elle est donc l’intersectiop des plaps çmc et

GJêOM^TlUE DAÎfS l’espace. 375

b ad. Il en résulte inimédiatement que ses traces sont «' et 6 , et que si l’on mène perpendiculaire h la ligne de terre et qu’on joigne db', cette droite sera la projection verticale cherchée (507, Coroll.).

Remarque. On emploierait une construction analogue si la droite n’était déterminée que par sa projection verticale.

516. — PROBt^ÈME. Étant données les projections d’imç droite et les traces d’un plan , tixmeer les projections du point où la droite rencontre le plan. Soient «è et db' (fig. 436) les projections de la droite donnée, md et md. les traces du plan donné. Par la projection horizontale ai de la droite, imaginons qu’on élève un plan vertical ; ce plan contiendra la droite. 11 coupera en oytre le plan donné, suivant une droite dont les projections, construites d’après le problème précédent, seront c^/et cd'. Mais la droite AB (celle dont les projections sont a b etdV) qui est contenue dans le plan c'ch, ne peut rencontrer le plan donné cmd qu’en un point de l’intersection CD de ces plans. La projection verticale du point cherché doit donc être l’intersection o' des projections verticales c'éT et dV des droites CD et AB. Pour obtenir ensuite la projection horizontale de ce point, ou n’a plus qu’à abaisser du point d une perpendiculaire sur la ligne de terre , et à la prolonger jusqu’à la rencontre eii O, de la projection horizontale cd ou ab , commune aux deux droites.

Remarque. Cette construction cesse d’être applicable quand la droite donnée est verticale , parce que sa projection horizontale se réduit alors à un point ; njais il se présente, dans ce cas, une construction plus simple.

Soient mç et me (fig. 437) les traces du plan donné, a la projection horizontale de la droite donnée, et hd sa projection verticale {ati hd sont situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre). On mène ab pai*allèle à la trace horizontale du plan donné, et bV perpendiculaire à la ligne de terre. Ces deux droites sont les traces d’un plan vertical qui contient la droite donnée , et qui est parallèle à cm^ puisqu’il contient une parai-

IMe à celte ligne. Ce plan coupe donc le plan donud suivant une parallèle à cm (421), c’est-à-dire suivant une horizontale. Cette intersection passe d’ailleurs par le point b' ; sa projection verticale est donc une droite b a parallèle à la ligne de terre. Le point cherché, étant contenu dans les deux plans c me et b' ba appartient à leur intersection. Mais il appartient aussi à la dioile donnée; sa projection verticale est donc le point de rencontre des droites b'à et àh; et quant à sa projection horizontale , elle n’est autre que le point «, puisque la droite donpée est verticale.

Corollaire. La construction que nous venons d’exposer est précisément celle qu'il faudrait employer pour résoudre ce problème : Etant données la projectiofi horizontale dun point et les traces d’un plan où ee point est contenu , trouver sa projection verticale.

On emploierait une construction analogue si le point n’était donné que par sa projection verticale.

517. — Prohlème. Etant données les projections cTun point et les traces d'un plan , trouver les projections d une perpendiculaire à ce plan ^ passant par le point donné . Soient ma, ma (fig. 438) les traces du plan donné, et b, V les projections du point donné. Si par la droite cherchée on imaginait un plan vertical, ce plan serait à la fois perpendiculaire au plan horizontal de projection et au plan donné a' ma (444). Il serait donc perpendiculaire à ma qui est l’intersection du plan a ma avec le plan horizontal de projection (445). Il en résulte que ma est perpendiculaire à toutes les droites menées par son pied dans le plan vertical de la droite cherchée, et en particulier à la projection horizontale de celte droite. Pour obtenir celte projection horizontale, il suffit donc de mener par le point b une perpendiculaire à la trace horizontale ma du plan donne.

On prouverait de même que , pour obtenir la projection verticale de la droite cherchée, il faut, par le point b’, mener une perpendiculaire à la trace verticale m à du plan donné.

Corollaire. A l’aide de la construction du n“5ir>, on

GÉOMÉTRIE DAIVS l’eSPACE. 377

j>ourraît trouver les projeetions du point où la perpendiculaire perce le plan donné ; et par la construction du 11“ .'Î04, on obtiendrait la longueur de cette perpendiculaire, c’est-à-dire la distance du point donné au plan donné.

518. — PnOBLÈME. Eteint données les projections el’un point et les traces d’un plan , tixniver les traces iV un plan parallèle au premier et passant par le point elonné. Soient nib, mb' (fig. 439) les traces du plan donné, et a, a' les projections du point donné. Par ce point donné, imaginons qu’on mène, dans le plan cherché, une parallèle à la trace horizontale w A du plan donné; cette droite sera parallèle au plan horizontal de projection (420), et, par conséquent, sa projection horizontale sera une droite ac parallèle à m b (421) , et sa projection verticale sera une droite ad parallèle à la ligne de terre. Sa trace verticale sera donc l’intersection c de la droite rt'c'avecla verticale ce (507). Cette tracer', appartenant à une droite menée dans le plan cherché, appartient évidemment à la trace verticale de ce plan. Or, nous avons vu que, lorsque deux plans .sont parallèles, leurs traces sont également parallèles; cela résulte, d’ailleurs, du théorème du n° 448. Pour obtenir les traces du plan cherché, il faut donc, par le point c, mener n d' parallèle à mb', et, par le point n, mener en.su ite nd parallèle à m b.

Remarque. Si le point c se trouvait sur la trace mb' du plan donné, on en conclurait que la droite AC est dans le plan donné, et que, par conséquent, le point donné est aussi dans ce plan.

On pourrait se servir de ce moyen pour reconnaître si un point dont les projections .sont données appartient à un plan dont on a les traces.

519. — Problème. Etant données les projections de deux droites, trouver les traces d'un plan qui passe par l’une de ces droites , et qui soit parallèle à l’autre. Par un point de l’une des deux droites (.ses projections doivent être situées sur une même perpendiculaire à la ligne «le terre), menez une parallèle à l’autre (509); .suivant

ins spcoM)r pvimE.

parallèle el la première droile, faijes pqsser un plan (511, Coroll.) : ce sera le plan demande (420).

520. — Problème. Etnn^ données le^ projections d'un point et celles dune droite , trouver les traces d’un plan perpendiculaire h cette droite , et qui passe par le point donné. Soient a b et a'b' (lig. 440) les projections de la droite donnée, et o, o' celles du point donné. Par un point quelconque/// de la ligne de terre, menez /// c perpendiculaire à ah, et me perpendiculaire à db'. Les droites /«c et me seront les traces d’un plan perpendiculaire à la droile donnée (vojez le n® 517 Il ne re.stera plus qu’à mener par le point donné un plan pai’allèle au plan d me; c’est le problème du n“ 518.

Corollaire. A l’aide de la construction du u°516, on déterminerait les projections du point où le plan et la droite se rencontrent; en joignant ce point au point donné (505), on aurait une perpendiculaire menée à la droite donnée par le point donné. On pourrait ensuite, par la construction du n” 504 , trouver la longueur jJe celle perpendiculaire, c’est-à-dire la distance du point donné à la droite donnée.

521. — Problème. Etant données les projections dune, droite et les traces d’un plan, trouver les traces d’au plan qui passe par la droite donnée et soit perpendiculaire au plan donné. D’un point pris sur la droite donnée (ses projections doivent être situées sur une même perpendiculaire à la ligue de terre), abaissez une perpendiculaire sur le plan donné (517). Par cette perpendiculaire et parla droite donnée, faites passer uq plan (511 , Coroll.); ce sera le plan demandé, puisqu’il contiendra la droite donnée et une perpendiculaire au plan donné (444).

522. — Problème. Etant données les traces de dçux plans et les projections d’un point, trouver les traces d’un plan perpendiculaire aux deux plans donnés , et qui passe par le point donné. Cherchez l’intersection des deux plans donnés (514); par le point donné, menez un plan perpendiculaire à cette intersection (520) ; ce sera le plan demandé (445, Coroll.)

-OOgle

GKOMliïillE DANS LESPACE. 379

523. — PuoBLÉME. Etant donnçes les, piojections de deux droites qui se coupent , déterminer l’angle de ces lieux droites. Cherchons d’abord les traces des droites donnas (507). Soient u, h et r>, / (fig. 441) eps traces. Les droites uv et h/,- seront les traces du plan qui contient les deux droites données, et concourront généralement en un certain point m de la ligne de terre. Soient sreX st les traces d’un plan vertical perpendiculaire à m/,; la verticale .y fêtant perpendiculaire à l’horizontale sr, les trois points /', s , t sont les sommets d’un triangle rectangle en J, et que l’on peut construire, puisque l’on connaît les côtés de l’apgle droit. Soit rst" ce triangle construit; son hypothénuse rt’ sera la distance des points r et t dans l’espace. Imaginons maintenant que le plan tmr tourne autour de mr comme charnière jusqu’à venir se i*£;battre sur le plan horizontal de projection. En vertu du théorème du n“ 413, la droite qui joint les points /• et t est perpendiculaire à mr; elle viendra donc se rabattre en rt' sur le prolongement de sr; et comme la distance de ces deux points est égale à rt\ si l’on prend rt'==rt", le point i sera le rabattement du point t. Joignons m t'; çette droite sera le rabattement de la droite m t. Prenons t'v = tv et t' u =tu; les points u et v seront les rabattements des points u et v. D’ailleurs, les points h et / n’auroqt point changé de place. Si donc on joint u' h et v />, ces droites seront les droites données rabattues sur le plan horizontal dans leur position mutuelle véritable. L’angle Aoh sera donc l’angle demandé.

Remarques. I. Si le point de concoui'S m des deux tracés uv et hk était situé hors du cadre de l’épure, ou pourrait, par un point quelconque, mener des parallèles aux droites données; l’angle de ces parallèles serait le même que celui de.s droites données (428) ; et le point par lequel on les mènerait pourrait toujours être choisi assez près de la ligne de terre pour que la construction rentrât dans le cas de la figure 441.

U. Si les traces uv et hk étaient parallèles à la ligne de terre, la construction serait applicable, avec celte

380 ' SECONDE PARTFE.

seule modification (jue le rabattement île uv serait aussi parallèle à la ligne de terre {voyez la fig. 442).

III. Si les traces uv et h/, (fig. 443) étaient perpendiculaires à la ligue de terre, la construction se simplifierait; car, en faisant tourner le plan vniJi autour de mh pour le rabattre sur le plan horizontal de projection , les points uv viendraient se rabattre en « et v' sur la ligne de terre, de telle sorte qu’on aurait mu’=mu et mv' — mv. Kn tirant ensuite u h et r'/ , on aurait le rabattement des droites données, et koh serait encore l’angle demandé.

524. — Problème. Etant données les traces de deux plans , déterminer r angle dièdre de ces plans. Cherchez rintei*section de deux plans donnés (514); par un point quelconque de cette intersection, menez des droites perpendiculaires à ces plans (517). I/angle de ces perpendiculaires sera le supplément de l’angle de ces plans (441), et le problème est ainsi ramené au priicédent.

525. — Les pi’oblèmes qui précèdent suffiront pour donner une idée de la méthode des projections, appliquée aux questions relatives aux lignes droites et aux plans, et fournissent les moyens de résoudre tous les problèmes de ce genre, puisque ceux-ci peuvent toujours être ramenés à quelques-uns de ceux que nous avons traités. Nous engageons le lecteur à tracer avec soin l’épure des problèmes que nous n’avons fait qu’indiquer, et à résoudre, comme exercice, le problème de la plus courte distance des deux droites (427). S’il se reporte à la solution de ce problème, il verra que, pour la'traduire en opérations graphiques, il aura 1° à mener par im point E d’une droite CD (fig. 347) une parallèle FG à la droite AB ; c’est le problème du n® 509; 2“ à mener un plan MN par les deux droites CD et FG : c’est le problème indiqué dans le corollaire du n“51I ; 3“à abaisser d’un point H de la droite AB une perpendiculaire HI sur le plan MN : c’est le problème du n“ 517; 4® à chercher le pied I de cette perpendiculaire: c’est le problème du n" 516; 5® à meuer par le point 1 une parallèle

GÉOMJÎTRlJî DAJSS L’jtSPACI-. 381

à la droite AB . c’est encore le problème du n® 509;

6° à mener par le point de rencontre L de cette parallèle avec CD une parallèle à HI : même problème; 7“ enfin à déterminer la longueur de la droite PL : c’est le problème du n® 504.

A cause de la complication du problème, il sera nécessaire de tracer l’épu ;e sur une grande échelle.