CHAPITRE XII

Des surfaces courbes, et des lignes courbes dans l’espace.

526. — Si l’on imagine qu'une ligne, droite ou courbe, se meuve d’un mouvement continu quelconque dans IVspace, dans toutes ses positions successives elle appartiendra à une même surface que l’on pourra considérer comme engendrée par son mouvement. Toutes les surfaces que la Géométrie considère peuvent être ain.si engendrées par une ligne qui prend le nom de génératrice; et c’est leur mode de génération qui sert à les classer et à les définir.

Parmi celles qu’il est le plus utile de connaître , on distingue les surfaces réglées et les surfaces de lévolutiun .

On nomme surfaces réglées celles qui sont engendrées par le mouvement d’une ligne droite.

Les surfaces de révolution sont engendrées par une ligne, droite ou courbe , qui se meut autour d’une droite fixe nommée axe, de telle sorte que chaque point de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe , et qui a son centre sur cet axe: telles sont les surfaces produites par le tour. D’après la nature même de ces surfaces, tout plan qui les coupe perpendiculairement à l’axe donne pour intersection une circonférence de cercle.

Les surfaces réglées se distinguent les unes des autres par le mouvement de la génératrice.

Si la génératrice reste constamment parallèle à elle- • même, et est, en outre, assujettie à rencontrer dans

• i by -jOOgle

882 SECONDÉ partie.

tPütes Scs j)Osilioils une coiij’ho fixe appelée àirccïricè, on a ce qu’on appelle une surface cylindrique.

' Si la génératrice passe constaunneht par uii j)Oinl fixé, et est assujettie à rencontrer dahs toutes ses positions ' une même directrice, on a ce qu’on appelle une surface cùhique.

Si là génératrice est assujettie à rencontrer conslàininent trois directrices fixes , on a ce qu’on appelle une surface gauche. ^ ,

Les surfaces de révolution se subdivisent d’après la nature de la courbe génératrice.

SI la gëhéràtrice est une circonférence de cercle assujettie à tourner autour d’un même diamètre, on a ce qu’on appelle xxwe surface sphérique, ou, par abréviation , une sphère.

Si la génératrice est une ellipse assujettie à tourneÉ autour de l’un de ses axes, on a V ellipsoïde de révolution.

Si la génératrice est une circonférence de cerclé assujettie k tourner autour d’un axe qui ne coupe pas cette Circonférence, on a une surface annulaire, etc., etc.

Noits verrons qu’il y a des surfacés réglées qui sont éri même temps des surfaces de révolution.

Remarque. On se sert souvent du mot génératrices au pluriel, pour désigner les différentes positions successives que peut prendre la génératrice d’une Surface courbe.

627. — Nous avons dit (5) qu’ilhè surface coürfcé peut être considérée Comme une surface brisée contposéc d’une infinité de faces planes infiniment petites. Chacune de ces faces planes infiniment petites est ce qu’Ori nomme un élément àie la surface courbe. Si l’on prolongé par la pensée cet élément dans tous les sens, on obtient un plan qui n’a , en général , avec la surface cotiébe , que fce seul élément commun. Un plan qui a , avec une surface courbe, un élément commun est dit tangent h cetté Surface, et réciproquement la surface est dite tangente au plan. Si plusieurs surfaces ont un élément commun ^ elles soîlt tàfî^éhtfô entre elles , et ont pour plan tangent commini rél^ent commun prolongé. '

CÉ03lÉtRIj; DANS l’kSPACK. 383

Chatjiie point d’une surface courbe peut être considère connnc l’un de ses éléments.

52^. — Soit M (fig. 444) un élément de surface courbe, et aebd cet élément prolongé , c’est-à-dire le plan tangent au point M. Faisons passer par le point lU un plan qui coupe la surface suivant une courbe A M B , et le plan tangent suivant une droite a b. La cOurbe AlVtB et là droite ab, situées dans un même plan, n’auront dç commun que le point M (du moins dans le voisinage de ce point); car si elles avaient un second point comimtn, te point appartiendrait à la fois à la surface et au plan tangent, ce qui est contraire à la supposition. La droite ab sera donc tangente à la courbe AMB. Faisons passer par le point M un second plan qui coupe la surface suivant une courbe CMD et le plan tangent suivant une droite cd; on prouvera de la môme manière que cd est tangent à la courbe CMD. On pourrait évidemment répéter le même raisonnement pour toutes les sections que l’on pourrait faire par un plan passant au point M. Le plan tangent achd contient donc toutes lés tangentes qu’on peut mener par le point M aux différentes courbes qu’oU obtient en coiipant la surfacé par un plan passant en ce point. Et comme il suffit de deux droites pour déterminer la position d’un plan, on voit que, pour obtenir le plan tancent en un point d' une surface courbe , il faut faire passer deux plans par ce point, mener par ce meme point, dans chacun de ces plans, une tangente à la courbe d’intersection, et conduire un plan suivant ces deux tangentes.

Remarque. Si , par le point de tangence, on mène une perpendiculaire au plan tangent, cette perpendiculaire prend le nom ûe normale à la surface; et tous les plans qui passent par la normale sont eux-mêmes des plans normaux.

529. — Lorsque deux surfaces courbes se rencontrent, il peut arriver que la section soit une ligne droite, oii iine courbe plane. IMais le plus généralement , la section est une courbe qui ne saurait être comprise dans aucun plan; ces sortes de lignes prennent le nom de courbes à

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double courbure. Telle est, par exemple, la courbe que forme le bord d'un fdet de vis; nous verrons que cette courbe, appelée hélice, est l’intersection d’une surface gauche avec une surface cylindricjue.

Une ligne (pielconque , située comme on voudra dans l’espace, peut toujours être regardée comme l’intersection de deux surfaces; et c’est en général sous ce point de vue que les lignes courbes se présentent dans les applications.

530. — La méthode des projections s’étend avec avantage aux questions relatives aux surfaces courbes et aux lignes courbes.

On nomme traces horizontale et verticale d’une surface les lignes d'intersection de cette surface avec les plans de projection.

Si de tous les points d’une ligne courbe quelconque de l'espace on abaisse des perpendiculaires sur le plan horizontal de projection, les pieds de ces perpendiculaires forment une ligne que l’on nomme la projection horizontale de la ligne courbe. De même, si de tous les points de cette ligne courbe on abaisse des perpendiculaires sur le plan vertical de projection , les pieds de ces perpendiculaires forment sa projection verticale {voyez la figure 445).

Il est facile de voir que la projection horizontale d une ligne courbe est l’intersection du plan horizontal de projection avec une surface cylindrique dont les génératrices sont verticales , et qui a pour directrice la courbe proposée. De même, la projection verticale de cette courbe est l’intersection du plan vertical de projection avec une surface cylindrique dont les génératrices sont perpendiculaires à ce plan , et qui a pour directrice cette courbe proposée.

La courbe proposée est donc elle-même l'intersection des deux surfaces cylindriques dont nous venons de pai - 1er, et que l’on nomme les surfaces projetantes.

Nous donnerons bientôt quelques exemples du parti que l’on peut tirer de ces considérations.

GJ'OMÉTRTE DANS l’eSPACE.