CHAPITRE XIII

Des surfaces réglées.

Dcx surfaces cylindriques.

631. La plus simple des surfaces cyliudriques est cel^edont la directrice est une circonférence de cercle, et düitt les génératrices sont perpendiculaires au plan de ce cercle; elle porte le nom de surface cylindrique circulaire droite , ou, plus simplement, de suif ace cylindrique droite, en sous-entendant le mot circulaire. Lorsque les génératrices ne sont point perpendiculaires au plan du cercle directeur, la surface cylindrique est dite oblique, 1\lais nous parierons principalement ici des surfaces cylindriques droites, dont on fait plus souvent usage dans les arts.

532. Théorème. Vne surface cylindrique circulaire droite est une surface^ de révolution. Soit ABC (fig. 44G) le cercle directeur d'une surface cylindrique droite; soient AA', B B', C,C , differentes génératrices. Par le centre O du cercle directeur, élevons O O' parallèle aux génératrices et par conséquent perpendiculaire sur le plan du cercle. Par un point O' de la droite 00', menons un plan parallèle au plan ABC, et par conséquent perpendiculaire aux génératrices. Soient A',B',C', etc. , les points où ce plan coupe lesgénératrices A A', BB', etc! Joignons enfin OA, OA', OB, OB'. La figure OAA'Ô' ayant ses quatre angles droits, est un rectangle; il en est de même de la figure OBB'O. Ces deux rectangles ont même hauteur 00'; de plus les bases OA et O B sont égalés, comme rayons d un même cercle; ces rectangles sont donc égaux.

Comme la génératrice B B' est quelconque, il s’ensuit que la portion de surface cylindrique, comprise entre le plan ABC du cercle directeur et le plan A'B'C', peut être considérée comme engendrée par la révolution du

386 SECONDE PAIITIK.

rectangle 0 A A'O aulonr de O O'. Et comme le point O', par lequel on a mené un plan parallèle au plan ABC, est lui-même quelconque , il en résulte que la surface cylindrique entière est une surface de révolution dont la génératrice est une ligne droite parallèle à l’axe de rotation.

Remarque. Cet axe de rotation se nomme Vaxe de la surface cylindrique.

CoROLLAinE I. Les circonférences ABC et A' B'C' étant égales puisqu’elles ont même rayon , on voit que si l’on coupe une surface cylindrique circulaire droite par un 'plan perpendiculaire à l’axe, on obtient pour intersection une circonférence égale à la circonférence directrice.

Corollaire II. Cette égalité montre aussi que tous les points d’une surface cylindrique circulaire droite sont à égale distance de l’axe.

Application. On peut produire de deux manières une surface cylindrique ( nous sous-entendrons désormais les mots circulaire droite).^ suivant qu’on la considère comme surface réglée ou comme surface de révolution.

Dans le premier cas , on trace à l’une des extrémités de la pièce à laquelle on veut donner cette surface, un cercle que l’on prend pour cercle directeur; on mène des tangentes à ce cercle , et l’on conduit , suivant ces tangentes, des faces planes perpendiculaires au plan du cercle directeur. On multiplie ces tangentes justju’à ce ' que le polygone circonscrit qu’elles forment ne diffère plus sensiblement du cercle directeur; l’ensemble des faces menées par ces tangentes diffère alors aussi peu qu’on le désire de la surface cylindrique demandée.

C’est ainsi que l’on travaille les arbres tournants des machines, les mâts des navires, les surfaces cylindriques de peu d’étendue qui se présentent dans la coupe des pierres. C’est encore d’après le même système que les architectes construisent les voûtes dites en berceau ^ qui sont des surfaces cylindriques à génératrices horizontales. Des demi-cercles verticaux (fig. 447) et parallèles supportent des poutres (leur extrémité seule est

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visible sur la figure) dont les ar^^les, perpendiculaires aux plans de res demi-cercles, sont conséquemment parallèles entre elles, et figurent les génératrices de la surface cylindrique. C'est sur ces poutres que l’on établit la maçonnerie , et sa partie inférieure présente alors une surface qui diffère peu d’une véritable surface cylindrique.

Dans le second cas , on fait usage du tour, et, tandis que la pièce à façonner tourne autour d’un axe constant, on fait décrire à la pointe de l’outil une droite parallèle à cet axe.

C’est ainsi que l’on exécute, sur bois ou sur métal, la plus grande partie des surfaces cylindriques dont l’usage est si fréquent dans les arts : c’est encore ainsi qu’on obtient celles qui sont employées dans la poterie; enfin c’est ainsi que s’opère le forage des pièces d’artillerie.

533. — Deux surfaces cylindriques droites, dont les directrices sont des circonférences égales, sont ellesmêmes égales et superposables; car si l’on fait coïncider les directi’ices , il est évident que toutes les génératrices coïncideront aussi deux à deux.

On peut remarquer de plus que lorsque deux surfaces cylindriques de celte espèce coïncident, on peut les faire mouvoir toutes deux en sens contraire autour de leur axe devenu commun , ou bien dans le sens de cet axe, sans que la coïncidence cesse d’avoir lieu.

Appi.icATiO!xs.Les couvercles des boites rondes, ou plus exactement cylindriques , offrent une application de ces principes. Il en est de même des corps de rechange des instruments à vent : ils s’adaptent au corps principal de l’instrument au moyen d’une surface cylindrique qui entre à frottement doux dans une autre surface égale à la premièi’c. L’instrument nommé trombone offre particulièrement l’exemple de deux surfaces cylindriques qui se meuvent dans le sens de leur axe commun sans cesser de coïncider. Les lorgnettes d’opéra, les lunettes terrestres, etc., offrent une disposition analogue. On la retrouve dans les pistons des pompes, lestpiels sc meu-

vent verticalement sans que la surface cylindrique qui les termine latéralement cesse de coïncider avec celle du corps de pompe. La même chose a Heu pour les pistons des machines à vapeur.

On obtient souvent les surfaces cylindriques pap le moulage , c’est-à-dire par coïncidence avec des surfaces cylindriques déjà existantes.

534. — PuüBLÉME. Par un point donné sur une surface cylindrique y lui mener un plan tangent. Remarquons d’abord qu’un plan tangent en un point d’une .surface cylindrique doit contenir la génératrice qui p^sse par ce point. En effet, considéfons une portion très-petite de la surface cylindrique, on pourra toujours concevoir deux génératrices consécutives qui passent par cet élément de surface; et si cet élément assez petit pour pouvoir être regardé comme plane, .son plan se confondra avec celui de ces deux genératripes. Le plan tangent, qui n’est autre cho.se que l’élément prolongé, contient donc ces deux généralrice^i toqt entières. Mais si cet élément est infiniment petit, ces deux génératrices sonj^ rapprochées l’une de l’autre au point de se confondre en une seule, qui est celle du point de tangence. Donc la génératrice du point de tangence est contenue dans le plan tangpnt.

Cela posé^ soit M ( fig. 448 ) un point donné sur une; surface cylindrique dont l’axe est OIï. Par le point INl, menons un plan perpendiculaire à cet axe, et, dans ce plan, par le même point M, menons TM tangent à la circonférence d’intersection MNP; celte tangente devra être contenue dans le plan tangent au point M (528). Mais si l’on mène par le point M la génératrice AB, cette génératrice, d’après ce que nous venons de voir, sera aussi contenue dans le plqn tangent. Ce plan n’est donc autre chose. que le plan des droites TIM et AB. Or, AB, comme génératrice, étant parallèle à l’axe OTI, est perpendiculaire au plan du cercle MNP, et par conséquent à la tangente TM qui passe par son pied dans ce plan ; d'ailleurs T IM, comme tangente, est aussi perpendiculaire au rayon OM. Donc TM est perpendiculaire

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àu plan des droites AB cl OM"(lDl)roii , ce qui revient au même, au plan des droites AB et OH. De là cette construction, facile à pratiquer par la méthode des projections :

. Par le point de tangence donné, menez une génératrice , c’est-à-dire une parallèle à l’axe (dont les projections sont supposées données) (509). Déterminez le plan qui passe par cet axe et sa parallèle (513). Par le point donné, menez une perpendiculaire à ce plan (517); et par cette perpendiculaire et la génératrice qui passe au point donné, conduisez un plan (512, Coroll.) ; ce sera le plan tangent demaudé.

Remarque. Lorsque la surface est placée 'de manière à ce que son axe soit vertical ou horizontal , ce qui arrive le plus ordinairement , la construction précédente est susceptible d’un grand nombre de simplifications que le lecteur imaginera sans peine.

APPL1CA.TIONS. I. Le contact des plans avec les surfaces cylindriques sert à raccorder celles-ci avec les surfaces planes; et ce raccordement est fréquemment employé dans l’architecture. C’est ainsi que, dans les voûtes en berceau , Xintrados , ou la surface de la voûte proprement dite, se raccorde avec le plan des murs qui soutiennent cette voûte. ,

II. On emploie assez souvent des surfaces cylindriques pour raccorder les faces planes des meubles , afin d’éviter le tranchant des angles dièdres. J r ' III. Un rouleau de jardinier, qui repose sur un sol horizontal, offre l’exemple d’une surface cylindrique^ tangente à un plan. • ‘ i

, 535. — Deux surfaces cylindriques peuvent se toucher demanière’à n’avoir qu’un seul point commun; mais si on les dispose de telle sorte que leurs génératrices soient parallèles, en les amenant au contact elles auront une génératrice oompaune. Si l’on coupe celte génératrice par un plan perpendiculaire , les courbes de section obtenues sur les deux surfaces seront aussi tangentes entre elles, et auront une tangente commune. Cette tangente et la directrice commune détermineront un plan tan-

genl commun. Si les deux surfaces tournent alors autour de leurs axes respectifs, elles ne cesseront point d’être tangentes, et le plan tangent commun restera le même.

Remarque. Deux sqrfaces cylindriques peuvent être tangentes l’iine à l’autre extérieurement ou intérieurement.

Applicatioxs. I. Le laminoir, qui sert à réduire les barres métalliques en feuilles minces, est fondé sur le contact extérieur des surfaces cylindriques. On force la barre à passer entre deux surfaces de cette nature, presque tangentes , ayant leurs axes parallèles , et tournant en sens contraire; elle se trouve contrainte de s’amincir et des’étendi’e dans la direction du plan tangent commun aux deux surfaces.

II. Les tourillons des arbres tournants des machines et les crapaudines qui les supportent, offrent un exemple du contact intérieur des surfaces cylindriques.

536. — Problème. Trouver V intersection d’ une surf ace cylindrique et d’un plan. Supposons les génératrices horizontales et le plan coupant vertical , ce qui est le cas le plus fréquent, notamment dans l’architecture. Prenons pour plan vertical dp projection un plan perpendiculaire aux génératrices; la trace verticale du plan coupant sera perpendiculaire à la ligne de terre (511), et la trace verticale de la surface cylindrique sera une circonférence. Soit b’ a* a’ (fig. 449) cette trace, me et me* celles du plan coupant.

IMenons le diamètre horizontal b'd* ; par les points h' et d' menons les droites b'nb et d'pd perpendiculaires à la ligne de terre-, les droites nbei pd seront les projections horizontales des génératrices qui passentaux points b' et d'; et aucun point de la surface cylindrique n’apra sa projection horizontale hors de l’intervalle compris entre ces deux parallèles.

Par un point a pris dans cet espace sur la trace horizontale du plan coupant, imaginons qu’on élève une verticale; elle sera contenue dans le plan coupant et percera la surface cylindrique en deux points, qui ap-

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partiendrpul, par conséquent, àTinlerseclion cherchée. Pour en avoir les projections verticales , il suffit de mener parle point a la droite aad perpendiculaire à la ligne de terre; les points d et d où elle rencontre la trace verticale de la surface, qui est en même temps la projection verticale de l’intersection cherchée , seront les projections verticales de ces deux points.

De Ihin de ces points, celui dont les projections sont a et d par exemple, concevons qu’on abaisse dans le plan coupant une perpendiculaire sur wc', cette perpendiculaire sera égale et parallèle à a/«, et sa projection verticale sera une droite dh parallèle à la ligne de terre. Supposons maintenantque l’on fa.s.se tourner le plan coupant autour de /«c' jusqu’à pe qu’il vienne se rabattre sur le plqn vertical ; la perpendiculaire en question yien- Ura se rabattre en AA' sur le prolougemenl de «'4, et l’on aura 4 A' = a m.

De là cette construction : par un point a pris sur la trace /« c entre ü et d, menez une perpendiculaire à la ligne de terre, jusqu’à la rencontre en d de la trace verticale de }a surface. Par le point d menez a' h parallèle à la ligne de terre. Du point m comme centre, avec ma pour rayon, décrivez un arc de cercle qui coupera la ligne de terre en A. Par le point A élevez une perpendiculaire à la ligne de terre; elle rencontrera en A le prolongement de a'h. Le point A appartiendra au rabattement de l’intersection cherchée.

Da droite aa' rencontre la trace verticale de la surface en un second point d ; si l’on achève pour ce point les constructions ci-dessus indiquées, on obtient un second pqint A' du rabattement de l’intersection cherchée.

On peut obtenir de la même manière autant de couples de ]K)ints qu’on le désire. On fait passer ensuite une cpurbe par les points obtenus : celte courbe est l’intersection cherphée. On démontre que c’est une ellipse.

Remarque. Les perpendiculaires menées à la ligne de lerre par les points b et d ne rencontrent la trace verticale de la surface qu’en un point chacune, puisqu'elles lui sont tangentes. Si l'on ppère pour les points de tan-

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gence b' et d' comme on a opéré pour lé point « , tient les points extrêmes B et D du rabattement ; c’éstj^ à-dire les extrémités du grand axe de l’ellipse. ^ .,5

Applications. I. On a à construire l’intersection d’uD«> . surface cylindrique et d’un plan toutes les fois qu’une voûte en berceau vient s’arrêter à une surface plane ; si cette surface n’est point perpendiculaire aux génératrices de l’intrados, la section est une demi-ellipse, mgi

II. On a le même problème à résoudre lorsqu’une snr-< face cylindrique, telle que le tuyau d’un poêle , doit pénétrer obliquement dans un mur; l’intersection de cette .surface avec le plan du mur est une ellipse, mais on la détermine, dans ce cas , par tâtonnement. ,

III. Le tracé des ombres fournit aussi une application de l’intersection qui nous occupe. Les rayons solaires qui viennent frapper un objet peuvent, à cause de l’éloi^ gnement du soleil, être considérés comme parallèles. Si l’on présente à ces rayons un disque circulaire dont le plan leur soit perpendiculaire, les rayons qui viendront raser le bord du disque formeront les génératrices d’une surface cylindrique, et l’intersection de cette Siurface avec un plan situé au-dessous du disque , sera la séparation entre l’ombre du disque sur ce plan et la partie éclairée. Si le plan dont nous parlons n'est pas parallèle à celui du disque, la ligne de séparation entre l’ombre et la partie éclairée sera une ellipse.

IV. Lorsqu’un vase contient un liquide, la surface supérieure de ce liquide est un plan horizontal. Si le vase est cylindrique, cette surface supérieure se trouve terminée par une courbe qui est l’intersection de la sur* face cylindrique avec le plan horizontal qui forme le niveau du liquide. Celte courbe est donc une circonfé^

^rence de cercle ou une ellipse, suivant que le vase est placé de manière h ce que son axe soit vertical ou incliné à l’horizon. C’est ce qu’on peut vérifier en inclinant de différentes manières un verre cylindrique ordinaire^ rempli d’eau ou de tout autre liquide.

* 537. — PnoBi.ÉMB. Trouver les projections de rinté^

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sectioft de deux surfaces cylindriques. !^(ous choisirons le cas paiiiculier où les deux surfaces ont leurs génératrices horizontales, parce que c’est un de ceux qui se rencontrent le plus fréquemment dans la pratique, et particulièrement dans l’architecture. On ne peut point se proposer ici d’obtenir le rabattement de l'intersection cherchée, parce que cette intersection est en général une courbe à double courbure, qui ne peut, par conséquent, être contenue dans aucun plan ; il ne s’agit donc que de trouver ses projections.

Pour plus de facilité, nous emploierons deux plans verticaux de projection : l’un VXY (fig. 4.'i0), perpendiculaire aux génératrices de l'une des deux surfaces, l’autre y/XY', perpendiculaire aux génératrices de la seconde surface. Nous supposerons ces deux plans rabattus .sur le plan horizontal de projection. Soient alors ABC et A'B'C' les traces des deux surfaces sur ces plans respectifs.

Sur les droites XV et XV', respcptivement perpendiculaires à XY et à XY', prenons les longueurs égales X/i et XA'. Les points A et A' seront les rabattements, ou, si l’op veut, les projections verticales d’un même point 11 situé sur la verticale du point X. Par ce point H , imaginons que l’on mène un plan horizontal : sa trace sur le plan VXY sera une droite AB parallèle à X Y ; et sa trqce sqr le plan V'X Y' sera une droite A'B' parallèle à XY'. La trace AB rencontrant en deux points A et B la trace ABC de la première surface cylindrique, on eit conclut que le plan horizontal en question coupe pette surface, et comme ses génératrices sont horizontales, il la coupe suivant deux génératrices, dont les projections verticales se réduisent aux points A et B ; pour avoir leurs projections horizontales, il suffit de mener par les points A et B les droites nul et «A perpendiculaires à XY.

La trace A'B' rencontrant en deux points A' et B' la trace A'B'C' de la seconde surface, on en conclut de même que le plan horizontal en question coupe celte surface suivant deux génératrices dont les projections

horizontales ^nt les droites prêt qb menées par les points A' et B’ perpendiculairement à X Y'. *,

Les quatre génératrices dont nous venons de parler étant dans un même plan , se coupent deux à deux en quatre points qui appartiennent à l’intersection cherchée, et dont les projections horizontales sont les points a, b,c,d, où se rencontrent les projections horizontales de ces génératrices. i . .

On obtiendrait de la même manière autant de points que l’on voudrait de la projection horizontale de llntersection cherchée : quanta sa pi’ojection verticale , elle, se confond évidemment ou avec la circonférence ABC ou avec la circonférence A'B'C', puisque les perpendiculaires abaissées des différents points de cette intersection sur les plans VX Y ou V’X Y' sont des génératrices de l’une ou l’autre des deux surfaces. .

Remarques. I. Si l’on mène perpendiculairement â XY des tangentes à la circonférence ABC, et perpendiculairement à XY' des tangentes à la circonférence A'B'C', la rencontre de ces quatre tangentes formera un parallélogramme qui servira de limite à la projection horizontale del’intersection cherchée; car ces tangentes, ou du moins leurs prolongements sur le plan horizontal de projection , sont les projections horizontales des gé-^ nératrices extrêmes des deux surfaces.